人教版八年级数学下册《21.3 特殊的平行四边形》同步练习题（含答案）

第页人教版八年级数学下册《21.3特殊的平行四边形》同步练习题（含答案）用矩形性质求角度1、如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（）A.41°

B.51°C.49°

D.59°2、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（）A.30°

B.45°C.60°

D.120°3、如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1＝40°，则∠CFG的度数等于__________．4、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAO＝________.5、（教材改编）矩形的对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角.对角线与各边组成的角是多少度？6、定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”．(1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度；(2)如图，在沙漏四边形ABCD中对角线ACBD相交于点O满足AB+CD=BD且AB⊥BD过点BD分别作BE⊥ACDF⊥AC垂足为EF连接DEBF所得四边形BEDF也是沙漏四边形．若BE=1求BC的长以及△BFC的面积．用矩形性质求线段长或面积1如图矩形ABCD的对角线相交于点O过点O作OE⊥AC交AB于点E连接CE若矩形ABCD的周长是20cm则△BCE的周长是（）A.10cm

B.15cmC.20cm

D.40cm2已知矩形的两条邻边分别为2m，2m+2如果m为整数则关于矩形的面积S下列说法正确的是（）A.S可能是24

B.S可能是15

C.S可能是12

D.S可能是63如图在矩形ABCD中对角线ACBD相交于点OEF是OA的中垂线分别交ADOA于点EF.若AB＝6cmBC＝8cm则△DEO的周长＝________cm.4如图所示矩形ABCD的对角线相交于点OOF⊥AD于点FOF＝2cmAE⊥BD于点E且BE∶BD＝1∶4求AC的长．用矩形性质证明1如图在矩形ABCD中(AD＞AB)点E是BC上一点且DE＝DAAF⊥DE垂足为点F在下列结论中不一定正确的是()A.△AFD≌△DCEB.AF＝ADC.AB＝AFD.BE＝AD－DF2如图在矩形ABCD中对角线ACBD交与点O以下说法错误的是()A.∠ABC＝90°B.AC＝BDC.OA＝OBD.OA＝AD3如图在矩形ABCD中∠ACB＝60°分别过点BD作BE⊥AC于点EDF⊥AC于点F连接BFDE．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形（2）分别取DEBF的中点MN连接FMEN．若AD＝4求四边形MFNE的面积．4如图四边形ABCD是一张长方形纸片将纸片折叠使点A与点D点B与点C重合得到折痕EF后再把纸片展平在CD上选一点P沿AP折叠△ADP使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：PM=1求矩形在坐标系中的坐标1如图在平面直角坐标系中矩形的四个顶点坐标均已标出那么a﹣b的值为（）A.﹣3

B.﹣1C.3

D.12如图已知△OAB的顶点AB在坐标轴上A（40）∠BAO＝60°．矩形OCDE的顶点CE分别在坐标轴上且E（﹣10）．将矩形OCDE向右平移2个单位长度点C恰好落在线段AB上此时点D的对应点D′的坐标为（）A.

B.C.

D.3如图在平面直角坐标系中矩形OABCOA＝3OC＝6将△ABC沿对角线AC翻折使点B落在点B′处AB′与y轴交于点D则点D的坐标为()A.(0－)B.(0－)C.(0－)D.(0－)4在“Z”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系其中xy轴的单位长度都为1cm则“Z”形薄板的重心坐标为

5（教材改编）如图四边形ABCD是矩形OBD的坐标分别是（00）（b0）（0d）.求点C的坐标.6如图矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上B点坐标为（m0）AB＝aBC＝b且满足．问m取何值时△OAC是直角三角形？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1如图在△ABC中D是AC的中点CE⊥ABBD与CE交于点O且BE＝CD．下列说法错误的是（）A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB.∠BDC＝3∠ABDC.当E为AB中点时△ABC是等边三角形D.当E为AB中点时2如图公路ACBC互相垂直公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km则MC两点间的距离为()A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km3如图在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°E为对角线AC的中点连接BEEDBD若∠BAD＝52°则∠EBD＝

°．4已知：如图在△ABCAB＝ACAD是BC边上的中线E是AC的中点BF⊥CA延长线于点F.求证：∠CBF＝∠ADE.添加一个条件成为矩形1如图四边形ABCD为平行四边形延长AD到点E使DE＝AD连接BECEDB．添加一个条件不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A.AB＝BE

B.DE⊥DCC.∠ADB＝90°

D.CE⊥DE2如图四边形ABCD的对角线互相平分要使它成为矩形那么需要添加的条件是()A.AB＝CDB.AD＝BCC.AB＝BCD.AC＝BD3在四边形ABCD中AD∥BC∠B＝∠C要使四边形ABCD为矩形还需添加一个条件这个条件可以是()A.AB＝CDB.AC＝BDC.∠A＝∠DD.∠A＝∠B4ABCD的对角线ACBD相交于点O请你添加一个条件

使ABCD为矩形．5如图在△ABC中DE分别是ABAC的中点点FG在边BC上且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形这个条件可以是

．（写出一个即可）6一个木匠要制作矩形的踏板他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次就能得到矩形踏板．为什么？7如图在四边形ABCD中AD∥BC点E是BC的中点连接AEDEDE交AC于点O且DE∥AB．（1）求证：四边形AECD是平行四边形（2）已知条件：①∠BAC＝90°②AB＝AC③AE平分∠BAC请从这三个条件中选择1个使得四边形AECD是矩形并加以证明．证明四边形是矩形1已知四边形ABCD是平行四边形下列条件中不能判定☑ABCD为矩形的是（）A.∠A＝90°

B.∠B＝∠CC.AC＝BD

D.AC⊥BD2如图是小红自制的相框她想检查相框是否为矩形于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较下列检查方法合理的是（）A.AC=BD

B.AB=DCAD=BCC.AB=DCAD=BCAC=BD

D.AB+BC=AD+DC3已知四边形ABCD是平行四边形下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A.∠A＝∠B

B.∠A＝∠CC.AC＝BD

D.AB⊥BC4木工师傅做了一张桌面要求为长方形现量得桌面的长为60cm宽为32cm对角线为66cm这个桌面______________(填“合格”或“不合格”)．5用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形以下方法可行的有________．(只要填序号即可)①量出四边及两条对角线比较对边是否相等对角线是否相等．②量出对角线的交点到四个顶点的距离看是否相等．③量出一组邻边的长ab以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c计算是否有a2＋b2＝c2.④量出两条对角线长看是否相等．6如图在ABCD中ACBD交于点OAE⊥BC于EEO的延长线交AD于F求证：四边形AECF是矩形．矩形的判定与尺规作图的综合1平行四边形ABCD中EF经过两条对角线的交点O分别交ABCD于点EF在AC上通过作图得到点MN如图1图2下面关于以点FMEN为顶点的四边形形状说法正确的是（）以点O为圆心以OE为半径作弧交AC于点MN过点E作EM⊥AC于点M过点F作FN⊥AC于点NA.都为矩形

