2023-2024学年上海市复旦附中高二(上)开学数学试卷(9月份)

2023-2024学年上海市复旦附中高二（上）开学数学试卷（9月份）一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．已知集合A＝{y|y＝﹣x2+2，x∈R}，B＝{x|x＞﹣1，x∈N}，那么A∩B＝．2．若复数是纯虚数，则实数a＝．3．已知a、b∈R，且a2+9b2＝1，则ab的最大值是．4．若等腰三角形顶角的正弦值为，则底角的余弦值为．5．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为．6．已知定义域为R的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上为严格减函数，且f（2）＝0，则不等式的解集为．7．已知函数y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]（其中，a，ω为常数，且ω＞0）有且仅有3个零点，则ω的最小值是．8．非零平面向量，，满足，且，则的最小值为．9．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G．若四面体A﹣EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为．10．函数f（x）＝|2x﹣+t|﹣t，x∈[0，1]，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为．11．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，SD⊥面ABCD，点M、N分别是AD、CD的中点，P为SD上一点，且SD＝3PD＝3，H为正方形ABCD内一点，若SH∥面PMN，则SH的最小值为．12．已知平面向量、、、、、两两互不相等，且．若对任意的i，j∈{1，2，3}，均满足，则当p，q∈{1，2，3}且p≠q时，的值为．二、选择题（本大题共有4小题，每题5分，满分20分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，填写正确选项.13．设α：实数x满足，β：实数x满足|x﹣1|＜2，那么α是β的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．设有下面四个命题：（1）若复数z满足∈R，则z∈R；（2）若复数z满足z2∈R，则z∈R；（3）若复数z满足z∈R，则∈R；（4）若复数z1、z2满足z1z2∈R，则z1＝．则正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．415．设函数f（x）＝asinx+bcosx，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤f（）对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是（）A．f（）＞f（） B．f（x）的图像关于直线x＝对称 C．f（x）在[，]上单调递增 D．过点（a，b）的直线与函数f（x）的图像必有公共点16．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2 B． C． D．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．已知＝（3，﹣1），•＝﹣5，＝x+（1﹣x）．（Ⅰ）若⊥，求实数x的值；（Ⅱ）若||＝，求||的最小值．18．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD．（1）已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）；（2）若该扇形的半径为OA＝a，已知某老人散步，从C沿CD走到D，再从D沿DO走到O，试确定C的位置，使老人散步路线最长．19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱AA1上一点；（1）试过点P在平面ADD1A1上作一条直线PQ⊥C1P，写出作法，并说明理由；（2）若P为棱AA1上一点，Q为棱AD上一点，且PQ⊥C1P，求异面直线PQ与C1D所成的角的范围；20．已知函数f（x）＝2x+，a为实常数．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）若x∈[0，1]时，f（x）的最小值为2，求a的值；（3）若方程f（x）＝6有两个不等的实根x1，x2，且|x1﹣x2|≤1，求a的取值范围．21．若函数f（x）＝sin（ωx+φ），ω＞0，，f（x）+f（﹣x）的最大值为