考研数学（数学三）模拟试卷280

考研数学(数学三)模拟试卷280

一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

1、函数f(x)=x3—3x+k只有一个零点，则k的取值范围为

A、IkI>2.

B、IkI>1.

C>IkI<i.

D、IkI<2

标准答案：A

知识点解析：f(x)为三次多项式，至少有一个零点上臂"

只有一个零点/<1)=1-3**同号f(一1),f(l)>0«k>2；f(一1),f(l)<0o

k<-2因此f(x)只有一个零点=IkI>2.故选A.

2、设函数.1:Kir门则po(i)=

A、101x21°

B、111x2”.

C、—10Ix210.

D、—101x2"

标准答案：C

知识点解析:心⑴=竽・2”37-。-故选c.

....,J1______dx______

3、在反常积分①/”詈心②广㈠③"二K=④

J。X中收敛的是

A、①，②

B、①，@

C、②，④

D、③，④

标准答案：B

知识点解析：由题设选项可知，这4个反常积分中有两个收敛，两个发散.方法

io找出其中两个收敛的.①由

r吗吧d*=-「\r«anN（_L）=-，ar，”anx…+「8—:

JIx*iI\x!XIJIxilx2）

知①收敛③

dlan,

I♦2tan2/

二f避W型2=&arctun（Am/）|"=与宣

J，>1+%2知③收敛.因此

选+方法2。找出其中两个发散的.对于②：由

t<*=——[ed（-I*）------'=1-（收敛）（*sinr

九222«乂叫而JnWK发散，知

小x）必发散，即②发散.④由

(।(I♦hix>d(I+ln.r)=!(I+Lit尸=-acL*乜八

九XJu2可知J。.1发散，即

④发散.故选B.

4、下列级数中属于条件收敛的是

B、£(T，[k(n+l)J

£■二।广勺lan1.

C、«=i(n♦I)/n+2Jn

yJI)…

D、

标准答案：D

知设点解析；【分析一】A,B,C不是条件收敛.由

：1s=yy±

石”」石〃其中n收敛，名方发散一A发散.由

(-1)"[-L+——!—11<-L+——!—y_Ly]

Ln"("+i)4J?(”+।尸其中£，产”£(“+i户均收敛一B绝对

-D,而111tl_L__L・J_=_!_(然_,8)

收敛.由(”+l)/n不2W"RTC绝对收敛.因此应选

I_

D.【分析二】直接证明D条件收敛“IM”十斤单调下降趋于零(nT8)->交错级数

,y(_1)..|—J____।(-I)*-*!_IIn”|

nz।nln(〃+I)收敛.又Inln(n+I)"Innln(nI)nlnw0,而

yy|(7…

幺〃族发散1与|小(一|)发散TD条件收敛.故应选D.

5、设A是mxn矩阵，且方程组Ax=b有解，则

A^当Ax=b有唯一解时，必有m=n.

B、当Ax=b有唯一解时,必有r(A)=n

C、当Ax二b有无穷多解时，必有m

D、当人乂二()有无穷多解时，必有r(A)

标准答案：B

知识点解析：方程组Ax=b有唯一解o«)=r(4)=4的列数，所以B正确.注

意方程组有唯一解不要求方程的个数，n和未知数的个数n必须相等，可以有

x♦y=0.

X一,，:I,

m>n.例如2x-2y=2方程组Ax=b有无穷多解or(A)=S)<%的列数.当方程

组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩r(A)必小

产+”1,

."+，'+?=I,

2x♦2>=2,和｛

IV-zx2

于方程的个数，例如3x*3y=3

6、下列矩阵中不能相似对角化的是

8、设随机变量X的密度函数为'-2A"则下列服从标准正态分布的随机

变量是

Y=+3)

A、2

Y=~(X-3)

B、J2

「y=；(x・3)

Y=--1(**3)

D、C

标准答案：D

fg=/加

知识点解析：由于2r国五可知X〜(一3,2)

、~N(-3.2)」3=L、+3)~阳0.1)〜人、-

J2J2，而A,B,C二个选项都不符合,只有D

-^(-Y+3)卜一-L(EX+3)=-方(-3+3)=0

+3)]==!x

符合，可以验证'&JI々12

y---L(V+3)-/V(O.I)

