中考数学总复习《图形规律探索问题》专项测试卷（带答案）

第页答案第=page11页，共=sectionpages22页中考数学总复习《图形规律探索问题》专项测试卷（带答案）1．如图1，在中．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点．特例分析：（1）如图2，当时，连接，求的长．探究规律：（2）如图3，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，淇淇同学发现始终为等腰三角形，请你证明这一结论．拓展延伸：（3）在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长．2．如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线垂直于平面镜L，反射角等于入射角．如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，挡板上有一个孔隙（可以看作点B），从点A发出的光线经平面镜反射后恰好经过孔隙B射出，并落在挡板上的点P处．已知．求点P离桌面的高度．3．已知点是的边上的点，过点作交于点，若的面积为S．(1)填空：①如图1，若，则四边形的面积为__________；（用含的式子表示，下同）②如图2，若，则四边形的面积为__________；③如图3，若，则四边形的面积为__________；(2)猜想：根据上述规律猜想，若，则四边形的面积为__________（用含和的式子表示）．4．《周髀算经》是我国古代的一部天文学与数学著作，大约成书于公元前5到7世纪之间，其利用数学测算日月运行等，在唐代时成为国子监教材．其中记载了在夏至日利用日晷影长测算大地南北长度的方法，并归纳出“影差一寸，地差千里”的规律．学校数学社团“队”，为了验证该规律进行了以下的数学实验．如图，为路灯灯泡，为地面米当长为1米且垂直地面的木杆分别放置在点时影长分别为在一条直线上为“影差”为“地差”．(1)在路灯下如果米米求这时的“影差”与“地差”．(2)在路灯下对于任意的两点“影差”与“地差”的关系是否确定？如果确定有怎样的关系？如果不确定请说明理由．5．【阅读理解】在中过点BC分别作l的垂线垂足分别为点D．(1)特例体验如图①若直线则线段_______________(2)规律探究：（Ⅰ）如图②若直线l从图①状态开始绕点A旋转a则线段和的数量关系为_____．（Ⅱ）如图③若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α与线段相交于点H请探究线段和的数量关系并说明理由(3)尝试应用：在图③中延长线段交线段于点F若求的长．6．综合与实践问题情境：数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时如图2在正方形内取一点E使将点E绕点C逆时针旋转得到点射线交于点F．特例研究：(1)精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1发现点E在对角线中点O处时点F与点B重合此时四边形的形状为______．探究发现：(2)博雅小组发现如图2只要四边形的形状都是正方形请证明.(3)卓越小组受博雅小组的启发进一步深入探究如图3取中点G连接又发现：在点E运动过程中与始终保持特定的数量关系请写出此数量关系并说明理由.拓展应用：(4)在（3）的条件下已知直接写出的长．7．折叠问题是我们常见的数学问题它是利用图形变化的轴对称性质解决相关的问题．数学活动课上同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．如图（1）在矩形中点在边上运动将矩形纸片沿所在直线折叠使点落在点处连接相关线段探究线段长度与图形位置的变化规律．【观察猜想】（1）当四边形为正方形时线段的长度为_____．【类比探究】（2）如图（2）当点落在线段上时求线段的长度【拓展应用】（3）如图（3）作的平分线分别交于点．①当点恰好为的中点时求线段的长②当从点匀速运动到点的过程中分析点的运动轨迹请直接写出线段的最大值．8．如图1是光的反射规律示意图是入射光线是反射光线法线平面镜L入射角等于反射角．如图2水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板挡板平面镜I在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计）．