B.都为菱形C.图1为矩形图2为菱形

D.图1为矩形图2为平行四边形2在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法正确的是（）A.嘉嘉正确明明错误

B.嘉嘉错误明明正确C.两人都正确

D.两人都错误3如图在Rt△ABC中∠ACB=90°∠A=30°DEF分别是ACABBC的中点连接ED(1)求证：四边形DEFC是矩形．(2)小明连接ECDF交于点O作射线BO他说“BO就是∠ABC的平分线”4下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．已知：Rt△ABC中求作：矩形ABCD．作法：如图

1．以点A为圆心BC长为半径作弧

2．以点C为圆心AB长为半径作弧

3．两弧交于点D．点B和点D在AC异侧

4．连接ADCD．所以四边形ABCD是矩形．（1）根据小明设计的尺规作图过程使用直尺和圆规画出了下图（2）请你依据小明的画图过程进行证明．证明：综合利用矩形性质与判定计算或证明1下列关于矩形的说法中正确的是（）A.矩形的对角线相等B.矩形的对角线平分一组对角C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形2如图△ABC中AC的垂直平分线分别交ACAB于点DFBE⊥DF交DF的延长线于点E已知∠A＝30°BC＝2AF＝BF则四边形BCDE的面积是()A.2B.3C.4D.43如图在矩形ABCD中AE＝AF过点E作EH⊥EF交DC于点H过F作FG⊥EF交BC于G当ADAB满足____________(关系)时四边形EFGH为矩形．4如图在矩形ABCD中E是BC上的点点F在对角线AC上∠ACB=30°(1)如图①若点F为AC中点连接BF写一个与∠BAF相等的角______(2)如图②若点E为BC中点连接EF若EF⊥BC．判断线段EF与线段AB的关系并说明理由(3)若AB=2是否存在点F使得BF+EF最小若存在画出点F的位置并求其最小值若不存在说明理由．综合利用矩形性质与判定求面积1如图点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点连接OAOC若正六边形ABCDEF的边长为6则图中阴影部分的面积是（）A.363B.183C.123D.62如图△ABC中∠ABC为钝角以AB为边向外作平行四边形ABDE∠ABD为钝角连结CECD设△CDE△ACE△BCD的面积分别为SS1S2若知道△ABC的面积A.S+SB.S−SC.S+SD.S−3如图以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE连结AE,AD设△AED△ABE△ACD的面积分别为S,S1,S2若要求出A.△ABE的面积

B.△ACD的面积

C.△ABC的面积

D.矩形BCDE的面积4如图△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′且BB′⊥BC则阴影部分的面积为

cm25如图在矩形ABCD中EF是边BC上两点（BF>BE）HG是边AD上两点且BE=CF=AH=DG连接AFCHBGDE．若AB=4BC=6∠BAF=45°则阴影部分的面积为

6如图在平行四边形ABCD中点EF分别在BCAD上BE＝DFAC＝EF．（1）求证：四边形AECF是矩形（2）若AB＝AD且EC＝2求四边形ABCD的面积．7如图在ABCD中过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形AECF是矩形（2）连接ACBD交于点OG是线段AE的中点连接OG．若AC＝3OG＝2求矩形AECF的面积．矩形性质与判定的综合应用1如图在△ABC中AB＝3AC＝4BC＝5P为边BC上一动点PE⊥AB于EPF⊥AC于FM为EF中点则AM的最小值为()A.B.C.D.2如图1是台球桌面实物图图2是抽象出的数学图形已知长方形桌面ABCD中一个球在桌面上的点E处滚向桌边AD碰到AD上的点F后反弹再碰到BC边上的点G后再次反弹进入底袋点D．在球碰到桌边反弹的过程中击出线与桌边的夹角∠1等于反弹线与桌边的夹角∠2同理∠3＝∠4．若∠1＝48°则∠DGF的度数是（）A.48°

B.84°C.96°

D.98°3如图四边形ABCD中AB∥CD∠C＝110°．E为BC的中点直线FG经过点EDG⊥FG于点GBF⊥FG于点F．（1）如图1当∠BEF＝70°时求证：DG＝BF（2）如图2当∠BEF≠70°时若BC＝DCDG＝BF请直接写出∠BEF的度数（3）当DG－BF的值最大时直接写出∠BEF的度数．4已知△ABC中AD是BC边的中线．阅读：学习全等三角形知识后我们知道当出现三角形的中线时通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题．如图1延长AD到点E使DE=AD连接BE则有以下两个常见结论：①△CAD△BED②CA∥BE．利用这两个结论解决下列问题．(1)如图1若AB=6,AC=4直接写出AD的取值范围为：_____<AD<_____(2)如图2在△ABC中∠BAC=90°．求证：AD=(3)如图3点G在BC的上方点F在DA的延长线上连接GB,GC,GF,GA若GB=GC,GF=GA,∠BGC=∠用菱形性质求角度1如图在菱形ABCD中连接AC以点C为圆心AC长为半径画弧交AD边于点E．再分别以点AE为圆心大于12AE的长为半径在AD上方画弧两弧交于点F作射线CF交AD边于点G．若∠B＝50°则∠A.30°

B.25°C.20°

D.15°2在菱形ABCD中AE⊥BC于点EAF⊥CD于点F连接EF．若∠B＝55°则∠AEF的度数为（）A.55°

B.57.5°C.60°

D.62.5°3如图菱形ABCD中∠ABC=120°点E在CD边上点F在菱形ABCD外部且满足EF∥ADCE=EF．连结AFCF取AF的中点G连结BGAC①△CEF是等边三角形②AG=CG③BG垂直平分AC④2BG=AD+CE．其中正确的结论有（）．A.1个

B.2个

C.3个

D.4个4如图菱形ABCD中∠DAB＝60°DF⊥AB于点E且DF＝DC连接PC则∠DCF的度数为__________度．5如图在菱形ABCD中AC和BD为两条对角线分别作∠BAO和∠DAO的角平分线交BD于点N和M且∠MAN＝∠ABC则∠ABC＝