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

x*-(sinx)1

/-Itm--------«-------

9、…x

标准答案：6

r1-(siiix)*=xa[l

知识点解析：【分析一】-+。(/>・于是

♦o(xJ)

I=limxl--------r-

.yx36【分析二】

I.x-(sinx)*..IIsinJJ

Inn-R>lim…・■■中■・■

T・XJr，

1・«.叩（亡）T

-limrlim♦

M岛川川

..sim|.X-sinx..-rusx

lini------lim--------=lim

A-0*X0・x,其中用到了

吧i"0.“一）~（-0）从（*）式也可以

■>tInaint•••..inx-In^ini

=limelim----------；—11ITI■

•x2再用罗毕达法则.

10.X轴上方的星形线：.=1(-1WXW】)与X轴所围区域的面积

s=.

工

标准答案：记”

知识点解析：X轴,方的星形线表达式为

)*(I-xT)-(-IX<I).

=>$=((I-)5<1,«=2f(1-I')Jd.t2[cos*/*3sin*rcoHfd/

J-IJox=/in"Jo

•・

二61co^4/(I-C<K:,)<k=6((C-COM6/)dr=6*(->■---=~^r

Jo/o\4*26e4*2/216

11、若f(cosx+2)=tan2x+3siifx,且f(0)=8,则f(x)=.

标准答案：2x-r±i-(x-2)'-±

知识点解析：令t=cosx+2—>cosx=t-2,cos2x=(t-2)2

=!-<；-2)1.Un2x=(t-2)-2-1.

=/'(，)=(，-2)”_।+3_3(,-2户=2+(,-2)"-3(,-2)?

n/U)»2/-(/-2)-'・(，•2)3♦C

=小)・2—占・(-2)1.C.由

〃0)=+.8+d=8=>。=・;因止匕/(幻=2，・士・(1・2尸・4

12、一阶常系数差分方程y：+i—4尸16（1+1W满足初值yo=3的特解是

yt=------------------•

标准答案：（2〔~+2l+3）4’.

知识点解析:应设将解为y=(A，+Bt+c)B,C其中A,B,C为待定常数.令匚0"J

得yo=C,利用初值yo=3即可确定常数C=3.于是待求特解为yi=(Al2+Bi+3)4l.把

yH■尸[A(t+l)2+B(t+l)+3]4i+L4[At2+(2A+B)t+4+B+3]4,与〉代入方程可得义+]—

l

4yt=4(2At+A+B)4,由此可见待定常数A与B应满足恒等式4(2At+A+B)=16(t+l)«

A=B=2.故特解为yi=(2t2+2t+3)4t.

-2300-

14:1100

00

13、已知L。0o2°I」.A*是A的伴随矩阵，贝八(49"

2-600­

-2400

00-I0

标准答案：。。

L0-2-

320)

知识点解析：因为AA*=A*A=IAIE,又।oiT所以

-"1300'

■2-600

1-200

(卜・巧…=-2400

00-000-10

2

*”=.京于是•000-2-

0001-

14、设Xi，X2，…，Xn+l是取自正态总体NR,J)的简单随机样本，则

y=k_L,yx

…’服从分布.

标准答案」(°品叫(

一-W-XISY

知识点解析：由于Xi(i=l,2,

n+1)均来自同一总体，且相互独立.故EXi=p,DXi=o2,Y是X的线性组合，故

EY=缶％・匕***=5-=0

―――一•(告)'£矶

_I?2.n2_nJ

仍服从正态分布.-(…)/7N所以

Y-40.二川

\n+I/

三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)

15、已知f(X),g(X)连续，且满足=7.3X求

F(x尸f(x)+g(x)的极大值与极小值.

