2025-2026月考试卷8年级（数学）一元二次方程根的判别式与系数关系（原卷版）

2-4ac<0时，方程没有实根。(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范-4ac恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。ax2+bx+c=ax-x12)①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，因此，给定一元二次方程ax2+bx+c=0就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数x1，x2满足①与②,那么这两数x1，x2必是一个一元二次方程ax2+bx+c=利用根与系数的关系，我们可以不求方程ax2+bx+c=0的根，而知其根的正、负性．当c<0时，方程的两根必一正一负．若-b≥0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若-b<0，则此当当>0时，方程的两根同正或同负．若->0，则此方程的两根均为正根；若-<0，则此方程的两根aa①(x1-m)(x2-m)<0⇋x1>m，x2<m②(x1-m)(x2-m)>0且(x1-m)+(x2-m)>0⇋x1>m，x2>m③(x1-m)(x2-m)>0且(x1-m)+(x2-m)<0⇋x1<m，x2<m·特殊地：当m=0时，上述就转化为ax2+bx+c=0(a≠0)有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：x2-(x1+x2)x+x1x2=0．⑤若a-b+c=0，则ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根x=-1．⑤逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时【例1】（2025·上海松江·模拟预测）若x=2是一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，则方程的另一个根是()A．-5B．-22-4x-5=0的两个实数根分别为x1，x2则x1＋x2等于()434312025·上海虹口·模拟预测）如果实数x、y（xy≠-1）分别满足3x2+2025x-2=0，2y2+2025y-3=0，则的值等于()2025202522025·上海宝山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+10x+3a+4=0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为．324-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根分别为x1和x2，(2)求x+x的值． 一元二次方程2x2-5x-1=0的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=；(2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程k2-2=0．若方程的两个实数根为x1【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段A．x2-4x+4=0B．x2-16=0C．x2+6x+9=0D．x2-5x+9=0【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）下列关于x的一元二次方程有实数根的是()A．x2+2=0B．x2+2x+3=0C．2x2-3x+4=0D．x2-1=0Δ=0．若此方程的一个根x1=3，则其另一个根x2=．12025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程x2__mx+aQm2-6a，则P，Q的数量关系是()A．P-Q=1.5B．P-Q=-1.5C．2P+Q=0D．P+2Q=022025·上海金山·模拟预测）定义运算：a※b=a2+ab-2b2，例如4※3=42+4´3-2´32，则不解方程，324-25八年级上·上海虹口·期末）已知关于x的一元二次方程kx2-4kx+(4k-1)=0(k≠0)，试判断此一424-25八年级上·上海青浦·期中）课本知识，关于x的一元二次方程ax2+2cx+b=0，如果a、b、c满足a2+b2=c2且a≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程(1)初步探究：判断方程x2+2x+1=0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）关于x的方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()A．m≥-1B．m<1C．m≥1D．m>-1【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）关于x的一元二次方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是()44444444【例3】（2025·上海松江·模拟预测）已知关于【例4】（2025·上海静安·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2-2x+(k+1)=0有实根．(2)当k取最大整数时，求该方程的两个根．⊗1=2×1-3=-1，若关于x的方程【x,x+1】⊗(mx)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为141m>-4y的一元二次方程(m-6)y2+2y-1=0有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为．324-25八年级上·上海闵行·期末）关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根．(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m-2)x2+x+m-4=0与方程x2-3x+k=0有一个相同424-25八年级上·上海静安·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学素材对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求x2+2x+3最小值，令y=x2+2x+3，则x2+2x+3-y=0，则b2-4ac=4-4(3-y)=-8+4y≥0，可解得y≥2，从而确定x2+2x+3的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式任务1感受新知：用判别式法求3x2+4x-2的最小值．任务2探索新知：若关于x的二次三项式x2-ax+3（a为常数）的最小值为-1，求a的值．