2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）数列1，﹣3，5，﹣7，…的第9项是（）A．﹣19 B．19 C．﹣17 D．172．（5分）已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则＝（）A．6 B．3 C． D．3．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．0＜f'（3）＜f'（2）＜f'（1） B．f'（1）＜f'（2）＜f'（3）＜0 C．0＜f'（1）＜f'（2）＜f'（3） D．f'（3）＜f'（2）＜f'（1）＜04．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＜0，a3+a8＞0，则当Sn取得最小值时，n＝（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列关于f（x）的描述一定正确的是（）A．f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减 B．当x＝0时，f（x）取得最大值 C．f（x）在区间（3，+∞）上单调递减 D．当x＝1时，f（x）取得最小值6．（5分）设数列{an}满足a1+++…+＝1﹣，则an＝（）A．1﹣ B． C． D．7．（5分）设函数f（x）＝xsinx，若，且f（x1）＜f（x2），则下列不等式恒成立的是（）A．x1＜x2 B．x1＞x2 C．x1+x2＜0 D．＜8．（5分）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作．则所有鳞片中竹质鳞片个数为（）A．120 B．124 C．128 D．130二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）若数列{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为（）A． B．an＝2n﹣1 C． D．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，则下列结论中正确的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0 B．函数f（x）可能无极值点 C．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0 D．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减（多选）11．（6分）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，若a1＞1，0＜q＜1，且（a2023﹣1）•（a2024﹣1）＜0，则下列结论正确的是（）A．S2024﹣S2023＞0 B．a2023a2025＜1 C．数列{Tn}中的最大值是T2023 D．数列{Tn}无最大值三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知函数，＝．13．（5分）在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S5＝5，S10＝15，则S15的值为．14．（5分）设a＞0且a≠1，若关于x的方程ax＝x有两个实数根，则a的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）求下列函数的导数：（Ⅰ）y＝（2x﹣1）4；（Ⅱ）y＝x3•2x．16．（15分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn．公比q＞1，若a2＝8，S3＝28．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：．17．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．18．（17分）若数列{an}满足条件：存在正整数k，使得an+k+an﹣k＝2an对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{an}为k级等差数列．（Ⅰ）若数列{an}为1级等差数列，a1＝1，a3＝9，求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅱ）若数列{an}为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求a5、a6及数列{an}的前2024项和S2024．19．（17分）已知函数f（x）＝2ax﹣ln（2x），x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）数列1，﹣3，5，﹣7，…的第9项是（）A．﹣19 B．19 C．﹣17 D．17【考点】数列的概念及简单表示法．【答案】D【分析】该数列可用表示，将n＝9代入，即可求解．【解答】解：由题意可知，该数列可用表示，故．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则＝（）A．6 B．3 C． D．【考点】极限及其运算．【答案】A【分析】利用极限的运算性质以及导数的几何意义化简即可求解．【解答】解：由题意可得f′（x0）＝3，则＝2＝2f′（x0）＝6．故选：A．3．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．0＜f'（3）＜f'（2）＜f'（1） B．f'（1）＜f'（2）＜f'（3）＜0 C．0＜f'（1）＜f'（2）＜f'（3） D．f'（3）＜f'（2）＜f'（1）＜0【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．【答案】A【分析】直接根据导数的几何意义以及函数的图像即可得到结论．【解答】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢，故0＜f'（3）＜f'（2）＜f'（1）．故选：A．4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＜0，a3+a8＞0，则当Sn取得最小值时，n＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列的前n项和．