2023-2024学年陕西省西安市部分学校百师联盟高三(上)开学联考数学试卷(理科)

2023-2024学年陕西省西安市部分学校百师联盟高三（上）开学联考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，，则A∩B＝（）A．（1） B．{3，4） C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}2．已知复数（i是虚数单位），则＝（）A．1 B．i C． D．3．已知cosα+，则＝（）A． B． C． D．4．函数（e为自然对数的底数）在[﹣2，2]的大致图象是（）A． B． C． D．5．已知数列{an}和{bn}均为等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，若为定值，S5＝45，b3＝6，b7＝14，则a5＝（）A．15 B．56 C．72 D．1046．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在对角线BC1上移动，则三棱锥M﹣AB1D1的体积为（）A． B．8 C． D．47．已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．（多选）8．已知实数m，n满足0＜m＜，1＜n＜2，则下列关系中正确的是（）A．mn＜nm B．sinm＜sin C．mn2＞1 D．logmn＜lognm9．某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（）A． B． C． D．10．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究数据的变化，已知a8＝192，则a5＝（）A．324 B．297 C．256 D．16811．已知随机变量ξi服从两点分布，且P（ξi＝1）＝pi（i＝1，2），若，则下列判断正确的是（）A．E（ξ2）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＞E（ξ2） C．E（ξ1）＜D（ξ1） D．D（ξ1）＞D（ξ2）12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣（2a+1）f（x）+a2+a＝0有6个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，2） C．[0，1） D．（0，1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知t为实数，＝（2，t），＝（3，0），则向量在向量方向上的投影向量为．14．已知的展开式中的常数项为（用数字作答）．15．已知双曲线E的一个焦点为F，点F到双曲线E的一条渐近线的距离为1，则双曲线E的标准方程是16．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA+BC＝4，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会．在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1，2，3，5四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为ξ，η，若|ξ﹣η|为奇数即为中奖．（1）求某顾客甲获奖的概率；（2）求随机变量X＝|ξ﹣η|的分布列与数学期望E（X）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，AB＝，PB＝BC＝2，点Q为PC的中点．（1）求证：平面ABQ⊥平面PAC；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19．如图，△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC外一点D（D与△ABC在同一平面内）满足∠BAC＝∠DAC，AB＝CD＝2，sin∠ACB+cos∠ACB＝．（1）求B；（2）若△ABC的面积为2，求线段AD的长．20．已知函数f（x）＝x2﹣mxlnx+1，m∈R且m≠0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥x恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围．21．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点P（2，1），Q（0，1），且|PF|＝|QF|．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若斜率存在的直线l过点P且交抛物线C于M，N两点，若直线MF，NF交抛物线于A，B两点（M、N与A、B不重合），求证：直线AB过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，射线l的方程为，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求射线l和曲线C的极坐标方程；（2）若射线l与曲线C交于点P，将射线OP绕极点按逆时针