【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若x1，x2方程x2-4x-7=0的两个实的值为()则代数式的值是()【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）若a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根，则代数式2a+2b-ab的值是．【例4】（24-25八年级上·上海松(2)求代数式x12x2+x1x22的值．124-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若方程x2+px+q=0的根是2和3，那么代数式x2-px+q可分解224-25八年级上·上海普陀·期中）已知方程4x2-2x-7=0的两个实数根为x1、x2，求下列代数式的值．2③x+x=；.324-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，求下列代数式(2)x12+x22x(1)设一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．(2)设一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=2，x1x2=-3，则b=，c=.________(3)设一元二次方程x2-x-2=0的两个根分别为x1，x2，求代数式的值．【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）若方程3x2-x-2=0的两根分别为x1和x2，则代数式：的值为()111223333mn-m的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是()②化简3mn-m③将步骤①中的m+n，mn的值代入到步7-2①解方程x2-3x-4=0；②化简3mn-m的结果中，解得代数式的值为-2【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）已知一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为a、b，则代数式5-a2b-ab2的值为．【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2-4x+5的最小值时，所以(x-2)2+1≥1．所以当x=2时，x2-4x+5有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题：(2)求代数式-x2+2x+9的最大或最小值．12025八年级上·上海宝山·专题练习）已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值为A．7B．-1C．7或-1D．-2或1224-25八年级上·上海金山·期中）若代数式x+2的值与代数式x(x+2)的值相等，则x的值为．324-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．424-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配\(x+2)2+1≥1．\x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为x2-4x+6=（x-)2+，所以当x=时，代数式x2-4x+6有最）(2)比较代数式x2-1与2x-3的大小．的一元二次方程x2-6x+m-1=0的两根，求m的值()是()A．-2B．-1C．1D．2“□”表示一个数，则“□”为．【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）关于x的一元二次方程x2+4x-m2=0的两根x1，x2满足元二次方程x2-8x+t-1=0的两根，则t的值为()根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1.x2=．根据该材料填空:已知x1，x2是方程x2+4x根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1.x2=．根据该材料填空:已知x1，x2是方程x2+4x324-25八年级上·上海普陀·期中）已知：关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.(1)运用：若一元二次方程2x2+x-1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2=．请你试证明：x(3)若x1，x2是关于x的方程m2-1=0的两个实数根，且x+x=m-1，求m的值．（m＜0）的两根，则b*b_a*a的值为()方程x※2=0根的情况是()根【例3】（2025八年级上·上海静安·模拟预测）定义新运算：m☆n=mn-m-n，若方程2x2-5x+1=0的解(1)求1△(-2)和(-1)△2的值；(2)若x1,x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个根，且x1<x2，求x1△x2+3x2的值．列结论正确的有()①3*4=25；②a*(2a③若x1,x2是一元二次方程x2+(2-m)x-m+1=0的两个根，且x1*x2=5，则m的值为3或-1．32025·上海嘉定·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的两根之和x1+x2与两根之积，x1.x2分别是另一个一元二次方程a2x2+b2x+c2=0的两个根，则一元二次方程a2x2+b2x+c2=0称为一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的“再生韦达方程”，一元二次方程a1x2+b1x+c1=0称为“原生方程”．比如：一元二次方程x2-2x-3=0的两根分别为x1=3,x2=-1，则x1+x2=2,x1.x2=-3，所以它的“再生韦达方程”为x2+x-6=0．(1)已知一元二次方程x2-5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；(2)已知“再生韦达方程”x2+x-30=0，求它的“原生方程”．424-25八年级上·上海松江·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求(1)方程-12x2-x+1=0的倒方程是．(2)若x=5是x2-3x+c=0的倒方程的解，求出c的值；(3)若m，n是一元二次方程x2-5x-1=0的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式2n2-mn-10m的值．【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）设关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0的两个实数根为x1、x2，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x1①若ac<0，则方程P有两个不相等的实数根；②若方程P有两个不相等的实数根，则方程Q必定也有两1个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则-是方程Q的一个根；④若方程P和方程Q有相同的5根，则a+c=0．