考研数学三（概率统计）模拟试卷49

考研数学三(概率统计)模拟试卷49

一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

1、若事件A],A2,A3两两独立，则下列结论成立的是().

A、Aj,A1,A3相互独立

B、Az，两两独立

C、P(A।A2A3)=P(Aj)P(A2)P(A3)

D、SI，A?,A-相互独立

标准答案：B

知识点解析：由于Ai，A2,A3两两独立，所以A】，A?,A?也两两独立，但不一

相互独立，选B.

2、设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为入的指数分布，则下列随机变量中

服从参数为2X的指数分布的是().

A、X+Y

B、X-Y

C、max{X,Y}

D、min{X,Y}

标准答案：D

(Ae-u,x>0,

/(x)=\

知识点解析：由于X〜EQ),所以密度函数为10'分布函

数为

F(x)=1-e，”少E(X)=g,D(X)=因为E(X+Y)=

0,x<0AA2A

E(X-Y)=0,而max{X,Y}的分布函数是10,所以

A,B,C项都不对，选D.事实上，min{X,Y}的分布函数为P(min{X,Y)<x)=l

-P(min{X,Y}>x)=l-P(X>x,Y>x)=1~P(X>x)P(y>x)=l-[1~F(x)]2=

1-,x>0,

09x0.

3、对于随机变量Xi，X2，…，Xn，下列说法不正确的是().

♦

ZD(X,)

A、若X”X2，…,Xn两两不相关，则D(X1+X2+..相Xn)=i

B、若X1，X2，…，Xn相互独立,MD(x1+X2+...+Xn)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xn)

)X-N(0,-)

C、若X1，X2，…，Xn相互独立同分布，服从N(o,G2),则'

D、若D(X1+X2+…+Xn)=D(Xi)+D(X2)+…+D(Xn)，则Xi，X2,...»Xn两两不相关

标准答案：D

知识点解析：若X1,X2，…，Xn相互独立，则B,C是正确的，若X|,

X2，…，Xn两两不相关，则A是正确的，选D.

4、设总体X〜N(0,o2),Xi，X2,…，Xn为总体X的简单随机样本，X与S?分

别为样本均值与样本方差，则

(A)翁〜

2

Y(〃一DX?

(C)—y〜F(l,〃-1)(D)F(l,n-1)

().5S2

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：由

!y〜N(0,l)得岑〜小⑴，二二？S?〜r(〃_1)且⑻与5TS

—°ooza2

n

彩

anXz

F(bn-l),

相互独立，于是a选A.

5、从正态总体X〜N（0.J）中抽取简单随机样本X],X2，…，Xn，则可作为参数

的1n”

（A）^£X：（B）-^£；X：

n7^i«-1Z7

（）.

A、

R、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：因为,'1"'fn-1为『的无

偏估计量，选A.

二、填空题（本题共5题，每题L0分，共5分。）

fx(x)...-----------

6、设随机变量X的概率密度为穴(1+z)(-8VXV+8),Y=X2的概率

密度为______

[0»y40，

/y(J>=

•y>0.

标准答案：(1+y)

2

知识点解析：FY(y)=P(Y<y)=P(X<y).当朽0时，FY(y)=0；当y>0时,

Fy(y)=P(X2<y)

产]-"一rdr=2arctanJ7,

2Jt_JQ1+z2

7TJ01+才五于是

0,y40,0,y40.

Fy(y)=<2故fy3=

——arctan4y>0.*7>0・

n7T>/7(1+J)

0,MVO,0,yV0,

3V1

F)=<-7*°x<1>

x(JT4Fy(y)=40-,04yV1,

1»z\1,1，y21,

^U=X+Y,则U的分

布函数为.

0,u<0

3“+3々

---，04〃V1

Fu(u)=--

£十卷.14〃〈2

4o

标准答案：匕〃22

知识点解析：Fu(u)=P(U<u)=P(X+Y<u),当uVO时，Fu(u)=O；当gu〈l时，

3u__+13〃+■-3--___

Fu(u)=P(U<u)=P(X+Y<u)=P(X=O,Y<u)=P(X=O)P(ySu)=428•当

二一・3・■.]卜.・〃・・・.~3・・■・-4—■w■■■

1WUV2时，Fu(u)=P(X=O,Y<u)+P(X=l,Y<u-1)44248,

0,u<0

3〃+34

8，V1

Fu(u)=<•

?+9，14〃V2

4o

当u>2时,Fu(u)=1.所以1•〃22

0,xV—2,

0.3,-24z<1,

F(x)=<

0.8,1<2,

8、设X的分布函数为】，722,且Y=x2—1,则

E(XY)=.

