2025-2026月考试卷8年级（数学）赵爽弦图模型与勾股树模型（解析版）

弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模.................................................................................................................................................2 2 34 77“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时论：△ABE兰△BCF兰△CDG兰△DAH；又∵AB＝BC，∴△ABE兰△BCF，同理可得△ABE兰△BCF兰△CDG兰△DAH．（2）外弦图模型：条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形，结论：△AHE兰△BEF兰△CFG兰△DGH；又∵EF＝FG，∴△EBF兰△FCG．同理可得△EBF兰△FCG兰△GDH兰△HAE．（3）内外组合型弦图模型：条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.证明：由（12）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用S△表示他们的面积。∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△;正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH条件：如图7，在Rt△ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE丄BD，结论：△ABE兰△BCD；AB-CD=EC。上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼例123-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角角边(x>y)，则下列选项中正确的是()A．x2+y2=5B．xy=12C．(x+y)2=25D．x2-y2=1【答案】B【答案】B全平方公式的特点是解题的关键，根据题意由勾股定理可得x2+y2=25，x-y=1，再利用完全平分公式，【详解】解：由题和勾股定理知，x2+y2=25，x-y=1，故A项错误，不符合题意；:(x-y)2=x2-2xy+y2=1，:25-2xy=1，解得xy=12，故B项正确，符合题意；2=49，x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，:x+y=7，:x2-y2=(x+y)(x-y)=7×1=7，故D项错误，不符合题意；故选：B．【答案】D到a2+b2=c2=24，(a-b)2=a2+b2-2ab=4，进而求出ab的值，再进一步求解即可.【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，丫丫小正方形的面积是4，\(a-b)2=a2+b2-2ab=4，\ab=10，\图2中最大的正方形的面积=cab=24+2´10=44；故选：D．例323-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=27，则S2的值是【答案】【答案】B知识，根据题意，设这八个全等的直角三角形的直角边为a、b（不妨令a>b斜边为c，由勾股定理得到c2=a2+b2，再由正方形面积公式表示出S1，S2，S3，运用完全平方公式展开，由整式混合运算化简解方程即可得到答案，读懂题意，数形结合得到方程求解【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为a、b（不妨令a>b斜边为c，则由勾股定理可得c2=a2+b2，\S1=(a+b)2，S2=c2，S3=(b-a)2，S2+S3=27，\(a+b)2+c2+(b-a)2=27，即a2+2ab+b2+c2+b2-2ab+a2=2(a2+b2)+c2=3c2=27，解得c2=9，\S2的值是9，故选：B．为() 定理求出AD，再根据图中的阴影部分的周长为4(AD+AB)，即可． 直角三角形围成的．若AC=2，BC=1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()【答案】B【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理在实际情况中应用，正确挖掘隐含条例623-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面积为80．连接AC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为().【答案】C【分析】设AE=x，BE=3x，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得x2=8，再根据题意和三角形的面积公式可推导出S△FGQ=S△AEP+S△CGQ，进而推出阴影部分的面积之和为梯形GQPF的面积，利用梯形面积公【详解】解：由题意，LAEP=LCGQ=LCFP=90o，AE=CG=BF，BE=CF，∴AE∥CF，BE∥DG，EF=GF，∴LEAP=LGCQ，∴△AEP≌△CGQ(ASA)，∴EP=GQ，S△AEP=S△CGQ，丫BE:AE=3:1，∴设AE=x，则AE=CG=BF=x，BE=CF=3x，∴EF=GF=CF-CG=2x，∴S△FGQ=2S△CGQ=S△AEP+S△CGQ，∴阴影部分的面积之和为 例72023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2(S1>S2)．若SS2，AF=2，则正方形MNPQ的面积为()【答案】【答案】B【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，则小正方形的边长为b-a=AF=2，正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a，正方形MNPQ的边长为2c，由【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，则小正方形的边长为b-a=AF=2，正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a，正方形MNPQ的边长为2c， a，较长直角边为b，斜边为c，用a,b,c表示出相关线段的长度，从而解决问题．例823-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，LACB=LCED=90o，LAEC=LEAC，AB丄CD于点F．(1)求证：△ABC≌△CDE；(2)若点B是EC的中点，DE=2cm，求AE的长． B是EC的中点，得EC=2BC=4，即可得出结论． 和△BEC都是直角三角形，其中AC=BC，且直角顶点都在直线l上，求证：△ACD≌△CBE．证明：由题意，LBCE+LACD=180o-90o=90o，LDAC+LACD=90o．六LDA探索BD、DE、CE之间的数量关系，并证明你的结论．(3)如图4，△ABC和△ADE都是等腰直角三上，连接BD，思考：BD与CE之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想．【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质,勾股定理．