正确的个数是()【例3】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知关于x的方程（1）x1≠x22）x1x2>ab；(3)x12+x22>a2+b2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠和-6，则方程x2+9x+18=0就是“倍根方程”．124-25八年级上·上海宝山·期末）已知关于x的方程x2(x1<x2)，关于x的方程bx+c=0的根为x3，给出下面三个结论：上述结论中，所有可能正确的结论的序号是()324-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读理解．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+程”，例如：方程2x2-7x+3=0的“密友方程”是3x2-7x+2=0．(1)写出一元二次方程x2-6x+8=0的“密友方程”是．x4=．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2，与其“密友方程”cx2+bx+ax3，x4之间存在的一种特殊关系为，证明你的(3)已知关于x的方程mx2+nx+q=0的两根是x1=2023，x，可应用（2）中的结论，解关于x的方程q(x-1)2-nx+n+m=0．方程可化为：a(x-x1)(x-x2)=0，即ax2-a(x1+x2)x+ax1x2=0，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：x1+xx1x（1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程2x2-4kx+2k2+3k-3=0有两个实数根x1，x2．【探究引申】设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个根x1，x2，x3，则a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：x1+x2+x（2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程2x3-4kx2+2k2x+3k-3=0有三个根a，β,g，求【例1】（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习A．x1+x2=-2B．x1+x2=2C．x1x2=3D．x1x【例2】（2025·上海静安·模拟预测）已知关于y的一元二次方程y2-8y-m2=0的两根分别为y1，y2，则下列说法不一定正确的是()A．y1≠y2B．y1.y2<0C．y1+y2>0D．方程有两个实数根为1和-2，则b=，c=.【知识应用】若x1,x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，不解方程，求x+x的值；x3+2x2-4x+1=0的三个根分别为p,q,r，求的值．124-25八年级上·上海松江·阶段练习）整式M：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，其中a0，a1，a2，a3，a4为整数．下列说法正确的个数为()①若a0，a1，a2，a3，a4均为自然数且a+a+a+a+a=5，则满足条件的整式M共有21个；②当a0，a1，a2，a3，a4均为自然数时，a0，a1，a2，a3，a4必有两个数的差是4的倍数；③当M=0时，该方程存在4个实数根记为x1，x2，x3，x4，若存在整数n，使x1x2x3x为正整数，则2a4-a0=0．224-25八年级上·上海宝山·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x-m2-m=0(m>0)．324-25八年级上·上海闵行·期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．(3)若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c均为常数）为“邻424-25八年级上·上海静安·期中）若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0x关系称为一元二次方程根与系数的关系．若a，β是方程x2-x-1=0的两根，记S1=a+β,S2=a2+β2，...，Sn=an+βn．(2)当n为不小于3的整数时，求证：Sn=Sn-1+Sn-2；12025·上海徐汇·模拟预测）若一元二次方程x2-4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是22025·上海闵行·模拟预测）关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+3=0在实数范围内有实数根，则m的取值范围是()44A．m≤且m≠1B．m≤3C．m≥D．m≤且m≠132025·上海嘉定·模拟预测）如图，关于x的方程中的三个符号，改变其中的两个（“+”变为“-”或“-”变为“+”使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是()42025·上海静安·模拟预测）已知m，n是方程x2-3x-4=0的两根，求代数式3mn-m的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是()嘉嘉：①解方程x2-3x-4=0；②将步骤①中的解，代入到代数式3mn-m中，解得代数式的值为-．2淇淇：①根据根与系数关系求出m+n，mn的值；②化简3mn-m③将步骤①中的7m+n，mn的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为-．2程2R2-5R+1=0，R3=1Ω.若闭合开关S后，电流表的读数为7.5A，则电源的电压是()A．10VB．9VC．8VD．7V62025·上海虹口·模拟预测）一元二次方程2x2-3x-1=0根的情况是．72025·上海青浦·模拟预测）方程x2+x-1=0的两个根分别为x1和x2，则x12x2+x1x22=．824-25八年级上·上海闵行·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2-4(ac-1)的值为．92025八年级上·上海普陀·专题练习）有四组一元二次方程：①x2-4x+3=0和3x2-4x+1=0；②x2-x-6=0和6x2+x-1=0；③x2-4=0和4x2-1=0；④4x2-13x+3=0和3x2-13x+4=0．这四组方：．1024-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一（3）若关于x的方程(x-2)(mx+n)=0m≠0）是倍（4）若q=2p，则关于x的方程px2-q=0（p≠0）是倍根方程．1124-25八年级上·上海宝山·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2mx