2023-2024学年山东省百师联盟高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年山东省百师联盟高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）＝（）A． B． C． D．2．（5分）已知直线m，n，平面α，则“m∥α，n∥α”是“m∥n”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要3．（5分）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B．至少有1件次品和全是次品 C．至少有1件正品和至少有1件次品 D．至少有1件次品和全是正品4．（5分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝3，AD＝CD＝2，M是CD的中点，N在BC上，且，则＝（）A． B． C． D．5．（5分）某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（）A．64 B．65 C．66 D．676．（5分）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为23°（∠ABC）和83°（∠ADC）．设表高AC为1米，则影差BD≈（）米（参考数据：sin16°≈0.276，）A．1.986 B．2.126 C．2.232 D．2.3467．（5分）下列说法正确的是（）A．某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B．为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D．若甲组数据的方差S2＝0.01，乙组数据的方差S2＝0.1，则乙比甲稳定8．（5分）“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴．则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（）A．2π B．3π C．4π D．6π二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知O（0，0），P0（1，0），P1（cosα，sinα），P2（﹣cosβ，sinβ），下列结论正确的是（）A．若α+β＝π，则•＝• B．若α+β＝，则⊥• C．若||＝||，则α＝﹣β D．若+＝，且α，β均为锐角，则α＝β＝（多选）10．（6分）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝2AA1＝4，∠B1BC＝，棱B1C1，BC的中点分别为D，E，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP＝2，则下列结论正确的是（）A．AD⊥平面BCC1B1 B．正三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为 C．AP与平面BCC1B1所成角的正切值为 D．动点P形成的轨迹长度为（多选）11．（6分）已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据xi（i＝1，2，⋯，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据yi（i＝1，2，⋯，n）的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（）A．设总样本的平均数为，则 B．设总样本的平均数为，则 C．设总样本的方差为s2，则 D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为人．13．（5分）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为．（结果用最简分数表示）14．（5分）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；用过A，B，C三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知复数z＝m+2+（m﹣2）i（m∈R），为z的共轭复数，且．（1）求m的值；（2）若z﹣3i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．16．（15分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的值．（2）求的取值范围．17．（15分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2），M、N分别是BD和BC中点．（1）若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A﹣BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用θ表示），详细说明理由；（2）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2，求sinθ1+sinθ2的取值范围．18．（17分）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）．质量指标（25，35）（35，45）（45，55）（55，65）（65，75）（75，85）（85，95）产品6010016030020010080（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；（2）设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s精确到个位，an＝5，bn＝5•[]n∈N*，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1，b1]内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在[a2，b2]内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？19．（17分）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，迬胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为m获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．