°．6如图已知菱形ABCD的对角线相交于点O延长AB至点E使BE＝AB连接CE．（1）求证：BD＝EC（2）若∠E＝50°求∠BAO的大小．用菱形性质求线段长或面积1如图在菱形ABCD中AB＝5∠B∶∠BCD＝1∶2则对角线AC等于()A.5B.10C.15D.202在如图的方格纸中有一个菱形ABCD(ABCD四点均为格点)若方格纸中每个最小正方形的边长为1则该菱形的面积为()A.8B.10C.12D.143如图在菱形ABCD中AB＝4线段AD的垂直平分线交AC于点N△CND的周长是10则AC的长为____________．4（教材改编）如图四边形ABCD是菱形∠ACD=30°BD=6.求：（1）∠BAD∠ABC的度数（2）ABAC的长.5（教材改编）四边形ABCD是菱形对角线ACBD相交于点O且AB=5AO=4.求AC和BD的长.用菱形性质证明1下列性质中菱形对角线不具有的是()A.对角线互相垂直B.对角线所在直线是对称轴C.对角线相等D.对角线互相平分2在菱形ABCD中对角线AC与BD交于点O则OA：OB：BC的值可以是（）A.1：1：2

B.1：2：3C.2：3：4

D.3：4：53对角线

的四边形是菱形．4已知：如图在菱形ABCD中EF分别是边AB和BC上的点且BE＝BF求证：∠ADE＝∠CDF．5如图在菱形ABCD中∠ADC=120°AB=6点E为BC上一动点延长BC到点F使CF=CE且AF分别交DEDC于点G和点H(1)将△DEB沿DB对折使点E落在E′处若∠ADE′=45°(2)在点E运动过程中是否存在这样的一点E使得四边形AEFD是平行四边形？若存在请说出E点位置并证明四边形AEFD是平行四边形若不存在请说明理由．(3)若AG=6探究CF2+GF是否为定值？如果是定值求出这个值菱形性质的实际应用1小雨在参观故宫博物院时被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图所示）．若AB的长度为a且∠ABC=60°则菱形ABCDA.3aB.3C.a2

D.32某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛如图中的阴影部分所示校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示并在新扩充的部分种上草坪则扩建后菱形区域的周长为()A.20mB.25mC.30mD.35m3如图所示两个全等菱形的边长为1米一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动行走2012米停下则这个微型机器人停在

点．4[情境]部分图形通过剪拼后能够得到矩形．[操作1]嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形．（1）若BC=10cm拼接时应将△ABE沿AD平移______cm．[操作2]淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形．（2）依据图中呈现的操作方法可知DE与BC的数量关系为______AH与DE的位置关系为______．[操作3]淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形．（3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图裁剪线用虚线矩形用实线）[操作4]嘉淇将如图4所示的菱形ABCD沿AC剪开将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开之后通过旋转平移等操作拼成了矩形BCC（4）若BC=10cmAC=12cm求CC添加一个条件成为菱形1如图在△ABC中DE∥BCDF∥AC要判定四边形DFCE是菱形还需要添加的条件是（）A.AB＝ACB.AE＝CEC.CD⊥ABD.CD平分∠ACB2如图所示在正方形ABCD中点EF是对角线AC上两点连接BEBFDEDF则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（）A.∠1＝∠2

B.BE＝DFC.∠EDF＝60°

D.AB＝AF3如图在四边形ABCD中对角线ACBD相交于点OAO＝COBO＝DO．添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A.AB＝AD

B.AC＝BDC.AC⊥BD

D.∠ABO＝∠CBO4如图在平行四边形ABCD中点EF分别在ADBC上AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形这个条件可以是

（写出一个即可）．5如图在△ABC中点D是AC的中点点E是AB上一点连接ED并延长ED到点F使DF＝DE．（1）求证：AE＝CF（2）连接CEAF请添加一个条件：

使四边形AECF为菱形（不需要说明理由）．证明四边形是菱形1下列平行四边形中根据图中所标出的数据不一定是菱形的是（）A.

B.C.

D.2顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形是菱形则原四边形一定是()A.平行四边形B.对角线相等的四边形C.矩形D.对角线互相垂直的四边3探究小组在研究平行四边形时发现：过平行四边形两条对角线的交点作其中一条对角线的垂线与一组对边所在直线相交所得的两点和该对角线的两个端点连成的四边形是菱形．现在你作为小组成员请根据以上思路完成以下作图和填空：第一步：画垂线（不写作法保留作图痕迹）如图在▱ABCD中点O为对角线ACBD的交点．用尺规过点O作AC的垂线分别交直线ADBC于点EF连接CEAF．第二步：证明四边形AFCE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO．∵EF⊥AC∴EF垂直平分AC∴①______．∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴②______．∵∠∴△AOE△COF(ASA∴③______．∵AE∥CF∴④______．又∵AE=CE∴四边形AFCE是菱形．4如图在△ABC中∠ACB＝60°CD平分∠ACB过点D作DE⊥BC于点EDF⊥AC于点F点H是CD的中点连接HEFH求证：四边形DFHE是菱形．菱形的判定与尺规作图的综合1如图1在ABCD中AD＞AB∠ABC为钝角．要在对边BCAD上分别找点MN使四边形ABMN为菱形．现有图2中的甲乙两种用尺规作图确定点MN的方案则可得出结论（）A.只有甲正确B.只有乙正确C.甲乙都不正确D.甲乙都正确2如图点BC分别是锐角∠A两边上的点AB＝AC分别以点BC为圆心以AB的长为半径画弧两弧相交于点D连接BDCD.则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是()A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线平分一组对角的四边形是菱形3如图在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC作AC的垂直平分线MN分别交ADACBC于点MON连接ANCM则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是

．4如图点BC分别是锐角∠A两边上的点AB＝AC分别以点BC为圆心以AB的长为半径画弧两弧相交于点D连接BDCD．则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是

．5已知E点F点分别在边ADBC上将矩形纸片ABCD沿着EF折叠使得A点与C点重合．(1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕EF(2)分别连接EC,AF若AE=5,EF=6求四边形AFCE的面积．6在数学课上老师让同学们以已知线段AC为对角线作一个菱形．小明和小红分别展示了他们各自的作法：小明：如图：（1）分别以A和C为圆心以大于12AC的长为半径作弧两弧交于点B和（2）顺次连接ABCD则四边形ABCD是以AC为对角线的菱形．小红：如图：（1）作AC的垂直平分线MN交AC于点O．（2）在MN上截取OB=OD．（3）顺次连接ABCD则四边形ABCD是以AC为对角线的菱形．你认为他们作出的四边形一定是菱形吗？请说明理由．综合利用菱形性质与判定计算或证明1已知四边形ABCD,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA延长BC至点E延长DC至点F连接FE．连接AC并延长交FE于点G．下列条件中A.∠CFE=B.BE=DFC.BA=BC