【答案】B【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．【解答】解：a3+a8＞0，则a5+a6＝a3+a8＞0，a5＜0，则a6＞0，故当Sn取得最小值时，n＝5．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列关于f（x）的描述一定正确的是（）A．f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减 B．当x＝0时，f（x）取得最大值 C．f（x）在区间（3，+∞）上单调递减 D．当x＝1时，f（x）取得最小值【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案．【解答】解：由图可知，x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当x＝0时，f（x）有极大值，不一定为最大值；1＜x＜3时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x＝1时，f（x）有极小值，不一定为最小值；x＞3时，f（x）＜0，f（x）为减函数，综上可得只有C正确．故选：C．6．（5分）设数列{an}满足a1+++…+＝1﹣，则an＝（）A．1﹣ B． C． D．【考点】数列的求和．【答案】D【分析】利用递推关系即可得出．【解答】解：∵a1+++…+＝1﹣，∴当n＝1时，a1＝1﹣＝．当n≥2时，a1+++…+＝1﹣，∴＝1﹣﹣＝，∴an＝．当n＝1时也成立，∴an＝．故选：D．7．（5分）设函数f（x）＝xsinx，若，且f（x1）＜f（x2），则下列不等式恒成立的是（）A．x1＜x2 B．x1＞x2 C．x1+x2＜0 D．＜【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】D【分析】易知函数f（x）为偶函数，且在上单调递增，结合题意可得|x1|＜|x2|，由此得解．【解答】解：f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），则函数f（x）为偶函数，当时，f′（x）＝sinx+xcosx＞0，则函数f（x）在上单调递增，又，且f（x1）＜f（x2），则|x1|＜|x2|，故．故选：D．8．（5分）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作．则所有鳞片中竹质鳞片个数为（）A．120 B．124 C．128 D．130【考点】数列的应用；归纳推理．【答案】B【分析】根据题意，分析碳杆材质的鳞片和竹质鳞片之间的规律，再假设有n个“碳杆”鳞片，分析可得n的不等式，求出n的值，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得：第n个碳杆材质的鳞片和第n+1个碳杆材质的鳞片之间有n个竹质鳞片，假设有n个碳杆材质的鳞片鳞片，n∈N*，由已知可得n+1+2+3+…+（n﹣1）+n≥140①，如果只有n﹣1个碳杆材质的鳞片鳞片，则骨架总数少于140，所以（n﹣1）+1+2+3+…+（n﹣1）＜140②，联立①②可得：n2+3n≥280且n2+n＜282，又n∈N*，解得n＝16，即需要16个碳杆材质的鳞片，故需要140﹣16＝124个竹质鳞片．故选：B．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）若数列{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为（）A． B．an＝2n﹣1 C． D．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【答案】ABD【分析】根据题意，依次分析选项中数列的单调性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，an＝＝1﹣，则an+1﹣an＝（1﹣）﹣（1﹣）＝，易得an+1﹣an＞0，则数列an}为递增数列，符合题意；对于B，an＝2n﹣1，则an+1﹣an＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2＞0，则数列an}为递增数列，符合题意；对于C，an＝n2﹣3n，有a1＝a2＝﹣2，数列an}不是递增数列，不符合题意；对于D，an＝2n，an+1﹣an＝2n+1﹣2n＝2n＞0，数列an}为递增数列，符合题意．故选：ABD．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，则下列结论中正确的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0 B．函数f（x）可能无极值点 C．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0 D．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【答案】ABC【分析】由三次函数的图象特征可判断A；取函数f（x）＝x3+c即可判断B；由极值点的定义即可判断C；由极值点与单调性的关系即可判断D．【解答】解：函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，当x→﹣∞时，f（x）＜0，当x→+∞时，f（x）＞0，又f（x）连续，所以∃x0∈R，f（x0）＝0，A正确；当a＝b＝0时，f（x）＝x3+c在R上单调递增，无极值点，故B正确；三次函数是连续的，若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0，故C正确；若x0是f（x）的极小值点，可能还有极大值点x1，若x1＜x0，则f（x）在区间（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x0）上单调递减，故D错误．故选：ABC．（多选）11．（6分）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，若a1＞1，0＜q＜1，且（a2023﹣1）•（a2024﹣1）＜0，则下列结论正确的是（）A．S2024﹣S2023＞0 B．a2023a2025＜1 C．