2023-2024学年山东省百师联盟高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）＝（）A． B． C． D．【考点】复数的运算；复数的模．【答案】A【分析】由已知结合复数的模长公式及四则运算即可求解．【解答】解：原式＝＝＝．故选：A．2．（5分）已知直线m，n，平面α，则“m∥α，n∥α”是“m∥n”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要【考点】直线与平面平行；平面与平面平行；充分条件与必要条件．【答案】D【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m，n为异面直线，所以“m∥α，n∥α”是“m∥n”不充分条件；m∥n，可能m，n在平面α内，也可能m，n与平面α相交，也可能m，n与平面α平行，所以“m∥α，n∥α”是“m∥n”不必要条件．故选：D．3．（5分）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B．至少有1件次品和全是次品 C．至少有1件正品和至少有1件次品 D．至少有1件次品和全是正品【考点】事件的互为对立及对立事件．【答案】A【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．【解答】解：∵从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，∴在A中，恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生，∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件，故A成立；在B中，至少有1件次品和全是次品，能同时发生，∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生，∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C不成立；在D中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生，∴至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D不成立．故选：A．4．（5分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝3，AD＝CD＝2，M是CD的中点，N在BC上，且，则＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，从而求出，的坐标，最后利用向量的夹角公式即可得解．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，则B（3，0），D（0，2），M（1，2），C（2，2），∴，，∴，∴，∴，∴．故选：A．5．（5分）某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（）A．64 B．65 C．66 D．67【考点】频率分布直方图的应用．【答案】C【分析】先根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出a的值，再利用百分位数的定义求解．【解答】解：由频率分布直方图可知，（a+0.015+0.025+0.035+a+0.005）×10＝1，解得a＝0.01，∵0.1+0.15＝0.25＜0.4，0.1+0.15+0.25＝0.5＞0.4，∴第40百分位数落在区间[60，70）内，设其为m，则0.25+（m﹣60）×0.025＝0.4，解得m＝66，即第40百分位数估计为66．故选：C．6．（5分）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为23°（∠ABC）和83°（∠ADC）．设表高AC为1米，则影差BD≈（）米（参考数据：sin16°≈0.276，）A．1.986 B．2.126 C．2.232 D．2.346【考点】解三角形；三角形中的几何计算．【答案】C【分析】由正弦定理和锐角三角函数的定义，求出，然后根据两角和与差的正弦公式，计算出2sin23°cos7°＝sin30°+sin16°≈0.776，进而求出BD的长．【解答】解：在Rt△ACD中，（米），在△ABD中，由正弦定理，可得，解得（米），而sin30°＝sin（23°+7°）＝sin23°cos7°+cos23°sin7°，且sin16°＝sin（23°﹣7°）＝sin23°cos7°﹣cos23°sin7°，两式相加，得2sin23°cos7°＝sin30°+sin16°≈0.776，所以（米）．故选：C．7．（5分）下列说法正确的是（）A．某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B．为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D．若甲组数据的方差S2＝0.01，乙组数据的方差S2＝0.1，则乙比甲稳定【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】C【分析】对于A，根据概率的概念可判断；对于B，根据抽样方法的理解可判断；对于C，根据中位数，众数的概念可判断；对于D，方差越小数据越稳定，可判断．【解答】解：对于A选项，概率表示随机事件发生可能性大小，所以此人掷6次骰子不一定能掷得一次数字5，故A错误；B选项，为了解全国中学生的心理健康情况，应该采取抽样调查更合理，故B错误；C选项，根据中位数，众数的概念可判断其正确；D选项，根据方差越小数据越稳定，故D错误．故选：C．8．（5分）“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴．则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（）A．2π B．3π C．4π D．6π【考点】椭圆的几何特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】B【分析】作出截面图，求出圆柱的底面半径，根据对称得出答案．【解答】解：作出截面图，如图，从缺口M向桶边作垂线MB，MN恰好平分AMBN；因为桶倾斜与底面成60°，所以∠ANM＝30°；因为AM＝2，所以；因为缺口以上的圆柱部分体积为；所以多盛的水的体积为．故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知O（0，0），P0（1，0），P1（cosα，sinα），P2（﹣cosβ，sinβ），下列结论正确的是（）A．