已知厘米当从点A发出的光线经平面镜I反射后恰好经过点B时测得入射角为．（参考数据：）(1)点A到平面镜I的距离是厘米．(2)移动挡板使空隙的长度是20厘米当从点A发出的光线经平面镜I反射后恰好经过点C时求入射角的度数．(3)在（2）的条件下如果从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙落到挡板上的最高点为P最低点为Q那么的长度是厘米．9．情境：如图2在正方形内取一点使将点绕点逆时针旋转得到点射线交于点．特例：在探究过程中遵循由特殊到一般的规律：如图1发现点在对角线的中点处时点与点重合此时四边形的形状为正方形．探究：(1)如图2只要四边形的形状都是正方形请证明(2)如图3取中点连接在点运动过程中与始终保持特定的数量关系请写出此数量关系并说明理由(3)在（2）的条件下已知直接写出的长度．10．综合与实践如图在矩形中为上一点且为边上一动点（含两个顶点）连接将绕点顺时针旋转到的位置连接．探究的面积与点移动的关系．特例感知（1）如图1当时求的面积．规律探究（2）如图2若设的面积为求与之间的函数解析式并求出的最小值．数学思考（3）如图3连接当的长最小时求的面积．11．探究角度与线段比例之间的关系如图1在中点在边上且连接并延长至点使得作交延长线于点连接交于点．记．【图形认识】(1)求证：．【引元关联】(2)设求关于的函数表达式．【特例计算】(3)如图2当时分别求出和的值．【规律研究】(4)已知求的取值范围．12．在平面直角坐标系中正方形的位置如图所示点的坐标为点的坐标为延长交轴于点作正方形延长交轴于点作正方形．(1)求正方形的面积(2)求正方形的面积(3)若按题中的规律继续作正方形则正方形的面积为_____．（用含的式子表示）参考答案1．（1）（2）证明见解析（3）或【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质和分类等知识解决问题的关键是分类讨论．（1）可得是等腰直角三角形进而得出结果（2）可证得从而得出（3）可证得分为：当时可得出当此时进而得出结果．【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到∴∵∴（2）证明：∵∴∵绕点A逆时针旋转得到∴∴∴∴∴即始终为等腰三角形（3）解：∵∴∵∴∵∴当时∴∴当时∴作垂足为H在中解得：∴综上所述：或．2．72cm【分析】本题考查相似三角形的应用．延长交于点N证明得到求出的长利用线段的和差关系进行求解即可．【详解】解：延长交于点N则．由题意得：∴．∵∴∴由题意得：．即解得：．．点离桌面的高度为．3．(1)(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质数字规律等知识点灵活运用相关知识是解题的关键．（1）①由可知再证明然后根据相似三角形的性质即可解答②③按照①的思路求解即可（2）根据（1）归纳规律即可解答．【详解】（1）解：①∵∴∵∴相似比为∴即∴∴四边形的面积为故答案为：②∵∴∵∴相似比为∴即

∴∴四边形的面积为故答案为：．③∵∴∵∴相似比为∴即

∴∴四边形的面积为．故答案为：．（2）解：由（1）可得：如图1若则四边形的面积为如图2若则四边形的面积为如图3若则四边形的面积为……则四边形的面积为．故答案为：．4．(1)“影差”为1米,“地差”为5米(2)“影差”与“地差”有一定的数量关系即“地差”是“影差”的5倍．【分析】本题考查的是相似三角形的应用根据题意作出辅助线构造出相似三角形是解答此题的关键．（1）分别证明运用相似三角形的性质可得结论（2）思路与方法同（1）可解．【详解】（1）解：∵∴∴∴∵（米）（米）（米）∴∴（米）∴（米）同理可证∴∵（米）（米）（米）∴∴米∴（米）∴这里的“影差”为（米）,“地差”为（米）（2）解：设由（1）知∴∴∴∴同理由（1）知∴∴∴∴∴∵为“影差”为“地差”所以“影差”与“地差”有一定的数量关系即“地差”是“影差”的5倍．5．(1)112(2)（Ⅰ）（Ⅱ）理由如下：∵∴∵∴∴∵∴∴∵∴(3)．【分析】本题主要考查了直角三角形的性质全等三角形的判定与性质正切的定义等知识点灵活运用相关性质是解题的关键．（1）由等腰直角三角形及平行线的性质可得然后根据等腰三角形的性质即可解答（2）（Ⅰ）先根据即可得出然后根据全等三角形的性质及线段的和差即可解答（Ⅱ）方法同（Ⅰ）（3）先求得再根据正切的定义和勾股定理可得再代入即可解答．