考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷44

考研数学三(解答题)高频考点模拟试

卷44

一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)

12o6

3413

AB5612

=|A+B||A-B1.

1、(1)A,B为n阶方阵.证明:BA(2)计算334

标准答案：

ABABA-BB

IA-BIIA+BI.

BA4-BA+BO

1256

313—4一468

4+=40.

5612北H；哪:]TH2147

1334

知识点解析：暂无解析

1%青，z>0

)°「

2、设总体X的概率密度为f(x)=l°，"其中未知参数。>0,设

X|,X2，…，Xn是来自总体X的简单样本.(1)求。的最大似然估计量；(2)该估

计量是否是无偏估计量。说明理由.

标准答案：(1)设XI，X2,…，Xn为样本值，似然函数为

UGJjb卷一乙>0G=1,2,…㈤,

10，其他，当xi>O(i=l,2,n)时，

0

lnL(0)=-nlnO-Xi=0,得。的最大似然估计值为，因此。的最大似然估计量

为.(2)由于EE(Xi)=E(X),而E(X)=O,所以E为参数8的无偏估计量.

知识点解析：暂无解析

,T11

tan"xdx(n>2),证明*<a„<阳------rr

3、设o"FI)45-D

标准答案:

a.=［^(1+tan2x)tan"xdx=tan*xd(tanjr)=—vtan*Hx*=—

JoJon4-1on4-1

同理a.+GT=—因为tan*x,tan^2x在［0,个］上连续，tan、2tan+z,且tan'x,

tan^x不恒等，所以ftan-xdx>J：tan"Gdx,即a.>a.，

于是一=。・+。2V2%,即%〉］、，同理可证。.V

〃+12(n4-1)12(n—”1)1…

知识点解析：暂无解析

f%+2

4、求J-a+工看).

标准答案：因为(x2e)=(x2+2x)eX,所以

12

1VX严=・lz

3(i+ie,产P7(r+PF)d(X门

■会-^7)心，)=In^^+C

知识点解析：暂无解析

J%,X>0,

5、设f(x)=L+2,%这0,求f(x)的极值.

标准答案：「(x尸0的点及「(X)不存在的点都可能是极值点，为此先求E(x).当x

>0时，f(x)=(x2x),=(e2x,nx),=e2x,nx(21nx+2)=2x2x(lnx+1)；当xVO时,

iimf(x)=lirn(x♦2)=2,

K-*O~*-0-

lirn/(x)=limx2a=Iime2,ln>=lime~=e0=1,

F(x)=(x+2)，=1.又i0.1o'所以f(x)在点

x=o处不连续，从而不可导，于是回令r(x尸0,得驻点X二是可能的极值点.在

点X二为f(x)的极小值点，极小值为在点x=0处：由于当xVO时r(x尸1>0,所以

f(x)单调增加,从而f(x)Vf(0)=2；而当OVxV,存在3>0,当0VxV3时If(x)・

1I<，故由极值的定义可知x=0为f(x)的极大值点，极大值为f(0)=2.

知识点解析：暂无解析

3

6^求下列微分方程满足初值条件的特解:(l)2xy'=y—x,yIx=l=0:(2)xy'+

222

y=sinx,yIx=Jt=l;(3)xy'+(1—2x)y=x,yIx=i=0；(4)y'cosx+y=

tanx,yIx=0=0；(5)yz+ycotx=5ecolx,ylx=7i/4=—4；(6)y'xlnx—y=1+

ln-x,yIx=e=l・

⑴，'=/一:^■.即_y=_y-

原方程通解为

，=小（J（-¥）•（僖—+C）.石（卜）嚼+c）

后(-Jd_r+C)NG(-4-XT

+C卜

0.1=4（-••什+9・箕中。一｝故所求将制为

<2>y+yy=等.

原方因通解为了e-fi-(j警J<dx+C)■-^-(C-cosx)(

…-i.i=[(C+D.箕中c=-K-1.

故所求特解为一.二!二'

⑶，+与声、-1.

原方程通解为y-(此"dx+C)-/21卜卜~'a十(?)

■X*.(卜T•3d*+C)ox*e+(1-d(二+C)

-x*ei(c++C).

因』=1时，y，0故0=e(「+C)・

斜砰C=-c，・故所求特解为yR«).

(4)/•♦sec:x>=tanx•sec:x.

:S

原方程通俗为y-e([WxtaoreJ-^dj*C)

-c-<ianxc-M-e—+C)

=tanx-1+C•1—・

yL-c=0.0=C—1.C=!.