若α+β＝π，则•＝• B．若α+β＝，则⊥• C．若||＝||，则α＝﹣β D．若+＝，且α，β均为锐角，则α＝β＝【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】ABD【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，结合三角函数的求值，对各选项进行判定即可．【解答】解：由题意，，，，选项A，若α+β＝π，则，此时，，故•＝•，故A正确；选项B，当α+β＝，则，此时.＝﹣sinαcosα+cosαsinα＝0，则⊥，故B正确；选项C，，，若||＝||，则有（cosα﹣1）2+sin2α＝（cosβ+1）2+sin2β，即﹣cosα＝cosβ，当α＝﹣β时，显然不满足，故C错误；选项D，若+＝，则有（1，0）+（﹣cosβ，sinβ）＝（cosα，sinα），即，整理得（1﹣cosβ）2+sin2β＝1，解得，又β为锐角，所以，又sinα＝sinβ，α为锐角，所以，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（6分）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝2AA1＝4，∠B1BC＝，棱B1C1，BC的中点分别为D，E，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP＝2，则下列结论正确的是（）A．AD⊥平面BCC1B1 B．正三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为 C．AP与平面BCC1B1所成角的正切值为 D．动点P形成的轨迹长度为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；轨迹方程；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．【答案】AD【分析】设正三棱台ABC﹣A1B1C1的侧棱延长交于点M，M在底面ABC内的投影是△ABC的中心O，以O为原点建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用空间向量的知识判断选项中的问题是否正确即可．【解答】解：设正三棱台ABC﹣A1B1C1的侧棱延长交于点M，因为A1B1＝2AA1＝4，∠B1BC＝，所以M在底面ABC内的投影是△ABC的中心O，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示：过点B1作B1H⊥BC于H，因为BB1＝AA1＝2，所以BH＝BB1＝1，所以BC＝2BH+BB1＝2+4＝6，AO＝AE＝AB•sin60°＝×6×＝2，OE＝AO＝，因为＝＝，所以＝，即＝，解得MA1＝4，所以MA＝6；所以MO＝＝＝2，因为＝＝，所以MF＝MO＝，FO＝，A1F＝A1D＝×4×＝，DF＝，则O（0，0，0），A（0，2，0），B（3，，0），C（﹣3，，0），D（0，，），E（0，，0），A1（0，﹣，），B1（2，），B1（2，，），C1（﹣2，，），M（0，0，2），＝（0，，），＝（﹣6，0，0），＝（﹣3，﹣，2），计算•＝0，•＝0，所以⊥，且⊥，又BC∩BM＝B，所以AD⊥平面BCC1B1，选项A正确；因为S△ABC＝×62×＝9，＝×42×＝4，高OF＝，所以正三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为V＝××（4++9）＝，选项B错误；因为＝（3，3，0），是平面BCC1B1的一个法向量，则点A到平面BCC1B1的距离为d＝＝＝2，设AP与平面BCC1D1所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，所以tanθ＝，选项C错误；点P的轨迹是以D为圆心，以＝2为半径的圆，与等腰梯形BCC1B1相交所成的弧长和，如图所示，因为B1C1＝4，是圆弧的直径，DE＝＝，DH＝2，cos∠EDH＝，所以∠EDH＝，∠C1DH＝，计算的弧长为×2＝，所以动点P形成的轨迹长度为2×＝，选项D正确．故选：AD．（多选）11．（6分）已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据xi（i＝1，2，⋯，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据yi（i＝1，2，⋯，n）的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（）A．设总样本的平均数为，则 B．设总样本的平均数为，则 C．设总样本的方差为s2，则 D．若，则【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】AD【分析】对于A选项，因为≤，由＝+放缩，可得；对于B选项，举例说明B不正确；对于C选项，举例说明C不正确；对于D选项，若m＝n，＝，代入总体方差计算公式，可得．【解答】解：对于A选项，因为≤，所以＝+≤+＝，＝+≥+＝，即，A正确；对于B选项，取第一部分数据为1，1，1，1，1，则＝1，＝0，取第二部分数据为﹣3，9，则＝3，＝36，则＝＜3，B不正确；对于C选项，取第一部分数据为﹣2，﹣1，0，1，2，则＝0，＝2，取第二部分数据为1，2，3，4，5，则＝3，＝2，则＝，s2＝＞2＝，C不正确；对于D选项，若m＝n，＝，则＝＝，s2＝[+（﹣）2]+[+（﹣）2]＝，D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为3600人．【考点】分层随机抽样．【答案】3600．【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解．【解答】解：由题意知，高三年级抽取了36﹣15﹣12＝9人，由于高三共有900人，所以抽样比为，所以高中学生总数为36×100＝3600．故答案为：3600．13．（5分）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为．（结果用最简分数表示）【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可解．【解答】解：记实验甲、乙、丙成功分别为事件A，B，C，且它们相互独立，故实验甲、乙、丙各进行一次，至少有一次成功的概率为：P＝（1﹣）＝1﹣＝，故答案为：．14．（5分）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；用过A，B，C三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【答案】；．