数列{Tn}中的最大值是T2023 D．数列{Tn}无最大值【考点】等比数列的性质．【答案】ABC【分析】根据已知条件，推得a2023＞1，0＜a2024＜1，即可依次判断．【解答】解：a1＞1，0＜q＜1，且（a2023﹣1）•（a2024﹣1）＜0，则a2023＞1，0＜a2024＜1，对于A，S2024﹣S2023＝a2024＞0，故A正确；对于B，a2023a2025＝，故B正确；对于CD，a2023＞1，0＜a2024＜1，0＜q＜1，则数列{Tn}中的最大值是T2023，故C正确，D错误．故选：ABC．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知函数，＝．【考点】基本初等函数的导数．【答案】．【分析】先求出导数f′（x），即可求出常数．【解答】解：由题，所以，则．故答案为：．13．（5分）在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S5＝5，S10＝15，则S15的值为35．【考点】等比数列的前n项和．【答案】35．【分析】直接利用等比数列的性质求出结果．【解答】解：正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，故S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列；由于S5＝5，S10＝15，所以，解得S15＝35．故答案为：35．14．（5分）设a＞0且a≠1，若关于x的方程ax＝x有两个实数根，则a的取值范围是（1，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】（1，）．【分析】由指数函数的性质可知当0＜a＜1时，不满足题意，当a＞1时，设f（x）＝ax﹣x，将问题转化为f（x）＝0在（0，+∞）上有2个根，利用导数求解即可．【解答】解：当0＜a＜1时，由指数函数的性质可知y＝ax与y＝x只有一个交点，不满足题意；当a＞1时，设f（x）＝ax﹣x，则f（x）＝0在（0，+∞）上有2个根，因为f'（x）＝ax•lna﹣1，易知f'（x）在0，+∞）上单调递增，设f'（x0）＝0，即有•lna＝1，则当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（x0）＝﹣x0＝﹣x0＜0，所以x0＞，即x0lna＞1，ln＞lne，＞e，＞e，lna＜，解得a＜，综上，1＜a＜．故答案为：（1，）．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）求下列函数的导数：（Ⅰ）y＝（2x﹣1）4；（Ⅱ）y＝x3•2x．【考点】基本初等函数的导数．【答案】（I）y′＝8（2x﹣1）3；（Ⅱ）y′＝3x2•2x+x3•2x•ln2．【分析】由已知结合函数的求导公式及求导法则即可分别求解．【解答】解：（I）y′＝4（2x﹣1）3•（2x﹣1）′＝8（2x﹣1）3；（Ⅱ）y′＝3x2•2x+x3•2x•ln2．16．（15分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn．公比q＞1，若a2＝8，S3＝28．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：．【考点】等比数列的前n项和．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题意，分析得到关于a1、q的方程组，解得即可；（2）首先求出Sn，再利用作差法证明即可．【解答】解：（1）等比数列{an}中，由于a2＝8，S3＝28，则有，解得或（舍去），所以．（2）因为，且n∈N*，所以，所以．17．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（Ⅰ）x+y﹣1＝0；（Ⅱ）（﹣∞，e]．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求解；（Ⅱ）由题意可知，在（0，+∞）上恒成立，即，令，利用导数求出g（x）的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝ex﹣2x，则f（0）＝1，f'（x）＝ex﹣2，∴f'（0）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（Ⅱ）f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，等价于在（0，+∞）上恒成立，即，令，则，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上的极小值点为x＝1，也是最小值点，∴g（x）min＝g（1）＝e，∴a≤e，即a的取值范围为（﹣∞，e]．18．（17分）若数列{an}满足条件：存在正整数k，使得an+k+an﹣k＝2an对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{an}为k级等差数列．（Ⅰ）若数列{an}为1级等差数列，a1＝1，a3＝9，求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅱ）若数列{an}为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求a5、a6及数列{an}的前2024项和S2024．【考点】数列的求和．【答案】（1）Sn＝2n2﹣n；（2）a5＝6，a6＝6，2559854．【分析】（Ⅰ）结合已知定义，利用等差数列的性质及求和公式即可求解；（Ⅱ）由已知递推关系，结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若数列{an}为1级等差数列，即an+1+an﹣1＝2an对一切n∈N*，n＞1都成立，则数列{an}为等差数列，设公差为d，由a1＝1，a3＝9，可得，则．（Ⅱ）由数列{an}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，可得an+2+an﹣2＝2an对一切n∈N*，n＞2都成立，a5＝2a3﹣a1＝8﹣2＝6，a6＝2a4﹣a2＝6﹣0＝6，a7＝2a5﹣a3＝12﹣4＝8，…，可得数列{an}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数