标准答案：一0.6

I-212\

X〜•

知识点解析：随机变量X的分布律为'0・30・50.2/E(XY)=E[X(X2-

1)]=E(X3—XAE(X3)—E(X),因为E(X3)=-8X0.3+1X0.5+8X0.2二一0.3,

E(X)=-2xO.3+1x0.5+2x0.2=0.3,所以E(XY)二一0.6.

9、设Xi，X2，…，Xioo相互独立且在区间［-1，I］上同服从均匀分布，则由中心

极限定理唯'e凡嘲展仁______.

标准答案：0.8413

】0。

u=，则E(U)=O,D(17)=100X^-=—

i»i123

产10、XX

则P歹41^0(1)=0.8413.

(少j)=p[

知识点解析：令

10、设总体X〜N(0,8),Y〜N(0,22),且X|及(Y|,Y2)分别为来自上述两个总

X；

体的样本，则匕+丫：〜

X2

2।2〜F(l，2)

标准答案：丫】+丫2

知识点解析：

OX；

gx；〜12(1),；(片+匕)〜/(2).〜F(1.2).

o4。(匕+Y；)/2H+Y；

4

三、解答题(本题共76题，每题1.0分，共76分。)

11、独立投骰子两次，X,Y表示投出的点数，令A={X+Y=10),B={X>Y),则

P(A+B)=

17

标准答案：36

3X2=适

知识点解析:P(A)=P{X=4,Y=6}+P{X=5,Y=5}+P{X=6,y=4}=

P(B)=P{X=2,Y=1)+P{X=3,Y=1}+P(X=3,Y=2)+P{X=4,Y=3)+P(X=4,

Y=2)+P{X=4,Y=1}+P{X=5,Y=4)+P{X=5,Y=3)+P{X=5,Y=2}+P{X=5,

Y=1}+P{X=6,Y=5}+P{X=6,Y=4)+P{X=6,Y=3(+P{X=6,Y=2)+P{X=6,

155±

-=--,TT，

Y=l}=3612p(ABi=P{X=6,Y=4}=3贝IjP(A+B尸P(A)+P(B)—P(AB尸

15117

—+t-----------=:----

12123636,

12、设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则

另一件产品也不合格的概率为.

标准答案：5

知识点解析：令A=｛第一件产品合格｝,B=｛第二件产品合格)，则所求概率为

P西石|彳+»=■说］=越&=q离

P(A+B)P(A+B)l-P(AB)

_____N2A!1-----.......-1

而P(A耳)=生=/SB)=前千所以P(AB|A+B)二

Al0

13、将编号为1,2,3的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列

的序号与它的编号相同的概率.

标准答案：设Ai=｛第i本书正好在第i个位置｝,B=｛至少有一本书从左到右排列

的序号与它的编号相同)，贝【JB=AI+A2+A3，旦

P(A,)=?=!(i=123),P(AA)=U=g(i,j=1,2,3,i卉j)•

3!3o!b

II1

P(AAA)=-j=->

I233!o故

2

:=—

3

P(B)=P(AI)+P(A2)+P(A3)-P(A|A2)-P(AIA3)-P(A2A3)+P(A1A2A3),

知识点解析：暂无解析

甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为60%和50%.

14、甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；

标准答案：设人=｛甲击中目标｝,B二｛乙击中目标｝,C=｛击中目标｝,贝UGA+B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.5-

0.6x0.5=0.8

知识点解析：暂无解析

15、甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率.

标准答案：设A尸｛选中甲｝,A2=｛选中乙｝,B=｛目标被击中｝,则P(AI)=P(A2)=

2P(BIAj)=0.6,P(BIA2)=0.5,

_P(AJP(B|AJP(A])P(B|A|)

1=

-P(B)P(A,)P(B|A})+P(A2)P(BIA2)

=------0.--5-X--0-.-6-----=—6

0.5X0.64-0.5X0,511

知识点解析：暂无解析

16、有甲、乙两个口袋，两袋中都有3个白球2个黑球，现从甲袋中任取一球放人

乙袋，再从乙袋中任取4个球，设4个球中的黑球数用X表示，求X的分布律.