【分析】求出正四面体ABCD的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，即可求解；求出勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积，即可求解．【解答】解：先求解出正四面体ABCD的外接球，如图所示：由正四面体的棱长为1，则CG＝DG＝，，又因为，，所以，，由勾股定理得OF2+BF2＝OB2，即，解得，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD中心为O，连接BO交平面ACD于点E，交于点Q，其中与△ABD共面，其中BO即为正四面体外接球半径，设勒洛四面体内切球半径为r，则；取CD的中点G，连接BG，AG，过点A作AF⊥BG于点F，则F为等边△ABC的中心，外接球球心为O，连接OB，则OA，OB为外接球半径，设OA＝OB＝R，观察几何体知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体ABCD的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得，勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面是正△ABC及外面拼接上以各边为弦的三个弓形，弓形弧是以正△ABC各顶点为圆心，边长为半径且所含圆心角为60°的扇形弧，如图，因此，截面面积为．故答案为：；．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知复数z＝m+2+（m﹣2）i（m∈R），为z的共轭复数，且．（1）求m的值；（2）若z﹣3i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】（1）1；（2）3+4i．【分析】（1）结合共轭复数的定义，即可求解；（2）将z﹣3i代入一元二次方程x2+ax+b＝0，再结合复数相等的条件，即可求解．【解答】解：（1）z＝m+2+（m﹣2）i，则，由于，得m+2+（m﹣2）i+m+2﹣（m﹣2）i＝2m+4＝6，解得：m＝1；（2）由（1）可知，z＝3﹣i，将z﹣3i＝3﹣4i代入方程可得：（3﹣4i）2+a（3﹣4i）+b＝0，化简整理可得，（﹣7+3a+b）﹣（4a+24）i＝0，，解得a＝﹣6，b＝25，代入一元二次方程中得：x2﹣6x+25＝0，解得，，故方程另外一个复数根为3+4i．16．（15分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的值．（2）求的取值范围．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）设△ABC的外接圆半径为R，利用正、余弦定理进行边角转化，推导出b2＝3R2，由此算出sinB的值，进而可得角B的大小；（2）利用正弦定理，结合三角恒等变换公式整理得，然后利用正弦函数的性质算出的取值范围．【解答】解：（1）设△ABC的外接圆半径为R．由，两边都乘以4R2，得（2RsinA）2﹣2（2RsinA）（2RsinC）cosB+（2RsinC）2＝3R2，即a2﹣2accosB+c2＝3R2，结合b2＝a2+c2﹣2accosB，可得b2＝3R2，所以，结合，sinB＞0，可得，；（2）由正弦定理得＝，结合C＝，可得因为△ABC是锐角三角形，所以，解得，所以，得，即的取值范围是．17．（15分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2），M、N分别是BD和BC中点．（1）若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A﹣BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用θ表示），详细说明理由；（2）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2，求sinθ1+sinθ2的取值范围．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【答案】见试题解答内容【分析】（1）取BC的中点N，连接AN交BD于M，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面AMN即可．进而根据面面平行可得BD⊥平面EOF，即可确定点F的轨迹为三角形EOF，结合余弦定理即可求解长度．（2）根据比例关系可得线线平行，即可由线线角的定义得到θ1，θ2，结合线面垂直得线线垂直可得，利用消元法转化为三角函数，利用三角函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）在图（1）中，∵，∴四边形ABND是正方形，在图（2）中，∴AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN＝M，AM，MN⊂平面AMN，∴BD⊥平面AMN，分别取AB，BN，BM的中点为F，E，O，连接OF，OE，EF，则OF∥AM，OF⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，所以FO∥平面AMN，同理EO∥平面AMN，由于FO∩OE＝O，FO，OE⊂平面EOF，故平面EOF∥平面AMN，∴BD⊥平面EOF，因此点F在平面EOF上运动，故点F的轨迹为三角形EOF，由AM⊥BD，MN⊥BD，所以∠AMN即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，故θ＝∠AMN，由于，，因此，故点F的轨迹长度为；（2）在BN线段取点R使得，由于BD⊥平面AMN，AN⊂平面AMN，∴BD⊥AN，∵PR∥AN，RQ∥BD，∴，易得θ1＝∠PQR，θ2＝∠QPR，从而有，则，则．18．（17分）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）．质量指标（25，35）（35，45）（45，55）（55，65）（65，75）（75，85）（85，95）产品6010016030020010080（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；（2）设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s精确到个位，an＝5，bn＝5•[]n∈N*，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1，b1]内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