D.FG=GE2如图已知四边形ABCD的四边相等等边△AMN的顶点MN分别在BCCD上且AM＝AB则∠C为()A.100°B.105°C.110°D.120°3如图将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置连接ADBD则下列结论：①AD＝BC②BDAC互相平分③四边形ACED是菱形④BD⊥DE.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.44将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起记重叠部分为四边形ABCD若AB＝3cm则四边形ABCD的周长为

cm．5如图在四边形ABCD中AD∥BC∠A＝90°BD＝BC点E为CD的中点射线BE交AD的延长线于点F连接CF．若AD＝1CF＝2则BF为．6如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°点D是AB的中点连接CD过点B作BE∥CD过点C作CE∥ABBECE相交于点E．（1）求证：四边形CEBD是菱形（2）过点D作DF⊥CE于点F交CB于点G若AB＝10CF＝3求DG的长．7[课本重现]你能用折纸作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！小颖小明和小刚三位同学分别做了以下操作：[操作1]小颖同学按以下方式进行操作：（1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述说明理由即可）．[操作2]小明同学按以下方式进行操作：如图2在矩形ABCD的纸片上利用无刻度直尺和圆规作对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于EF两点再连接AF、CE．（2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹标明字母不用写作法）并证明四边形AECF是菱形[操作3]小刚同学按以下方式进行操作：将两张相同的矩形纸片叠放在一起可以重叠出一个菱形当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放得到的菱形边长最大．（3）已知如图3的矩形卡片中AD=6AB=4则此时菱形的边长为______．综合利用菱形性质与判定求面积1如图矩形ABCD中AB=6,AD=8嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形作图痕迹如图所示：嘉嘉的作法：如图四边形EFGH．琪琪的作法：如图四边形AECF．下面对四边形EFGH和四边形AECF的判断正确的是（）A.四边形EFGH是矩形B.四边形AECF不是菱形C.四边形EFGH周长等于四边形AECF的周长D.四边形AECF的面积为37.52如图所示的是吊灯的截面示意图连接菱形外框ABCD的对角线AC,BD交于点O四边形内框AECF是平行四边形若菱形外框的边长为10对角线BD的长为16，BE=OE则内框和外框之间阴影部分的面积为（）A.96

B.84

C.66

D.483有两张相同大小的矩形纸片ABCD和EFGH将其按如图所示的方式交叉叠放重叠部分构成一个四边形IJKL连接IKLJ若IK=4,JL=3则AB的长是

．4如图在矩形ABCD中EFGH分别是四条边的中点HF＝2EG＝4则四边形EFGH的面积为____________．5如图在□ABCD中BC的垂直平分线EO交AD于点E交BC于点O在EO的延长线上截取OF＝OE连接BECEBFCF．（1）求证：四边形BECF是菱形（2）若AD＝8CE＝5求EF的长及五边形ABFCD的面积．6如图在四边形ABCD中AD＝AB＝BCAC⊥BD交于点O．（1）求证：四边形ABCD为菱形（2）如图2过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E交OB于点H若AB＝AC＝6求四边形OHEC的面积．菱形性质与判定的综合应用1将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠恰好得到菱形AECF.若AB＝3则菱形AECF的面积为()A.1B.2C.2D.42如图在△ABC中AB＞BC＞AC小华依下列方法作图①作∠C的角平分线交AB于点D②作CD的中垂线分别交ACBC于点EF③连接DEDF.根据小华所作的图下列说法中一定正确的是()A.四边形CEDF为菱形B.DE＝DAC.DF⊥CBD.CD＝BD3如图在平行四边形ABCD中用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E若BF＝12AB＝10则AE的长为()A.16B.15C.14D.134如图在∠MON的两边上分别截取OAOB使OA＝OB分别以点AB为圆心OA长为半径作弧两弧交于点C连接ACBCABOC.若AB＝2cm四边形OACB的面积为4cm2.则OC的长为________cm.5综合与实践课上老师让同学们以一张矩形纸“如何折出菱形”为主题开展数学活动．小明做法：沿BE折叠使得点A落在BD上沿DF折叠使得点C落在BD上当∠EBD=30°时得到的四边形BEDF为菱形小华做法：沿MN折叠使得AB与DC重合再折出BM，DN当∠MBN=45°时得到的四边形BMDN为菱形(1)以上哪种方法能够折叠出菱形？请结合数学知识进行说明(2)如果CD=23用正方形性质求角度1如图E是正方形ABCD边AB延长线上一点且BD＝BE则∠BED的大小为()A.15°B.22.5°C.30°D.45°2正方形ABCD中PQ分别为BCCD的中点则∠CPQ大小为()A.50°B.60°C.45°D.70°3如图正方形ABCD中点E在对角线AC上连接EBED延长BE交AD于点F若∠DEB＝α则∠AFE的度数为（）A.135B.13C.90D.94如图正方形ABCD中AE＝AB直线DE交BC于点F则∠BEF＝_____度．5（教材改编）如图在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE求∠AEB的度数.6如图1是甘肃敦煌北朝时期洞窟中流行的一种平棋顶它的中心为1～3个同心圆圆形外套叠2～3层正方形每一层正方形旋转45°角以内层正方形的四角连接外层正方形四条边的中点多个正方形套叠成棋格状．洞窟中的平棋顶更多的是装饰意义并不具有承重等实际功能．如图2已知正方形ABCD作正方形ABCD的中点四边形．作法如下：①连接AC，BD交于点O②以点AB为圆心大于12AB长为半径画弧两弧分别交线段AB的两侧于点MN连接MN与AB交于点③以点O为圆心OE长为半径画圆分别与线段BC，CD，AD交于点FGH④顺次连接EFGH则四边形EFGH为正方形ABCD的中点四边形．请你依据以上步骤用不带刻度的直尺和圆规在图2中画出正方形ABCD的中点四边形（保留作图痕迹不写作法）．用正方形性质求线段长或面积1如图正方形ABCD的边长为6点E为BC上一点连接DE过点A作DE的垂线交CD于点F连接BF．若CE＝2则BF的长为（）A.

B.C.8

D.2如图正方形ABCD的边长为4菱形BEDF的边长为3则菱形BEDF的面积为（）A.

B.8C.