（1）BD=CE+DE，证明△ABD丝△CAE即可求证；（2）过A作AE丄OM，过B作BF丄OM，易证△（3）过D作DF丄CB交CB的延长线于点F，易证△ACE≌△EFD，得出AC=EF=BC，CE=DF，进而（3）证明：过D作DF丄CB交CB的延长线于点F，勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边∴Sa2。同理：Sb2；S由题意可得：a2+b2=c2；∴S1+Sc2=S3条件：如图，正方形ABCD的边长为a，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，结论：Sn=an-1。S1=a2，S2=S1=a2，S3=S2=a2，S4=S3=a2边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好－－结论：第n代勾股树中正方形的个数为：Nn=2n+1-1；第n代勾股树中所有正方形的面积为：第三代勾股树中所有正方形的面积为=4c2=4m2；【答案】Da2+b2=c2，掌握勾股定理是解题的关键，分别表示出对应图形的S1，S2，S3，再结合a2+b2=c2进行逐一 例223-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在四边形ABCD中，7DAB=7BCD=90o，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1=30,S3=26,S4=52，则S2的值是()【答案】B【分析】本题考查正方形面积计算，勾股定理，正确作出辅助线，由勾股定理得的关键．连接BD，由勾股定理，得AB2+AD2=BD2=CD2+BC2，于是S1+S4=S2+S3，代入求解即可．【详解】解：连接BD，由题意得：S1=AB2，S4=AD2，S3=CD2，S2=BC2，2+S4-S3=30+52-26例32023春·成都·八年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2…，按此规律继续下去，则S100的值为() \DE2+CE2=CD2，DE=CE，\S2+S2=S1． 例423-24八年级下·重庆·期末）如图1，LACB=90o，AC=4，BC=3，以这个直角三角形两直角边为角三角形的直角边为边长作正方形，…,按此规律，则图6中所有正方形的面积和为()【答案】【答案】B图3中所有正方形面积和，32+42+32+42+32+42+52=25´4=100…∴第n个图形中所有正方形的面积和为25(n+1)，例52023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形--棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为()【答案】B【答案】B【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规例623-24八年级下·安徽芜湖·期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，7BAC=90o，AB=3,BC=5，点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为()【答案】B【分析】本题考查勾股定理的证明，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，12023·重庆涪陵·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，LABC=LCDA=90o，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1=4，S2=16，S3=12，则S4的值是()【答案】B【分析】连接AC，构造RtΔABC和RtΔADC，然后在RtΔABC中利用勾股定理求出AC2，在RtΔADC中求出AD2，进而求得S4的值．【详解】如图所示，连接AC，在RtΔABC中，AC2=AB2+BC2即AC2=S1+S2=4+16=20；同理，在RtΔADC中，AC2=AD2+DC2即AC2=S4+S3=S4+12=20则S4=8故选B．【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定22023秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，200【答案】【答案】C【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后根据(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ab求得即可求得ab的值，结合(b-a)2=a2-2ab+b2=c2-2ab即可求解．∴(b-a)2=a2-2ab+b2=c2-2ab=16-2×6=4．故选C【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，熟记角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A．24B．52【答案】D【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如42023·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦【答案】CS3NG_NF）2＝NG2+NF2_2NG•NF，=3GF2是解决问题的关键．四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形ABCD，其边长为a+b．图中正方形ABCD，正方形EFGH和正方形MNPQ的面积之和为()A．2a2+2b2B．2a2+3b2C．3a2+3b2D．4a2+4b2【答案】【答案】C首先根据勾股定理得到EF2=BE2+BF2=a2+b2，然后利用正方形ABCD，正方形EFGH和正方形MNPQ的面积之和为：AB2+EF2+MN2代入求解即可．【详解】丫LB=90°∴EF2=BE2+BF2=a2+b2∴正方形ABCD，正方形EFGH和正方形MNPQ的面积之和为：AB2+EF2+MN2=(a+b)2+a2+b2+(b-a)2=a2+2ab+b2+a2+b2+a2-2ab+b2=3a2+3b2．故选：C．62022秋·广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图所示的是一种“三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角边为边，分别向外作正方形②和②’,再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为()【答案】【答案】C【分析】求出正方形的性质，再根据勾股定理依次求出各正方形的面积，然后求出正方形①的面积，再根\正方形④的面积为2+2=4cm2，同理，正方形③的面积是8cm2，正方形②的面积是16cm2，正方形①的面积是32cm2．故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息72022·河南洛阳·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，以AC为直角边向外作Rt△ACD，分别以AB，A．2B．