2023-2024学年山西省晋中市平遥二中高三(上)第一次质检数学试卷(8月份)

2023-2024学年山西省晋中市平遥二中高三（上）第一次质检数学试卷（8月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4≤0}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则M∩N＝（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2] C．[﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2]⋃[2，+∞）2．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．所有的矩形都是正方形 B．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合 C．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件 D．∃x∈R，x2+2x+2≤03．（5分）已知0＜x＜2，则的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．64．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递减的是（）A． B． C．y＝ex﹣e﹣x D．y＝log2|x|5．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＜b C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若，则a＜b6．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣15）＜f（21）＜f（90） B．f（90）＜f（21）＜f（﹣15） C．f（﹣15）＜f（90）＜f（21） D．f（21）＜f（﹣15）＜f（90）7．（5分）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件．正确的命题序号是（）A．①④ B．①② C．②③ D．③④8．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣，若实数m满足f（log3m）﹣f（logm）≥2f（1），则实数m的取值范围是（）A．（0，] B．[] C．[1，3] D．[3，+∞）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是（）A．3∈A，﹣1∉A B．3∈A，﹣1∈A C．3∉A，﹣1∈A D．3∉A，﹣1∉A（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．“x＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件 B．已知a，b为实数，则“a＞b2”是“”的充要条件 C．命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0 D．已知a＞0，b＞0，则“”是“ln（a+1）＞lnb”的必要不充分条件（多选）11．（5分）下列函数中，最小值是4的函数有（）A．f（x）＝ B．f（x）＝ C．f（x）＝ D．（多选）12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（x+4）+f（2），若函数y＝f（x+3）的图象关于直线x＝﹣3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，则下列结论正确的是（）A．f（2）＝0 B．f（x）是偶函数 C．f（x）是周期为4的周期函数 D．f（3）＜f（﹣4）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知b，c∈R，关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则关于x的不等式cx2+bx+1＞0的解集为．14．（5分）已知函数f（x）＝则f（0）的值为．15．（5分）已知函数f（x）＝x3+sinx+1，若f（a）＝2，则f（﹣a）＝．16．（5分）若函数f（x）满足，则f（3）＝．四、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a＜b＜0，比较与的大小．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m＝3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．19．（12分）已知命题p：对于任意x∈[1，2]，都有∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0：命题q：存在x∈R，使得x2+2ax+2﹣a＝0．若p与q中至少有一个是假命题，求实数a的取值范围．20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0．21．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在区间[﹣3，﹣1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．22．（12分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2023）．