D.3将五个边长都为3cm的正方形按如图所示摆放点ABCD分别是四个正方形的中心则图中四块阴影面积的和为()A.3cm2B.6cm2C.9cm2D.18cm24在英国牧师佩里加尔的墓碑上记录了一种证明勾股定理的方法—“水车轮翼法”在Rt△ABC中∠ACB=90°将正方形BCGF沿着分割线分割成四个全等的四边形再将这四个四边形和正方形ACDE拼成以AB为边的大正方形如图连接HI若正方形ACDE的面积为6△HCI的面积为32则AB的长为5如图正方形ABCD中G为BC边上一点BE⊥AG于点EDF⊥AG于点F连接DE．（1）求证：△ABE≌△DAF（2）若AF＝1△DFE的面积为3求EF的长．6四边相等四角相等的四边形叫正四边形正四边形也称作正方形．(1)如图1四边形ABCD是周长为m的正方形则∠A=

S四边形(2)如图2一个大正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放试用ab的代数式表示图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积(3)在（2）的条件下若未被小正方形覆盖部分的面积为12且a+b=7求分别以ab为边长的两个正方形面积之和．用正方形性质证明1如图大正方形的边长为m小正方形的边长为nxy表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则下列结论错误的是（）A.xB.xy=C.x﹣y＝nD.x2如图在边长为1的正方形网格中有下列图形点ABCD都在正方形格子顶点上AB和DC交于点E．则下列结论中有（）个是错误的．[结论一]射线BA平分∠DBC[结论二]AC=10[结论三]∠A.0

B.1

C.2

D.33如图在正方形ABCD中连接BD点O是BD的中点若MN是边AD上的两点连接MONO并分别延长交边BC于两点M′N′则图中的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对4如图在正方形ABCD中点O为对角线AC的中点Q为AO上动点作等腰Rt△DPQ∠DPQ=90°DP=PQ连接CPBPOP下列四个结论中：①AC=2CD②∠PQC=∠ADQ③OP∥BC④若AD=4则BP+CP5已知：如图边长为a的正方形ABCD的对角线ACBD交于点OEF分别为DCBC上的点且DE=CF．(1)求证：EO⊥FO．(2)求证：MN分别在OEOF延长线上OM=ON=a四边形MONG与正方形ABCD重合部分的面积等于146如图在正方形ABCD中点EF在对角线AC上且AE＝CF连接EDDF以及BEBF．求证：四边形BEDF为菱形．正方形与折叠问题1如图正方形纸片ABCD：①先对折使AB与CD重合得到折痕EF②折叠纸片使得点A落在EF的点H上沿BH和CH剪下△BCH．则判定△BCH为等边三角形的依据是（A.三个角都相等的三角形是等边三角形

B.有两个角是60°的三角形是等边三角形C.三边都相等的三角形是等边三角形

D.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形2如图矩形纸片ABCD中AB=2BC=3将△ABC沿AC折叠使点B落在点E处CE交AD于点F则DFA.65B.54C.76D.53如图正方形ABCD中AC为对角线EF分别为ABCD上的点将△BCE与△DAF分别沿CEAF折叠使BD分别落在对角线AC上的B′D′处．若AB=2A.4−22B.4−2C.22D.24如图正方形ABCD的边长为3将正方形折叠使点D落到BC边上的点E处折痕为GH若EC:BE=1:2折痕GH5如图已知正方形ABCD的边长为4E是AB边延长线上一点BE=2F是AB边上一点将△CEF沿CF翻折使点E的对应点G落在AD边上连接EG交折痕CF于点H则FH的长是6综合与实践[引入]纸飞机是一种普遍的娱乐活动下面给出了一种简单的纸飞机的叠法．[操作]①对折正方形纸片ABCD使AB与CD重合得到折痕EF把纸片展平如图1②按图2的方式沿EGEH折叠使点AD均落在EF上的点M处③再按图3的方式沿EQER折叠使GH均落在EF上④得到图4GH均与点N重合沿EF折叠再把两个翅膀打开即可完成．[探究](1)求图3中∠EQR的度数(2)求图4中∠B对正方形性质的理解1菱形矩形正方形都具有的性质是（）A.四条边都相等

B.四个角都相等C.对角线互相平分

D.对角线相等且互相平分2矩形和正方形都具有的性质是（）A.对角线互相平分且相等

B.对角线互相垂直平分C.对角线互相垂直平分且相等

D.对角线平分一组对角3如图1点P在四边形ABCD内满足∠APD=∠APB∠CPB=∠CPD则称点P为四边形ABCD的一个等分角点．如图2方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度(1)画出正方形ABCD的一个等分角点P使得点P为格点且满足∠APD<(2)画出四边形ABCD的一个等分角点Q保留画图痕迹．4有一张8cm×8cm的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开(1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”(2)如果图2是一个长方形纸片请说明理由如果图2不是一个长方形纸片也请说明理由．用正方形性质求点的坐标1如图在正方形OABC中点B的坐标是(3,3)点EF分别在边BCBA上CE＝1若∠EOF＝45°则F点的纵坐标是()A.1B.C.2D.2如图将正方形OABC放在平面直角坐标系中O是原点点A的坐标为（1）则点C的坐标为（）A.（﹣1）

B.（﹣1﹣）C.（﹣1）

D.（1﹣）3如图在正方形OABC中O为坐标原点点C在y轴正半轴上点A的坐标为（20）将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位长度则点B的对应点坐标为

．4如图在平面直角坐标系中△POB为等边三角形点O（00）点B（20）以PB为边在PB右侧作正方形PBAC．则点C的坐标为

．5（教材改编）如图四边形OBCD是正方形OD两点的坐标分别是（00）（0d）.求BC两点的坐标.正方形性质的实际应用1去一个边长为(a+1)cm的正方形（a>0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）A.3aB.6aC.2aD.62如图正方形ABCD的边长为4cm则图中阴影部分的面积为（）A.8cm2B.10cm2C.6cm2D.5cm3小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具他先活动学具成为图（1）所示菱形并测得∠B=60°接着活动学具成为图（2）所示正方形并测得对角线AC=40cm则图（1）中对角线A.20cmB.30cmC.10cmD.204七巧板是我国古代劳动人民的发明之一被誉为“东方魔板”它是由五块等腰直角三角形一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图其式五其数七其变化之式多至千余体物肖形随手变幻盖游戏之具足以排闷破寂故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的装饰图放入长方形ABCD内装饰图中的三角形顶点EF分别在边ABBC上三角形①的边GD在边AD上则BFBE的值为

5（教材改编）（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下就可以裁出正方形纸片为什么？（2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板？6（教材改编）如图四边形ABCD是一个正方形花园EF是它的两个门且DE=CF.要修建两条路BE和AF这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？添加一个条件成为正方形1小明在学习了中心对称图形后整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图如图所示从下列条件：①AB＝AD②AC＝BD③AC⊥BD④AC平分∠DAB中选择其中一个条件填入（）处补全关系图其中所有正确选项的序号是（）A.①③