标准答案：对函数g(x)两边作定积分

/葭1)&=/(・/)&+[7(x)dx-.3/疝=-4♦8「/(x)dx、qI4H

JnJoJ。J。1。将其代入f(X)中，得

/(：)=3/-4+8〃(幻击对上式两边作定积分

。⑴〃-小人4皿+可加加=可加处从而可知小岫=。所以

*⑴=-P./(x)=3/+口7帅=3.2・4故改户一由3乂2-4.%)二一

3X2+6X=0,得驻点X=0,X=2.F、'(0)=6>0,F、'(2)=-6<0从而F(X)有极小值F(0)=

一4,极大值F(2)=0.

知识点解析：暂无解析

「ln[/(*♦1)♦1♦3»in2x.

lint—£---------------------------------=-4

设函数f(x)在x=l的某邻域内连续，且有…v'U-I

+1)

16>求f(l)及Mx2

K'盘先心,1.^LM-Vn1IE山“♦1)+I+3sin2x]=0

标准答案：由条件知一”

nJi/2).3行刁=川)+°=°*⑴=°又在户0的某空心邻域内

f(x+l)+3sii?x#),现利用等价无穷小因子替换：当X-0时，

ln|I+/(x+I)+3'in'x]-/(x+I)>3sin2x,

..ln(/(x♦I)+I+3、itJt：../(K+I)+3sin2r

Inn-----------；----------------------Inn------------------------------

—、/I-x2-I…_J_«2

2

1-01X2X2J

=2-3lim=2-3=-I.

知识点解析：暂无解析

17、求f'⑴,若又设存在,求「⑴.

/-(I)=lI-im/--(--*---+---I-)-----匕/-⑴-----=lim..--/-(-«----+；--1--)-•x=(,-,l、)・0，、=0n

标准答案：方法1。…X…X由

f、'(l)mTf(x)在x=l的某邻域内可导

0

(T

Iini

1-0X2洛必通法则।-«o

:什⑴…

n/"(l)=-2,方法2。用泰勒公

式.先由一阶泰勒公式得

/">+/'(1)1♦，，(")../'(I)40(1)

।加&4^litn,,■,1=nni............

1-0X"x*JI-«Ox

=>,⑴=0.当f”(l)存在

时，可用二阶泰勒公式得

〃…I、/⑴+广⑴一;r(M♦“(小)

lim八"=lim-----------------------------------------------------

X1-0X2

=回气”⑴♦哈卜聂"⑴=-1

=/*(1)=-2.

知识点解析：暂无解析

18、设积分区域D={(x,y)I0<x<l,0<y<l),求H

标准答案：因积分区域D关于门线y=x对称，又被积函数:/"产=尺寸

/=Jy/x2y2da=20//♦户旧

D|={(x>y)I0<x<l,0<y<x},就有学/令x=rcos。,

y=rsinO引入极坐标，即知1°辽"*1&益^卜加；齿出)，代入即

/-2/何七闿…邛

JoJo3/0cos'd3J°cub0

ssin。2/dr2I/I

3/o(1-i2)234J(i\|-f

二/口后7?

-加(一«一)■占

6［41T)1；

♦［力叫>亨)*"('♦亨卜表］

--T-127*2♦In

得61W4…).

知识点解析：暂无解析

=fros*xsinxdx,n=0,1.2,….、E，<«'

19、设"JT求…

co、四:小丁’

工一4(司”

标准答卷幺令

S(x)=V-rx**123

台”一则其收敛半径R=l.在(一1,1)内有

SJ)=合=占

S(x)=-dl=-In|1-x|J2_Jl

由于万e(T・l)取*=T因此有

S(孝卜叫1・第=ln(2♦J2)W=E[.cos'xsimdx=ln(2+々)

即n>0R=0

知识点解析：暂无解析

20、证明导函数的中间值定理(达布定理)：设函数f(x)在区间［a,b］上可导(注意：

不要求导函数f(x)在区间［a,b］上连续!)，则对于任何满足min{f(a),

f'(b)}<g<maaxIf(a),f'(b)}的常数内存在代⑶b］使得£©)=%

标准答案：若f'(a尸f'(b),则取片a或/b即可.若f'(a)W(b),为了确定起见，无

妨设f'(a)>f'(b)(对f'(a)，(b)的情形可类似证明).当产f'(a)或产f'(b)时相应取9a或

&=b即可.从而只需证明R介于f'(a)与f'(b)之间的情形定理的结论也成立.引入辅

助函数F(x)=f(x)—M(X一a),则F'(a)=f'(a)—p>0,由导数的定义即得

hn.f'H>0F⑷>0

,-*,从而存在x|W(a,b)使得X,-a,于是

F(x0)>F(a),这表明F(a)不是F(x)在⑶b］E的最大值.此外还有F、(b尸f(b)一

p<0,同样由导数定义得…-,从而存在X2W(xi，b)使得

A(x,)-F(b)