2023-2024学年山西省晋中市平遥二中高三（上）第一次质检数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4≤0}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则M∩N＝（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2] C．[﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2]⋃[2，+∞）【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；一元二次不等式及其应用．【答案】C【分析】根据对数型函数的定义域、一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可．【解答】解：因为M＝[﹣2，2]，N＝（﹣∞，1），所以M∩N＝[﹣2，1）．故选：C．2．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．所有的矩形都是正方形 B．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合 C．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件 D．∃x∈R，x2+2x+2≤0【考点】集合的含义；充分条件与必要条件；存在量词和特称命题．【答案】C【分析】由正方形与矩形的概念可判定A项，由描述法的概念可判定B项，由平方的性质结合充分必要条件的定义可判定C项，由配方法可判定D项．【解答】解：对于A项，所有长宽不等的矩形都不是正方形，故A错误；对于B项，由描述法的概念可知集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}分别表示点的集合与数的集合，显然不表示同一集合，故B错误；对于C项，由a2＝b2⇒a＝±b，不满足充分性，若a＝b则a2＝b2，满足必要性，故C正确；对于D项，∀x∈R，x2+2x+2＝（x+1）2+1≥1，故D错误．故选：C．3．（5分）已知0＜x＜2，则的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．6【考点】基本不等式及其应用．【答案】B【分析】利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：因为0＜x＜2，所以＝2≤2＝4，当且仅当x2＝4﹣x2时取等号，因为0＜x＜2，即时取等号．故选：B．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递减的是（）A． B． C．y＝ex﹣e﹣x D．y＝log2|x|【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断．【答案】B【分析】由定义域不关于原点对称判断A；根据导数以及奇偶性定义判断B；由指数和对数函数单调性判断CD．【解答】解：对于A，易知的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故A错误；对于B，函数的定义域为（﹣∞，0）⋃（0，+∞），令，当x∈（0，1）时，，即函数在区间（0，1）上单调递减，又，所以是奇函数，故B正确；对于C，，易知函数y＝ex﹣e﹣x在区间（0，1）上单调递增，故C错误；对于D，当x∈（0，1）时，y＝log2|x|＝log2x在区间（0，1）上单调递增，故D错误．故选：B．5．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＜b C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若，则a＜b【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【答案】D【分析】对于AC，结合特殊值法，即可求解，对于BD，结合不等式的性质，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，b＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故A错误，对于B，若ac＞bc，当c＞0时，a＞b，故B错误，对于C，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，b＝﹣1，满足a＞b，c＞d，则a﹣c＝b﹣d，故C错误，对于D，若，可得c2＞0，故a＜b，故D正确．故选：D．6．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣15）＜f（21）＜f（90） B．f（90）＜f（21）＜f（﹣15） C．f（﹣15）＜f（90）＜f（21） D．f（21）＜f（﹣15）＜f（90）【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】D【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式、增函数的性质进行判断即可．【解答】解：f（x﹣4）＝﹣f（x）⇒f（x+4﹣4）＝﹣f（x+4）⇒f（x）＝﹣f（x+4）⇒f（x+4）＝﹣f（x+8），所以有f（x）＝f（x+8），因此函数f（x）的周期是8，f（﹣15）＝f（﹣15+16）＝f（1），f（21）＝f（24﹣3）＝f（﹣3）＝﹣f（1），f（90）＝f（88+2）＝f（2），因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，因为f（x）区间[0，2]上是增函数，所以f（2）＞f（1）＞f（0）＝0，所以f（21）＝﹣f（1）＜0，所以f（21）＜f（﹣15）＜f（90）．故选：D．7．（5分）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件．正确的命题序号是（）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】由充分必要条件的定义和传递性，可得结论．【解答】解：由p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，可得p⇒r，r推不出p，q⇒r，r⇒s，s⇒q，所以s⇔q，故s是q的充要条件，①正确；p⇒q，q推不出p，故p是q的充分不必要条件，②正确；r⇔q，故r是q的充要条件，③错误；r⇔s，故r是s的充要条件，④错误．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣，若实数m满足f（log3m）﹣f（logm）≥2f（1），则实数m的取值范围是（）A．（0，] B．[] C．[1，3] D．