2025-2026月考试卷8年级（数学）赵爽弦图模型与勾股树模型（原卷版）

弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模.................................................................................................................................................2 2 34 77“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时论：△ABE兰△BCF兰△CDG兰△DAH；又∵AB＝BC，∴△ABE兰△BCF，同理可得△ABE兰△BCF兰△CDG兰△DAH．（2）外弦图模型：条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形，结论：△AHE兰△BEF兰△CFG兰△DGH；又∵EF＝FG，∴△EBF兰△FCG．同理可得△EBF兰△FCG兰△GDH兰△HAE．（3）内外组合型弦图模型：条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.证明：由（12）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用S△表示他们的面积。∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△;正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH条件：如图7，在Rt△ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE丄BD，结论：△ABE兰△BCD；AB-CD=EC。上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼例123-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角角边(x>y)，则下列选项中正确的是()A．x2+y2=5B．xy=12C．(x+y)2=25D．x2-y2=1例22024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学例323-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=27，则S2的值是为()直角三角形围成的．若AC=2，BC=1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()例623-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面积为80．连接AC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为().例72023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2(S1>S2)．若SS2，AF=2，则正方形MNPQ的面积为()例823-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，LACB=LCED=90o，LAEC=LEAC，AB丄CD于点F．(1)求证：△ABC≌△CDE；(2)若点B是EC的中点，DE=2cm，求AE和△BEC都是直角三角形，其中AC=BC，且证明：由题意，LBCE+LACD=180o-90o=90o，LDAC+LACD=90o．探索BD、DE、CE之间的数量关系，并证明你的结论．(3)如图4，△ABC和△ADE都是等腰直角三上，连接BD，思考：BD与CE之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想．勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边∴Sa2。同理：Sb2；S条件：如图，正方形ABCD的边长为a，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记n-1边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好－－结论：第n代勾股树中正方形的个数为：Nn=2n+1-1；第n代勾股树中所有正方形的面积为：Sn22；例223-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在四边形ABCD中，LDAB=LBCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1=30,S3=26,S4=52，则S2的值是()例32023春·成都·八年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2…，按此规律继续下去，则S100的值为()角三角形的直角边为边长作正方形，…,按此规律，则图6中所有正方形的面积和为()例52023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）“勾股树”是以正方形－该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因--棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为()例623-24八年级下·安徽芜湖·期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，LBAC=90°,AB=3,BC=5，点D,E,F,G,在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为()12023·重庆涪陵·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，LABC=LCDA=90°,分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1=4，S2=16，S3=12，则S4的值是()22023秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，200角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A．24B．5242023·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形ABCD，其边长为a+b．图中正方形ABCD，正方形EFGH和正方形MNPQ的面积之和为()A．2a2+2b2B．2a2+3b2C．3a2+3b2D．4a2+4b262022秋·广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图所示的是一种“羊三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三边为边，分别向外作正方形②和②’,再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为()72022·河南洛阳·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，以AC为直角边向外作Rt△ACD，分别以AB， A．2B．则S1-S2+S3-S4的值为1023-24八年级下·北京·期中）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为48，AE+BE=8．则S△CFP-S△AEP的值是形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=36，则正方形EFGH1423-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△AB152023·四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是(),请说明理由．向四边形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4之间的数量关系式为请说162023·广东八年级课时练习）如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的方形的面积和3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗4）图③是重复上述步骤若干次后得到的过7C=90o作CHTAB于H，延长CH交MN于点I．(1)如图（1）若AC=32，BC=23，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．(2)请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB21823-24八年级上·湖北·期中）勾股定理是人类最伟(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，中任选一种来证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知71=