2023-2024学年上海市文来中学高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年上海市文来中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分）1．复数i（2+i）的虚部为．2．若，则＝．3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a5＝10，则S6＝．4．在△ABC中，，AB＝2，AC＝3，则BC边上的高为．5．（x﹣2y）5的展开式中的x2y3系数是．6．四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识．每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（用数字作答）．7．若向量，满足，与垂直，则在上的投影向量坐标为．8．已知集合，若B⊆A，则实数a的取值范围是．9．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+x3，则使得不等式f（2x﹣1）+f（3）＜0成立的实数x的取值范围是．10．设a、b为正数，若直线ax﹣by+1＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截得弦长为4，则的最小值为．11．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为36π，则该四棱锥体积的最大值是．12．随着市民健康意识的提升，越来越多的人开始运动，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM，ON分别是由OA，OB延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与弧相切于点F，且与OM，ON分别交于点C，D，另两条分别是和湖岸OA，OB垂直的FG，FH（垂足均不与O重合）．在△OCD区域内，扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪，则下列说法正确是的．（填序号）①∠FOD的取值范围是；②新增步道CD的长度可以为20；③新增步道FG，FH长度之和可以为7；④当点F为弧的中点时，草坪的面积为．二、单选题（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13．树人中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（）A．89 B．90 C．92 D．9414．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝sin2x+的图象，则φ的可能值为（）A．0 B． C． D．15．已知公比为q的等比数列{an}的首项a1＞0，则“q＞1”是“a5＞a3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．设F1，F2同时为椭圆C1：与双曲线C2：的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点．若|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是（）A． B． C． D．三、解答题（共78分）17．正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PO＝3，其中O为底面中心，M为PD上靠近P的三等分点．（1）求证：BD⊥平面ACP；（2）求四面体M﹣ACP的体积．18．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18﹣40岁、41岁﹣70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为比较了解和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下分组A小区频数B小区频数18﹣40岁人群603041﹣70岁人群8090其他人群3050假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．（1）从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；（2）从A、B小区41﹣70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．已知函数f（x）＝exln（1+x）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设g（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；20．已知椭圆Γ：+＝1的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值；（3）若椭圆Γ上存在点C使得|AC|＝|BC|，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．21．数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称数列{an}是“E数列”．（1）数列{an}的前n项和Sn＝3n（n∈N*），判断数列{an}是否为“E数列”，并说明