B.①④C.①③④

D.②③④2已知四边形ABCD是平行四边形若AC⊥BD要使得四边形ABCD是正方形则需要添加条件（）A.AB＝BC

B.∠ABC＝90°C.∠ADB＝30°

D.AC＝AB3如图在菱形ABCD中对角线ACBD交于点O添加下列一个条件能使菱形ABCD成为正方形的是（）A.BD＝AB

B.OA＝OBC.AC⊥BD

D.OD＝AC4如图在△ABC中∠ACB＝90°BC的垂直平分线EF交BC于点D交AB于点E且BE＝BF请你添加一个条件__________使四边形BECF是正方形．5如图在菱形ABCD中对角线ACBD相交于点O请添加一个条件

使得菱形ABCD为正方形．6如图在△ABC中AB=ACAD平分∠BAC∠MAC是(1)用尺规完成作图：作∠MAC的角平分线AN过点C作CE⊥AN垂足为E（不写作法(2)小敏作完图后发现四边形ADCE是矩形请帮助她完成下列推理过程：∵AD平分∠BACAN平分∴∠CAD=12∴①________．又∵AB=ACAD平分∠∴②________（三线合一）．∴∠ADC=90°又∵CE⊥AN∴③________．∴四边形ADCE是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）．(3)小敏在完成证明后进一步思考得到结论：当等腰△ABC满足________时矩形ADCE是正方形7如图△ABC中D是BC边上的一点E是AD的中点过点A作BC的平行线交BE的延长线于F且AF＝DC连接CF．当△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形并证明你的结论．证明四边形是正方形1如图已知平行四边形ABCD从下列四个条件中选两个作为补充条件使平行四边形ABCD成为正方形．①AB＝BC②AC⊥BD③∠ABC＝90°④AC＝BD．下列四种选法错误的是（）A.①②

B.①③C.②③

D.①④2下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等②它是矩形③它是正方形．下列推理过程正确的是（）A.由①推出②由②推出③B.由②推出①由②推出③C.由①推出②由③推出②D.由②推出①由③推出②3如图在平行四边形ABCD中添加的下列条件中能判定平行四边形ABCD是正方形的是（）A.AC＝BDAC⊥BDB.AC＝BD∠ABC＝90°C.BD平分∠ABCAB＝BCD.AB＝BCAC⊥BD4小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状并测得AC＝5∠B＝60°接着她又将这个学具活动成为图2所示正方形此时A'C'的长为

．5如图已知矩形ABCD中点E是CD边上的一点连结BE过点A作AF⊥BE.垂足为点F且AF＝BE过点F作MN∥BC与ABCD边分别交于点MN求证：四边形AMND为正方形．6如图已知矩形ABCD中FAHBFDHC分别平分∠BAD∠ABC∠ADC∠BCD．求证：四边形EFGH是正方形．综合利用正方形性质与判定计算或证明1如图在矩形ABCD中AB=6E为边BC上一个动点连接AE．将△ABE沿AE折叠使点B落在边CD上的点P处．结论Ⅰ：当点P与点D重合时此时四边形ABCD为正方形结论Ⅱ：当P为CD的中点时EC=3关于结论ⅠⅡ下列判断正确的是（）A.结论Ⅰ对结论Ⅱ错

B.结论Ⅰ错结论Ⅱ对C.结论ⅠⅡ都对

D.结论ⅠⅡ都错2如图四边形ABCD中AD＝DC∠ADC＝∠ABC＝90°DE⊥AB若四边形ABCD面积为16则DE的长为()A.3B.2C.4D.83在正方形ABCD的边ABBCCDDA上分别任意取点EFGH.这样得到的四边形EFGH中是正方形的有()A.1个B.2个C.4个D.无穷多个4如图在四边形ABCD中∠ADC＝∠ABC＝90°AD＝CDDP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18则DP的长是__________．5如图在Rt△ABC中两锐角的角平分线交于点点分别在边上且连接EF则△CEF的周长为.6如图所示已知EGFH过正方形ABCD的对角线的交点OEG⊥FH．求证：四边形EFGH是正方形．7如图菱形EFGH的三个顶点EGH分别在正方形ABCD的边ABCDDA上连接CF.(1)求证：∠HEA＝∠CGF(2)当AH＝DG时求证：菱形EFGH为正方形．综合利用正方形性质与判定求面积1如图八边形ABCDEFGH中AB＝CD＝EF＝GH＝1BC＝DE＝FG＝HA＝2∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°则这个八边形的面积等于()A.7B.8C.9D.142如图八边形的每个内角都为135°它是一个旋转对称图形最小旋转角为90°其边长如图中数据所示．设阴影部分面积为S1空白部分面积为S2则S1A.23B.32C.5−1D.33小明将4个全等的直角三角形（其中两直角边长分别是ab）拼成如图所示的五边形则五边形的面积表示为

．4如图四边形ABCD是平行四边形AB＝BCAB⊥BC点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形（2）当点F是AE的中点且时求四边形ABCD的面积．中点四边形1如图已知矩形ABCD的邻边长分别为ab进行如下操作：第一次顺次连接矩形ABCD各边的中点得到四边形A1B1C1D1第二次顺次连接四边形A1B1C1DA.ab2B.ab2C.ab2D.ab2如图点ABC为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点线段ABBCCDDA的中点分别为MNPQ在点D的运动过程中有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形．其中所有正确的有（）A.①②③

B.②③④

C.①②④

D.①③④3如图所示矩形A1B1C1D1的边长是A1D1=8，A1B1=6顺次连接各边中点得到A4如图四边形ABCD是边长为3的菱形对角线AC+BD=8点EFGH分别为边AB，BC，CD，AD中点顺次连接EFGH．则四边形EFGH的面积为

．5如图两个全等的直角三角形（△ABC和△ADC）按照斜边重合摆放EFGH分别为ABBCCDDA的中点．（1）判断并证明四边形EFGH的形状．（2）若∠BAC＝30°AC＝6求四边形EFGH的面积．6定义：对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．如图1四边形ABCD为“60°等角线四边形”即AC=BD，∠判定探究：(1)下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是

．（填序号）①对角线所夹锐角为60°的平行四边形②对角线所夹锐角为60°的矩形③对角线所夹锐角为60°且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．(2)性质探究：以AC为边向下构造等边三角形△ACE连接BE如图2请直接写出AB+CD与AC的大小关系(3)请判断AD+BC与3AC的大小关系并说明理由(4)学习应用：若“60°等角线四边形”的对角线长为4则该四边形周长的最小值为

