2027届新高考数学热点精准复习 椭圆

2027届新高考数学热点精准复习椭圆新课标要求真题分布1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．3．了解椭圆的简单应用．2025年全国Ⅰ卷T18，全国Ⅱ卷T162024年新高考Ⅱ卷T52023年新高考Ⅰ卷T5知识清单1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数剖析在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若2a<|F1F2|，则轨迹不存在．常数焦点焦距2．椭圆的标准方程和几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形x，y的范围________________________对称性对称轴：________，对称中心：________

顶点A1________，A2________，B1________，B2________A1________，A2________，B1________，B2________轴长长轴A1A2的长为________，短轴B1B2的长为________－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a坐标轴原点(－a，0)(a，0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b，0)(b，0)2a2b剖析

椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．焦点F1________，F2________F1________，F2________焦距|F1F2|＝__________焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上离心率e＝__________∈(0，1)a，b，c的关系____________(－c，0)(c，0)(0，－c)(0，c)2c

c2＝a2－b2【常用结论】1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ.

××√√

答案：B解析：由椭圆方程可知a＝10，根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，|PF1|＝6，∴|PF2|＝14.

答案：A

命题点一椭圆的定义及应用例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：(x－3)2＋y2＝1，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，则该动圆圆心的轨迹为(

)A．圆 B．椭圆C．双曲线

D．抛物线答案：B

解析：圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：(x－3)2＋y2＝1的圆心、半径分别为C1(－3，0)，r1＝9，C2(3，0)，r2＝1，由|C1C2|＝6<9－1＝8可知圆C2内含于圆C1内．设动圆半径为R，由题意|C2P|＝r2＋R，|C1P|＝r1－R，两式相加可得|PC1|＋|PC2|＝r1＋r2＝10>|C1C2|＝6，故P点的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆．故选B.

答案：D

学霸笔记：(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等；(2)与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．跟踪训练

(1)(衔接·人教A版选修一P115习题T6)已知圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝16，定点N(1，0)，P为圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹为(

)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线

D．圆答案：A

解析：因为圆M的圆心为M(－1，0)，半径为r＝4，由题知|QN|＝|QP|，又|QP|＋|QM|＝r＝4，则|QN|＋|QM|＝4>|MN|＝2，所以点Q的轨迹是以M(－1，0)，N(1，0)为焦点的椭圆．故选A.

答案：20解析：因为a2＝25，所以a＝5.△AF1B的周长＝|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20.

答案：C

学霸笔记：(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程；(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．

答案：C

答案：(1)A

答案：C

答案：D

答案：B

答案：A

答案：30

学霸笔记：(1)充分利用椭圆的几何性质，结合图形进行分析．(2)注意利用椭圆中的范围，如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1，构造不等式．(3)列出所求目标的解析式，构造函数，利用单调性或基本不等式求最值或范围．

答案：C

解析：由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆的定义可知|PF|＋|PF1|＋|QF|＋|QF1|＝4a＝20，又|PF|＝|QF1|，|PF1|＝|QF|，所以|PF|＋|QF|＝10，又PQ过原点，所以|PQ|min＝2b＝6，所以△PQF的周长的最小值为10＋6＝16.故选C.

答案：B

答案：B

答案：B

答案：D

答案：C

答案：C

答案：B

答案：C

答案：BC

答案：BCD

答案：4

(2)已知点M(M不在x轴上)在椭圆E上，求直线AM，BM的斜率之积．

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