【答案】BCD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合AB2+BC2=AC2=CD2-AD2,可得S1＋S2＝S3_S4，从而可得∴SABAB2，SBCBC2，SCDCD2,2+BC2=AC2=CD2-AD2,【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关【答案】2026a2+b2=c2．则S1-S2+S3-S4的值为【答案】55【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得S1=a2+b2，S2=由题意得a2=64，e2=9，S1=a2+b2，S2=b2+c2，S3=c2+d2，S4=d2+e2，∴S1-S2+S3-S4=a2+b2-(b2+c2)+(c2+d2)-(d2+e2)=a2-e2=64-9=55，故答案为：55．1023-24八年级下·北京·期中）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正((1)2024【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，根据题意表示出S1，S2，S3的值，找到规律Sn，根据规律计算即可．23，.....．：．【答案】l|由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为48，AE+BE=8．则S△CFP-S△AEP的值是【答案】16【分析】先证明△AEP兰△CGM（ASA则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=8-x，根据勾股定理得：AE2Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，:x2+（8-x）2=48，:2x2-16x=-16，:AH聂CF，:LEAP=LGCM，:△AEB兰△CGD，:AE=CG，:△AEP兰△CGM（ASA:S△AEP=S△CGM，EP=MG，矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8_x）=2x2-16x+48=-16+48=32，则S△CFP-S△AEP的值是16；形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=36，则正方形EFGH【答案】【答案】23【分析】本题考查了勾股定理的证明，设出八个全等的直角三角形的两直角边设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，由图形可得出S1=(a+b)2，S2=a2+b2，S3=(a-b)2再由S1+S2+S3=36即可得出结果．\3(a2+b2)=36，\a2+b2=12，即正方形EFGH的面积为12，\正方形EFGH的边长为12=23，\故答案为：23． \LABP=LPDC=90o，\LBAP+LAPB=90o， 丫AP丄PC，\LAPC=90o，\LAPB+LCPD=90o，\LBAP=LCPD， 1423-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△AB :LBCA+LDCE=90°,LA+LBCA=90°:LDCE=LA． 152023·四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，LBAC=90°).（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是(),请说明理由．向四边形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4之间的数量关系式为请说+S2=S32）S1+S2=S3；理由见解析3）S1+S2+SS4，理由见解析．（3）利用BC、AD的长分别表示正方形S1、S【详解】解1）由题意可得：AB2+AC2=BC2，SAB2，S2=AC2，SBC2，S1+SBC2=S3，故答案为：S1+S2=S3；（2）由题意得：SAB2，S2=AC2，SBC2，S1+SABACBC2=S3，故答案为：S1+S2=S3；LEDC=180O-LDEC-LDCB=180O-LABC-LDCB=180O-(LABC+LDCB)=90O，∴DE2+DC2=AB2+DC2=EC2=AD2，丫S1=AB2，S2=DC2，S3=AD2，S4=BC2=4AD2，S2+S3=2ADS4，故答案为：S1+S2+SS4．162023·广东八年级课时练习）如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的方形的面积和3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗4）图③是重复上述步骤若干次后得到的【答案】（【答案】（1）见解析2）4cm23）见解析4）见解析得操作2次操作后的图形中所有正方形的面积和3）观察图③即可求得答案4）根据等腰直角三角形和正方形都是轴对称图形，每次操作所产生的图形都是关于同一条对称根据勾股定理可得a2+b2则原图①中三个正方形的面积为2cm2，后所有正方形的面积和为2+2=4(cm2）:2次操作后的图形中所有正方形的面积和为4cm2．【点睛】本题考查了勾股树问题，掌握勾股定过7C=90o作CHTAB于H，延长CH交MN于点I．(1)如图（1）若AC=32，BC=23，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．(2)请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2【答案】【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是应用勾股定理求边的长度1）利用勾股定理求出AB，再根据等面积法求出CH，再求出AH，即可得出四边形AHIN的面积与正方形AEFC的面积，即可解答2）根据（1）的结论得出AC2=AH.AB，同理可得：BC2=BH.AB，即可得证． ∴四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． 同理可得：BC2=BH.AB，∴AC2+BC2=AH.AB+BH.AB=AB2．1823-24八年级上·湖北·期中）勾股定理是人类最伟(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，中任选一种来证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知71=72=73=7a，则当7a变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)则：a2+b2+c2+d2=；【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用．（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；②根据题意，利的关系，即可得到答案；②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大答案3）由（12）中的结论，结合勾股定理的应用可知，a2+b2+c2+d2=m2．即ab.4，化简得a2+b2=c2．SS在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则S2+b2=c2，:S1+S2=S3；由（由（12）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M，2+b2=e2，c2+d2=f2，e2+f2=m2，六a2+b2+c2+d2=m2故答