．动点问题1如图在平行四边形ABCD中AB=6cmAD=10cm点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发在CB间往返运动两个点同时出发当点P到达点D时停止运动同时点Q也停止运动．设运动时间为ts开始运动以后当t为何值时以PDQA.203B.407C.203或40D.403或2如图点O为矩形ABCD(AB≠BC)的对称中心点E从点A出发沿AB向点B运动移动到点B停止延长EO交CD于点F则四边形AECF形状是下列图形中的哪些：①平行四边形②菱形③矩形④正方形．（）A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④3如图在△ABC中DEF分别是AB,AC,BC的中点点M是线段DE上任意一点点N是∠ABC和∠ACB平分线的交点连接①∠BNC=2②△MBC的面积是△ABC面积的一半③保持∠ABC的大小不变改变AB的长度可使四边形DBFE是菱形成立④保持AB的长度不变改变∠ABC的大小可使四边形DBFE其中所有正确结论是：

．（填序号即可）4如图在矩形ABCD中AB=3BC=6动点PQ分别从点AC同时出发都以每秒1个单位的速度运动点P到达点D后停止点Q到达点B后停止．设运动时间为t秒．(1)当S△ABP=13S△BPQ(2)当QB=QP时求t的值．(3)在点P和点Q的运动过程中是否存在∠BPQ=90°你的判断是______（填“存在”或“不存在”5如图在平面直角坐标系中直线AE交x轴正半轴于点A交y轴正半轴于点EOA=10OE=5点C为射线AE上一点且纵坐标为8连接OC过点C作CB∥x轴过点A作AB∥OC交CB于点B．(1)请直接写出直线AC的函数表达式(2)试判断四边形OABC的形状并说明理由(3)点F在CBBA上运动现从点C出发沿C−B−A路线向点A以每秒2个单位的速度匀速运动设运动时间为t（秒）连接EFEB①当0<t<5时请直接写出△BEF的面积S与运动时间t的函数关系式②请直接写出△BEF的面积为9时t的值最值问题1如图正方形ABCD的对角线交于点O点E是直线BC上一动点．若AB=4则AE+OE的最小值是()A.42B.25C.213D.22（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图正方形ABCD的边长为12点EF分别为ABBC上动点（EF均不与端点重合）且AE+CF=7P是对角线AC上的一个动点则PE+PF的最小值是（）A.12

B.13

C.189

D.123如图在菱形ABCD中AB=2∠ABC=60°M为对角线BD上的一个动点点F在边BC上CF=BF则MA+MF的最小值为

变式题已知条件类似图形有变化如图在菱形ABCD中∠A=60°点EF分别在边ABBC上△DEF为等边三角形DG⊥AB．若AD=6AE=4则EF的长为

4在长方形ABCD中AB＝4BC＝8点PQ为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧PQ均不与顶点重合）PQ＝2(1)如图①若点E为CD边上的中点当Q移动到BC边上的中点时求证：AP＝QE(2)如图②若点E为CD边上的中点在PQ的移动过程中若四边形APQE的周长最小时求BP的长(3)如图③若MN分别为AD边和CD边上的两个动点（MN均不与顶点重合）当BP＝3且四边形PQNM的周长最小时求此时四边形PQNM的面积．其他问题1如图在△ABC中∠ACB＝90°作CD⊥AB于点D以AB为边作矩形ABEF使得AF＝AD延长CD交EF于点G作AN⊥AC交GF于点N作MN⊥AN交CB的延长线于点MMN分别交BEDG于点HP若NP＝HPNF＝2则四边形ABMN的面积为（）A.8

B.9

C.10

D.112在四边形ABCD中AB＝CD∠DAC＋∠BCA＝180°∠BAC＋∠ACD＝90°且四边形ABCD的面积是18则CD的长为()．A.4

B.92C.6

D.363如图把边长为4的正方形纸片ABCD分割成如图的三块其中点O为正方形的中心E为AD的中点用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形MNPQ（要求这三块纸片不重叠无缝隙）若四边形MNPQ为矩形则四边形MNPQ的周长是

．4已知：点M是正方形ABCD外部的一个点AM=AD=AB∠MAD=α(0<α<90°)连接DM．过点B作BN⊥MD交MD延长线于点N连接BMCN(1)在图中补全图形(2)求∠BMD的度数(3)用等式表示线段BNDNCN的数量关系5如图我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．[问题探究]如图1已知四边形ABCD是垂美四边形AC⊥BD垂足为O．（1）发现：由勾股定理得DO2+AO2（2）猜想并证明：AB2+CD2________AD2+BC2（填“>[学以致用]如图2在△ADE中∠ADE=90°分别以AE和ED为边向外作等腰直角△AEB和等腰直角△EDC∠AEB=∠DEC=90°BD与（3）求证：△BED△AEC（4）①判断四边形ABCD是不是垂美四边形？请说明理由②若AE=52ED=42直接写出人教版（2024）八年级下册21.3特殊的平行四边形暑期巩固（参考答案）用矩形性质求角度1如图直线a∥b矩形ABCD的顶点A在直线b上若∠2＝41°则∠1的度数为（）A.41°

B.51°C.49°

D.59°【答案】C【解析】解：延长CB与直线b交于点M如图∵a∥b∠2＝41°∴∠BMA＝∠2＝41°．∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝90°∴∠1+∠BMA＝90°∴∠1＝90°﹣41°＝49°．2如图在矩形ABCD中点E在AD上当△EBC是等边三角形时∠AEB为（）A.30°