【详解】（1）解：在中∴∵直线∴∴∴∵∴∴故答案为：112（2）解：（Ⅰ）理由如下：∵∴∵∴∴∵∴∴∵∴故答案为：（Ⅱ）略（3）解：由（2）知∵∴∴在中∴∴．6．(1)正方形(2)见解析(3)理由见解析(4)【分析】（1）利用正方形的性质即可得出结论（2）先证明再利用正方形的判定定理证明即可（3）利用正方形的性质勾股定理等腰直角三角形的特点推理证明即可（4）取的中点M取的中点N连接求得再证明利用勾股定理求得即可求得．【详解】（1）解：点E在对角线中点O处点F与点B重合四边形是正方形∴由旋转的性质得∴∴∴四边形是平行四边形∵∴四边形是矩形∵∴四边形是正方形（2）证明：四边形是正方形点E绕点C逆时针旋转得到点四边形是矩形四边形是正方形．（3）解：理由如下：连接四边形是正方形O是的中点O是的中点四边形是正方形四边形是正方形O是的中点G是的中点四边形是正方形G是的中点．（4）解：取的中点M取的中点N连接根据（3）得四边形是正方形O是的中点过点M作于点Q∵∴是等腰直角三角形．7．（1）6（2）（3）①②点G的轨迹是在上先从点开始远离点直到最远再回到点【分析】本题考查了矩形与折叠问题相似三角形的判定和性质直径所对的圆周角为直角解直角三角形正确利用相关性质是解题的关键．（1）根据正方形的性质即可解答（2）设利用勾股定理列方程即可解答（3）①证明则可推出利用三角函数列方程即可解答②分析可知点G的轨迹是在上先从点开始远离点直到最远再回到点设的中点为点当与相切时即时最小则最小的值最大可得利用相似三角形的性质列方程即可解答．【详解】（1）解：当四边形为正方形时故答案为：（2）解：四边形是矩形．．将沿翻折得．．设．解得（3）解：①．为的中点,．即②解：∴点G的轨迹是在上先从点开始远离点直到最远再回到点如图设的中点为点当与相切时即时最小则最小的值最大．．．的最大值为．8．(1)40(2)入射角为(3)35【分析】（1）作于点H则从而可得于是可得从而可求得再利用正切求得（2）如图2所示作于J使得与（1）同理可得从而可说明是等腰直角三角形于是可得∠即可得出入射角为（3）作A关于I的对称点连接并延长交分别为QP先得出（）从而可根据得出再列出比例式求得即可求得．【详解】（1）解：如图1所示作于点H则∴∴∴∵当从点A发出的光线经平面镜I反射后恰好经过点B时测得入射角为．∴（）故答案为：40（2）解：如图2所示作于J使得与（1）同理可得∵（）∴是等腰直角三角形∴∠∴入射角为（3）解：如图所示作A关于I的对称点连接并延长交分别为QP∴（）∵∴∴1．∴∴（）故答案为：35．【点睛】本题考查了三线合一轴对称中的光线反射问题利用平行判定相似利用相似三角形的性质求解已知正切值求边长等知识点解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．9．(1)见解析(2)理由见解析(3)6【分析】（1）由旋转的性质可得证明得到再证明则可证明四边形是正方形（2）连接由正方形的性质得到O是的中点由直角三角形的性质得到证明是等腰直角三角形得到由勾股定理得到据此可得（3）过点A作交的延长线于点H证明得到则可证明由勾股定理得则求出则．【详解】（1）证明：四边形是正方形点E绕点C逆时针旋转得到点∴又∵四边形是矩形又四边形是正方形．（2）解：理由如下：如图所示连接四边形是正方形O是的中点O是的中点四边形是正方形G是的中点∴∴是等腰直角三角形∴∴∴（3）解：如图所示过点A作交的延长线于点H∴由正方形的性质可得∴∴又∵∴∴∴∴∴∴在中由勾股定理得∴∴∴．10．（1）（2）当时由最小值最小值为（3）的面积为【分析】（1）根据矩形折叠的性质结合题意得到是等腰直角三角形如图所示过点作于点则是等腰直角三角形四边形是矩形结合面积的计算即可求解（2）设则根据旋转得到过点作于点是等腰直角三角形结合面积的计算即可求解（3）如图所示将线段绕点顺时针旋转得连接交于点当时的值最小是等腰直角三角形四边形是矩形则由（2）可得代入计算即可求解．【详解】解：（1）∵四边形是矩形∴∵将绕点顺时针旋转到∴∴又∴是等腰直角三角形∴∴如图所示过点作于点∴则是等腰直角三角形∵∴四边形是矩形∴∴（2）设则当点与点重合时当点与点重合时在中∵∴恒有意义∴根据旋转得到如图所示过点作于点∵∴是等腰直角三角形∴∵∴当时有最小值最小值为（3）如图所示将线段绕点顺时针旋转得连接交于点∴∴即又∴∴当时的值最小∵∴且∴是等腰直角三角形∴∴∵∴四边形是矩形∴∴∴由（2）可得∴．【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质旋转的性质函数表达式的计算二次函数最值的计算全等三角形的判定和性质垂线段最短等知识的综合