2023-2024学年山西省大同市云冈区汇林中学高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年山西省大同市云冈区汇林中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共48分）1．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为（1，2，3），则向量在基底下的坐标为（）A． B． C． D．2．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，，若直线CA1与直线AB所成角为60°，则AA1＝（）A． B．2 C． D．3．若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则x+y的最小值为（）A．9 B．8 C．5 D．44．直线kx﹣y+1﹣3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（3，1） B．（0，1） C．（0，0） D．（2，1）5．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为（1，2，3），则向量在基底下的坐标为（）A． B． C． D．6．已知直线l1：x+ay﹣1＝0与l2：2x﹣y+1＝0平行，则l1与l2的距离为（）A． B． C． D．7．双曲线C：＝1上的点P到左焦点的距离为10，则P到右焦点的距离为（）A．2 B．22 C．2或22 D．128．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（）A． B． C． D．9．直线2x﹣3y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2）10．已知点A（2，﹣1，2）在平面α内，是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是（）A．（1，﹣1，1） B． C． D．11．如图，空间四边形OABC中，，，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（）A．，， B．，， C．，， D．，，12．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．13．已知圆C：（x﹣6）2+（y﹣8）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．12 B．11 C．10 D．914．已知点P（3，1）在椭圆上，点M（a，b）为平面上一点，O为坐标原点，则当|OM|取最小值时，椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共5小题，每题5分，共20分）15．已知三条直线ax+2y﹣1＝0、3x+y+1＝0、2x﹣y+1＝0不能围成一个三角形，则实数a的值为．16．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与OM边相切于点C时，∠ACB最大．人们称这一命题为米勒定理，已知点D，E的坐标分别是（0，1），（0，3），F是x轴正半轴上的一动点，当∠DFE最大时，点F的横坐标为．17．已知函数，则f（f（﹣1））＝．18．已知，是空间两个向量，若，，，则＝．19．已知圆，圆，点M，N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是．三、解答题（第20-23小题各14分，第24小题18分，共82分）20．已知直线l：ax+（1﹣2a）y+1﹣a＝0．（1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：（2）当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N，Q分别为CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动，且．（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ；（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．22．已知△ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线所在直线的方程为x+3y＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为2x﹣3y﹣4＝0．（1）求点B，C的坐标；（2）求△ABC的面积．23．已知⊙C的圆心在直线3x﹣y﹣3＝0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2．（1）求⊙C的方程；（2）设点D在⊙C上运动，且点T满足，（O为原点）记点T的轨迹为E．①求曲线E的方程；②过点M（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在直三棱柱ABC﹣A