B.45°C.60°

D.120°【答案】C【解析】证明：∵△EBC是等边三角形∴∠CBE＝60°∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠AEB＝∠CBE＝60°．3如图AB∥CD将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上若∠1＝40°则∠CFG的度数等于__________．【答案】130°【解析】解：延长HG交CD于M如图所示：∵AB∥CD∴∠2＝∠1＝40°∵四边形EFGH是矩形∴∠FGH＝90°∴∠FGM＝90°∴∠CFG＝∠FGM＋∠2＝90°＋40°＝130°.4如图在矩形ABCD中AE⊥BD.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1则∠EAO＝________.【答案】45°【解析】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BDOA＝OC＝ACBO＝DO＝BD∠BAD＝90°∴OA＝OB∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1∴∠DAE＝67.5°∠BAE＝22.5°∵AE⊥BD∴∠AEB＝90°∴∠ABO＝90°－22.5°＝67.5°∵OA＝OB∴∠OAB＝∠OBA＝67.5°∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°5（教材改编）矩形的对角线组成的对顶角中有一组是两个50°的角.对角线与各边组成的角是多少度？【答案】解：如图若∠AOB=50°∵四边形ABCD是矩形∴AO=BO=DO=CO∴△AOB为等腰三角形∴∠OAB=∠OBA∵∠OAB+∠OBA=180°-50°∴∠OAB=∠OBA=65°∴∠DAC=∠ACB=90°-65°=25°．6定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时我们称这个四边形为“沙漏四边形”．(1)当沙漏四边形是矩形时两条对角线所夹锐角为______度(2)如图在沙漏四边形ABCD中对角线ACBD相交于点O满足AB+CD=BD且AB⊥BD过点BD分别作BE⊥ACDF⊥AC垂足为EF连接DEBF所得四边形BEDF也是沙漏四边形．若BE=1求BC的长以及△BFC的面积．【答案】（1）∵四边形ABCD是沙漏四边形∴AB=CDAB∥CDOA=OC=∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD∵AB+CD=BD=OB+OD∴AB=OB=OD=CD∴△AOB为等边三角形∴∠故答案为：60．（2）∵AB⊥BD∴∠∵四边形ABCD是沙漏四边形∴AB=CDAB∥CDOA=OC∵AB+CD=BD=OB+OD∴AB=OB=OD=CD∵AB∥CD∠∴∠∵BE⊥AODF⊥OC∴∠BEO=∠DFO=90°∴∠∵四边形BEDF是沙漏四边形∴OE=OF=BE∵BE=EO=OF=CF=1∴EC=3BE=3在Rt△BEC中B∴BC=S用矩形性质求线段长或面积1如图矩形ABCD的对角线相交于点O过点O作OE⊥AC交AB于点E连接CE若矩形ABCD的周长是20cm则△BCE的周长是（）A.10cm

B.15cmC.20cm

D.40cm【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OCAB＝CDAD＝BC∵矩形ABCD的周长为20cm∴AB+CB＝10（cm）∵OE⊥AC∴AE＝CE∴△BEC的周长＝CE+CB+BE＝CB+AE+BE＝AB+CB＝10（cm）．2已知矩形的两条邻边分别为2m，2m+2如果m为整数则关于矩形的面积S下列说法正确的是（）A.S可能是24

B.S可能是15

C.S可能是12

D.S可能是6【答案】A【解析】解：由题意得S=2m(2m+2)=4m(m+1)∵m为整数∴m，m+1中一定有一个数为偶数∴4m(m+1)是8的倍数∴S可能是24．故选：A3如图在矩形ABCD中对角线ACBD相交于点OEF是OA的中垂线分别交ADOA于点EF.若AB＝6cmBC＝8cm则△DEO的周长＝________cm.【答案】13【解析】解：∵在矩形ABCD中AB＝6cmBC＝8cm∴AD＝BCAC＝BD＝＝＝10(cm)∴OD＝BD＝5cm.又∵EF是OA的中垂线∴AE＝EO∴△DEO的周长为EO＋OD＋ED＝OD＋AD＝5＋8＝13(cm)．4如图所示矩形ABCD的对角线相交于点OOF⊥AD于点FOF＝2cmAE⊥BD于点E且BE∶BD＝1∶4求AC的长．【答案】解：解法一：∵四边形ABCD为矩形∴∠BAD＝90°OB＝ODAC＝BD又∵OF⊥AD∴OF∥AB又∵OB＝OD∴AB＝2OF＝4cm∵BE∶BD＝1∶4∴BE∶ED＝1∶3设BE＝xED＝3x则BD＝4x∵AE⊥BD于点E∴AE2＝AB2－BE2＝AD2－ED2∴16－x2＝AD2－9x2又∵AD2＝BD2－AB2＝16x2－16∴16－x2＝16x2－16－9x2,8x2＝32∴x2＝4∴x＝2∴BD＝2×4＝8(cm)∴AC＝8cm.解法二：在矩形ABCD中BO＝OD＝BD∵BE∶BD＝1∶4∴BE∶BO＝1∶2即E是BO的中点又AE⊥BO∴AB＝AO由矩形的对角线互相平分且相等∴AO＝BO∴△ABO是正三角形∴∠BAO＝60°∴∠OAD＝90°－60°＝30°在Rt△AOF中AO＝2OF＝4∴AC＝2AO＝8.用矩形性质证明1如图在矩形ABCD中(AD＞AB)点E是BC上一点且DE＝DAAF⊥DE垂足为点F在下列结论中不一定正确的是()A.△AFD≌△DCEB.AF＝ADC.AB＝AFD.BE＝AD－DF【答案】B【解析】解：A.由矩形ABCDAF⊥DE可得∠C＝∠AFD＝90°AD∥BC∴∠ADF＝∠DEC.又∵DE＝AD∴△AFD≌△DCE(AAS)故A正确B.∵∠ADF不一定等于30°∴直角三角形ADF中AF不一定等于AD的一半故B错误C.由△AFD≌△DCE可得AF＝CD由矩形ABCD可得AB＝CD∴AB＝AF故C正确D.由△AFD≌△DCE可得CE＝DF由矩形ABCD可得BC＝AD又∵BE＝BC－EC∴BE＝AD－DF故D正确故选B.2如图在矩形ABCD中对角线ACBD交与点O以下说法错误的是()A.∠ABC＝90°B.AC＝BDC.OA＝OBD.OA＝AD【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BDOA＝OC＝OB＝OD∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°∴ABC各项结论都正确而OA＝AD不一定成立故选D.3如图在矩形ABCD中∠ACB＝60°分别过点BD作BE⊥AC于点EDF⊥AC于点F连接BFDE．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形（2）分别取DEBF的中点MN连接FMEN．若AD＝4求四边形MFNE的面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BCAD∥|BC∴∠DAF＝∠ACB＝60°∵BE⊥ACDF⊥AC∴DF∥BE∠AFD＝∠BEC＝90°∴△ADF≌△CBE（AAS）∴DF＝BE∵DF∥BE∴四边形BEDF为平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB＝∠DCB＝90°BC＝DA∵DF⊥AC∴∠ADF＝30°∴AF＝AD＝2∴DF＝＝2∴∠ACB＝60°∴∠ACD＝30°∴AC＝2AD＝8∵△ADF≌△CBE（AAS）∴EC＝AF＝2∴EF＝AC﹣AF﹣EC＝8﹣2﹣2＝4∴S△DEF＝EF•DF＝×4×2＝4∵M为DE的中点∴S△FME＝S△FDE＝×4＝