[3，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】D【分析】判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，根据对数的性质即可求出．【解答】解：∵函数f（x）＝2x﹣为R上的增函数，且f（﹣x）＝2﹣x﹣＝﹣f（x），即为奇函数，∴f（log3m）﹣f（logm）≥2f（1）⇒f（log3m）﹣f（﹣log3m）≥2f（1）⇒2f（log3m）≥2f（1）⇒f（log3m）≥f（1），∴log3m≥1⇒m≥3，故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是（）A．3∈A，﹣1∉A B．3∈A，﹣1∈A C．3∉A，﹣1∈A D．3∉A，﹣1∉A【考点】元素与集合关系的判断．【答案】ACD【分析】分类讨论x，y的正负情况，从而得到集合A的表达式，由此得解．【解答】解：由x，y都是非零实数，可得：当x＞0，y＞0时，z＝1+1+1＝3；当x＞0，y＜0时，z＝1﹣1﹣1＝﹣1；当x＜0，y＞0时，z＝﹣1+1﹣1＝﹣1；当x＜0，y＜0时，z＝﹣1﹣1+1＝﹣1；故A＝{﹣1，3}，所以3∈A，﹣1∈A，故B正确．故选：ACD．（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．“x＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件 B．已知a，b为实数，则“a＞b2”是“”的充要条件 C．命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0 D．已知a＞0，b＞0，则“”是“ln（a+1）＞lnb”的必要不充分条件【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件；存在量词和特称命题；指、对数不等式的解法．【答案】AC【分析】根据充分性、必要性的定义，结合对数函数和指数函数的单调性、存在命题的否定性质逐一判断即可．【解答】解：对于A，x2﹣3x+2≥0⇒x≥2，或x≤1，显然“x＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件，所以A正确；对于B，当a＝1，b＝﹣1时，显然成立，但是a＞b2不成立，因此B不正确；对于C，因为存在命题的否定是全称命题，所以C正确；对于D，因为a＞0，b＞0，所以，ln（a+1）＞lnb⇒a+1＞b，显然由a＞b⇒a+1＞b，当a＝b＝﹣1时，显然a+1＞b成立，但是a＞b不成立，所以D不正确．故选：AC．（多选）11．（5分）下列函数中，最小值是4的函数有（）A．f（x）＝ B．f（x）＝ C．f（x）＝ D．【考点】基本不等式及其应用．【答案】ACD【分析】利用基本不等式即可判断出结果，但一定要注意验证等号是否能够成立．【解答】解：A：f（x）的定义域为{x|x≠0}，∵x2＞0，∴f（x）＝x2≥2＝4，当且仅当x2＝即x±时取等号．∴f（x）的最小值为4．∴A正确．B：∵0≤x＜，∴0＜cosx≤1，∴f（x）＝cosx+≥2＝4，当且仅当cosx＝即cosx＝2时取等号．∵cosx∈（0，1]，∴等号取不到，∴f（x）最小值不能为4．∴B不正确．C：f（x）的定义域为R，∵f（x）＝＝+≥2＝4，当且仅当＝即x＝±时取等号，∴f（x）的最小值为4．∴C正确．D：f（x）的定义域为R，∵3x＞0，∴f（x）＝3x+≥2＝4，当且仅当3x＝即x＝时取等号，∴f（x）的最小值为4．∴D正确．综上所述：故答案为A，C，D．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（x+4）+f（2），若函数y＝f（x+3）的图象关于直线x＝﹣3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，则下列结论正确的是（）A．f（2）＝0 B．f（x）是偶函数 C．f（x）是周期为4的周期函数 D．f（3）＜f（﹣4）【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性．【答案】ABC【分析】由y＝f（x+3）的图象关于直线x＝﹣3对称，得到y＝f（x）关于y轴对称，赋值后得到f（2）＝0，进而得到f（x）＝f（x+4），判断出ABC均正确；根据∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，得到f（x）在[0，2]上单调递增，结合函数的周期及奇偶性得到f（0）＝f（﹣4），f（3）＝f（﹣1）＝f（1），判断出f（3）＞f（﹣4）．【解答】解：y＝f（x+3）的图象关于直线x＝﹣3对称，故y＝f（x）关于y轴对称，f（x）是偶函数，B正确；f（x）＝f（x+4）+f（2）中，令x＝﹣2得：f（﹣2）＝2f（2），因为f（﹣2）＝f（2），所以f（2）＝2f（2），解得：f（2）＝0，A正确；故f（x）＝f（x+4），f（x）是周期为4的周期函数，C正确；对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，故f（x）在[0，2]上单调递增，又f（x）是周期为4的周期函数，且f（x）是偶函数，故f（0）＝f（﹣4），f（3）＝f（﹣1）＝f（1），因为f（1）＞f（0），所以f（3）＞f（﹣4），D错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知b，c∈R，关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则关于x的不等式cx2+bx+1＞0的解集为（﹣，1）．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（﹣，1）．【分析】由题意可知﹣2和1是方程x2+bx+c＝0的两个根，利用韦达定理可求出b，c的值，再代入不等式cx2+bx+1＞0求解即可．【解答】解：∵关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴﹣2和1是方程x2+bx+c＝0的两个根，由韦达定理可得，解得，∴不等式cx2+bx+1＞0可化为﹣2x2+x+1＞0，即2x2﹣x﹣1＜0，解得﹣，即不等式cx2+bx+1＞0的解集为（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．