*2-b—<0,于是F(X2)>F(b),这表明F(b)也不是F(x)在［a,b］上的最大

值.综上所述即知必存在仔(a,b)使得F《)是F(x)在［a,b］上的最大值,由F(x)的

可导性必有F'(9=0即f'(9=)i.类似可证，在相反的情形下必存在&e(a,b)使得

F«)是F«)在［a,b］上的最小值，由F(x)的可导性也有F'©=0即f’《)=N成立.

知识点解析：暂无解析

T

已知A是2x4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是n=(l，3,0,2),n2=(h

2,-1,3)丁，又知齐次方程组Bx=0的基础解系是pi=(L1,2,1)丁，p2=(0,一

3,1,n)T,

21、求矩阵A；

标准答案：记。⑺，112)，由AC=A(ru，加0知CTA'O,则矩阵AT的列向量

(即矩阵A的行向最)是齐次线性方程组cTx=O的解.对CT作初等行变换，有

3o2]/302]

12-I3」1。-I-II」得到cTx=O的基础解系为四=(3,—1,1,

"-[3-I।01

11

O)',a2=(-5,1,0,I).所以矩阵1-5I01)

知识点解析：暂无解析

22、如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解.

标准答案：设齐次线性方群组Ax=0与Bx=0的非零公共解为y,则y既可由川,

项线性表出，也可由。1，02线性表出，故可设y=xini+x2n2=一X30I—X4p2，于是

XHU+X2H2+X邓J+X4P2=0.对01]，“2,pHp2)作初等行变换,有011，单，Pl，?2)=

oI0-

30I23

000

a00y/)0X|,X2,X3，X4不全为0O秩r(n”)2,Pl，

p2)<4«a=0.当a=0时,解出X4=l,X3=一3X2=-t,xi=2t.因止匕Ax=0与Bx=0

的公共解为丫=2忤-tr)2=t(l，4,1,1)丁，其中t为任意常数.

知识点解析：暂无解析

已知A是3阶矩阵aim,a3是3维线性无关列向量，且Aai=3ai+3a2—2a3,Aa2=

-a2»Aa3=8ai+6a2—5a3，

23、写出与A相似的矩阵B；

标准答案：由于A(ai，(12>a3)=(3ai+3(i2—2a3一a2，8ai+6a2-5a3)

308•

=(,a;.a,)6.

-S」令P=(ai,a2,a3),因ai,a2,a3线性尤关，故P可逆.记

L-20

■308­

B-3-I6.

--20-5」贝I」有P/AP=B,即A与B相似.

知识点解析：暂无解析

24、求A的特征值和特征向量;

-30-8

!AE-«-3A♦-6=(A*l)J

标准答案：由20A+5可知矩阵B的特征值为一

1,一1,一1,故矩阵A的特征值为一1,一1,一1.对于矩阵B,由

•-40-8-

-E-B=-30-6

04」得特征向量(0,1,0尸,(—2,0,1)T,那么由Ba=Xa即&

-2

'AP)a=Xa,i导A(Pa尸”Pa).所以

-2。|♦a.

是A的特征向

量，于是A属于特征值一1的所有特征向量是k|=a2+k2(-2ai+a3)，其中k|,k?

不全为0.

知识点解析：暂无解析

25、求秩r(A+E).

标准答案：由A〜B有A+E〜B+E,故r(A+E)=r(B+E)=l.

知识点解析：暂无解析

26、设甲袋中有2个白球，乙袋中有2个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放

入另一袋，这样交换3次，求甲袋中白球数X的数学期望.

标准答案：设Ai=｛第