标准答案：设A=(从甲袋中取出黑球)，X的可能取值为0,1,2,3,令

{X=i)=Bi(i=0,1,2,3),则P(X=O)=P(Bo)-P(A)P(BoIA)+

——23cl

P(A)P(B0|A)=TX0+TX-I=-,

J?JaP(X=l)=P(Bi)-P(A)P(BiIA)+

一，一2CJC^3CjCi10

P(A)P(B][A)=-z-X—q-+—X—7-=正，

D

0JJ刃P(X=2)=P(B2)-P(A)P(B2I

一2cd3CJG12

=

P(A)P(B2IA)=正，

A)+GP(X=3)=P(B3)-

—,—2C；C；32

P(A)P(B3IA)=-X-^+TXO=~,

P(A)P(B3IA)+5c525所以X的分布律

/0123

X~丝122

为'25252525

知识点解析：暂无解析

12

£2

17、设4361y求矩阵A可对角化的概率.

标准答案：由0-]入一丫=Q_l)Q_2)Q_Y)=0,

得矩阵A的特征值为Xi：=1,九2=2,入3=丫.若Y#l,2时，矩阵A一定可以对角

I210\

4=010,

化：当Y=1时，'01V入=1为二重特征道，因为r(E-A)=2,所以A不

21Ox

4=010,

012^.入=2为二重特征值，因为r(2E—

可对角化：当Y=2时，

A尸1,所以A可对角化故A可对角化的概率为P(YR1,

2

O\-LD/V-O\-D/V-A\,LDfV--O\j-Drv-Q\—3

知识点解析：暂无解析

〜(01)

X,

‘。・60.4/(i=1,2,3,

18、设随机变量Xi，X2,X3,X4独立同分布，且

X、X?

XX

4),求X=Aj入4的概率分布.

XtX2

标准答案：X=X3X4=X1X4-X2X3,令U=X|X4,

v=x2x3,且U,V独立同

分布.P(U=1)=P(X|=1,X4=l)=0.16,P(U=0)=0.84,X的口J能取值为一1,0,

1.P(X=-l)=P(U=0,V=l)=P(U=0)P(V=l)=0.84x0.16=0.1344,

P(X=1)=P(U=1,V=0)=P(U=l)P(V=0)=0.16x0.84=0.1344,P(X=0)=l-

1-101).

x〜

2x0.1344=0.7312,于是"・13440.73120.134〃

知识点解析：暂无解析

设随机变量X〜U(0,1),在X=x(OVxVl)下,Y〜U(0,x).

19、求X,Y的联合密度函数；

1,0。<1,

fxG)=

0,其他，

标准答案：因为X〜U(0,1),所以又在X=x(O<x<l)

°VyO,

/Y!X(JIz)=产故

下，Y〜U(0,x),所以10'其他，

故f(x»

0<yV工V1.

y)=fx(x)fyIx(yIx)=।其他

知识点解析：暂无解析

20、求Y的边缘密度函数.

标准答案:fY(y)=J—g—Rx,y)如，当y4)或yNl时，fY(y)=0；当OVyVl时,

1

f/、_「j11拓，/、[lnL0<y<19

/y(j)=-dx=ln—，故=<y

Jyxy

0,其他.

知识点解析：暂无解析

设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X〜N(l,32),Y〜N(O,42),且

一万1，又u2设Z7=§X+「?

X,Y的相关系数为

21、求E(Z),D(Z)；

标准答案：

E(Z)=4E(X)+<E(y)=4，

JCto

D(Z)="D(X)+-D(y)+--Cov(X，丫)=5+:X(—y)>/D(X)JD(Y)=3.

知识点解析：暂无解析

22、求pxz;

标准答案：

Cov(X,Z)=^-D(X)+-yCov(X，丫)=3+4x(—^)X12=0=>

PXZ=0.

知识点解析：暂无解析

23、X,Z是否相互独立?为什么?

标准答案：因为(X,Y)服从二维正态分布，所以Z服从正态分布，同时X也服从

正态分布，又X,Z不相关，所以X,Z相互独立.

知识点解析：暂无解析

24、设随机变量X,Y相互独立且都服从N(wJ)分布，☆ZunwUX,Y),求

E(Z).

标准答案：因为X,Y都服从N(p,J)分布，所以

U=〜N(O,1),V=〜N(O,D,

。。且U,V相互独立，则

X=GU+R,Y=GV+JI,故2=11^{*,Y}=8max{U,V}+p,由U,V相互独立得

i_・2

/(u»v)=­e2