故所求特解为y«=ei+tanx—1.

<5>原方用通解为y一°；i卜丁•IC

-eta-Jse'*'•}—+(：)

■*—(15e***sinxdjCJ

-J-(-5e~,+O.

siaz

因,■1•时•》■-4,即

y|一,■■—4.-4--5eT+C»C-1.

故所求特制为y-二.

(6)原方程通X为

,1l+ln:x

七""一。尸,w(inr-i£+c)

«"In'jr-14-Clnz.

y|r..-1.1-l-l+C.C-1.

标准答案：故所求椅解为》-In^-l+Inx.

知识点解析：暂无解析

7、设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导(a>0).证明：存在。ne(a,b),使得

r(s)=中/5).

标准答案：令F(x)=x?,F,(x)=2x^0(a<x<b),由柯西中值定理，存在r|E(a,b),

使得

f(b)-f(a)=f>*即A6)—/(a)-f(哈整理狙八6)-f(Q)_a+b厂(、

F(6)-F(a)F7V)，BP6?-M-卬，整理得』—a-'^，(球、

再由微分中值定理，存在&E(a,b),使得

£(6；］(a)=r(e),故=3/'5).

知识点解析：暂无解析

8、设@={3,1,2),b=X{y,3,6},且号0,求晨y使得(l)b为垂直于a的

单位向量；(2)b为与a平行的单位向量.

标准答案：(1)由题设知：axb=0,即入［3,1,2}x{y,3,6)=0因此有y=一

又知|b|=1,即J*(9+25+36)=1,所以入=土嘴.

(2)要使a〃瓦则有等=:=与，故y=9・

又因为Ib|=1•所以/#(9+36+81)=1.

5因此“士要・

知识点解析：暂无解析

求/£±写-工)业.

9、

原式=J-jdr—[ln(l—x)d(-j)

=In|x'--ln(l-x)—f----;(lr

XJx(l-x)

=In|JI—^ln(l—J)—j

=(1--)ln(l—J)+C

标准答案：'］)

知识点解析：暂无解析

(I)/5=5|卜、(工+y)<Lrdy,其中D=[0.1]X[0.

(2)/=]J7/T，dxdy,其中D=[0.1]X[0.2>

i>

(3)1=卜人/业力,其中D为圆形闭区域/+，&h

(4)1=4V+4,+9)drdy.J(中D为环形闭区域1&/+，44・

<1)在。上,0&Q(i+y)42,所以有

04，=『iy(x+y)dLrdy42

(2)在D上.()</+，45.04/?+—《百,所以有

Odrdy&J'drdy&J&<Lrdy,

[>/r24-y2drdy4275

故0

（3）由于D为SI形闭区城,/十，&】•所以有

I41—4c.

故7T>I=jj/r，dxdy&b

(4)由于l&V+V44,所以

104/+，+9<4,+y+9<4(y+/)+9<4・4+9=25,

2

|ilOdrdy&[(z+4y+9)dLrd<y4』25山山

Sp=JT•22-K<1*=3w

故30冥4口(/+4，+9)&也47%.

标准答案:

知识点解析：暂无解析

TT

11、设向量组山=（1,0,1）,a2=（0,1,1）,a3=（1,3,5）1不能由向量

T

组仇二（1,1,1）1，p2=（1,2,3）,p3=（3,4,a）1线性表示。（I）求a

的值；（II）将例，饱由ai，。2，。3线性表示。

标准答案：（I）由于（X|,。2，（X3不能由俄，饱表示，且由|。1，口2，

（X3|=l#0,知a”Q2，013线性无关，所以，Pl»。2，。3线性相关，即|仇，阳阈二

I13

124

13

a=a-5=0,解得a=5。(H)本题等价于求三阶矩阵C,使得(力：

阳饱）=（的，□2,(13)Co所以C=(ai,。2，。3)-1(伙,02，。3)=

1oir'ri13"215'

0131244210o

.115-JL1

35--10-2-1因此（p|,例，的）=（ai，a2，03）

215

4210

•—10-2-所以。I=2a1+4。2―a3,02=a1+2（X2，p3=5ai+10a2—2a3。

知识点解析：暂无解析

12、设X和Y都是来自正态总体NQi,『)的容量为n的两个相互独立的样本均

值，试确定n,使得两个样本均值之差的绝对值超过。的概率大约为0.01.

y海外，八一元亍都服从正态分布心),且亍与心“广―rllI

标准答案：由于Vn/相互独立，则