14．（5分）已知函数f（x）＝则f（0）的值为8．【考点】函数的值．【答案】8．【分析】利用分段函数的解析式，将x＝0的值代入即可．【解答】解：由题意，f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝23＝8．故答案为：8．15．（5分）已知函数f（x）＝x3+sinx+1，若f（a）＝2，则f（﹣a）＝0．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】0．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝﹣x3﹣sinx+1，进而可得f（x）+f（﹣x）＝2，由f（a）的值，分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+sinx+1，则f（﹣x）＝﹣x3﹣sinx+1，则有f（x）+f（﹣x）＝2，若f（a）＝2，则f（﹣a）＝2﹣f（a）＝0；故答案为：0．16．（5分）若函数f（x）满足，则f（3）＝．【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【答案】．【分析】根据的倒数关系，利用代入法构造方程组进行求解即可．【解答】解：因为，所以有，②×2﹣①，得，所以．故答案为：．四、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a＜b＜0，比较与的大小．【考点】不等式比较大小．【答案】见试题解答内容【分析】通过“作差法”和利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＞0，b2＜a2．∴﹣＝＝＜0．∴＜．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m＝3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）当m＝3时，化简A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝[﹣2，5]，B＝（2，7）；从而求交集．（Ⅱ）讨论当B≠∅时，；当B＝∅时，m﹣1≥2m+1，从而解得．【解答】解：（Ⅰ）当m＝3时，A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝[﹣2，5]，B＝（2，7）；则A∩B＝（2，5]．（Ⅱ）∵B⊆A，当B≠∅时，；解得，﹣1≤m≤2；当B＝∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．19．（12分）已知命题p：对于任意x∈[1，2]，都有∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0：命题q：存在x∈R，使得x2+2ax+2﹣a＝0．若p与q中至少有一个是假命题，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；全称量词和全称命题；复合命题及其真假．【答案】（﹣2，1）∪（1，+∞）．【分析】先根据命题p为真和命题q为真，求得a的范围，再求得命题p和命题q同时为真的a的范围，再求补集即可．【解答】解：由题意知：命题p：对于任意x∈[1，2]，都有∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，若命题p为真，则对于任意x∈[1，2]，都有a≤（x2）min＝1，即a≤1：命题q：存在x∈R，使得x2+2ax+2﹣a＝0．若命题q为真，则方程x2+2ax+2﹣a＝0有解．则有Δ＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a2+a﹣2≥0，解得a≥1或a≤﹣2，若p与q都是真命题，则a≤﹣2或a＝1，所以若p与q中至少有一个是假命题，则a＞﹣2且a≠1，即实数a的取值范围是（﹣2，1）∪（1，+∞）．20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据函数的奇偶性求出a，b的值即可；（2）根据函数的单调性得到关于t的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由，解得：，故f（x）＝＝﹣+，∴f（x）在R递减；（2）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0，得f（t2﹣2t）＜f（1﹣2t2），由函数的单调性得：t2﹣2t＞1﹣2t2，解得：t＞1或t＜﹣．21．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在区间[﹣3，﹣1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）根据题意，由f（0）＝f（2）可得f（x）的对称轴为x＝1，结合其最小值可以设f（x）＝a（x﹣1）2+1，又由f（0）＝3，可得f（0）＝a+1＝3，解可得a的值，代入函数的解析式即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由二次函数的性质分析可得答案；（Ⅲ）根据题意，原问题可以转化为（2x2﹣4x+3）＞2x+2m+1在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，进而可以转化为m＜x2﹣3x+1在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，设g（x）＝x2﹣3x+1，由二次函数的性质分析g（x）的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，二次函数f（x）满足f（0）＝f（2）＝3，则f（x）的对称轴为x＝1，又由其最小值为1，则设f（x）＝a（x﹣1）2+1，又由f（0）＝3，则有f（0）＝a+1＝3，解可得a＝2，则f（x）＝2（x﹣1）2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）