考研数学三（解答题）专项练习试卷4

考研数学三（解答题）专项练习试卷4

一、解答题（本题共70题，每题1.0分，共70分。）

Him旦华」

1、求极限一。屈>+/）-21

ln(sin2j7+封)-Inb

原式=lim

h(JT2+/)—Ine”

lim•岑=Hme1=1.

标准答案:D€xn

知识点解析：暂无解析

2、设函数f（x）在⑶b]上有三阶连续导数。（1）写出£3）在0b]上带拉格朗E余

项的二阶泰勒公式；（U）证明存在一点ne（a,b）,使得

fW=仆）+广（亨）（b・a）♦表厂5）（67））

标准答案：（I）任意给定xo€（a,b）,对任意x€[a,b],则f（x）在⑶b]上带有拉格

朗日余项的二阶泰勒公式

/（*）=/（*0）♦/'（*.）（%-%）+4/"（%）（了-X©尸+=/"（f）（X-«•）',fe（«o,x）（口）把f（b）与

a-¥b

f（a）分别在点〜处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，

"=/（皇）♦广（宁）宁+M（宁）（宁）（力）（宁）'W（号”

小）=/（■）/（中）宁中•（审）（宁）宁）、€f°将上面两

式相减可得"》-"〃）H暇，-G♦廿⑺"""（宁）‘由于f”'（x）在⑶b]

上连续，则根据连续函数的介值定理知，存在1wMmJU（Q,b）,使得

广⑺，〔广（7）+厂（仍）〕将其代入f（b）.f（a）的表达式，即存在一点正（a,b）使得

"=/（a）♦广（空）”・a）♦吉/

知识点解析：暂无解析

3、袋中有a个黑球和b个白球，一个一个地取球，求第忌次取到黑球的概率

（l<k<a+b）.

标准答案：基本事件数n=（a+b）!,设Ak=｛第k次取到黑球｝,则有利样本点数为

a（a+b—1）!G

a（a+b-l）!,所以P（A%：）=（。+力！a+b

知识点解析：暂无解析

设Z=-/(xy)+yq(x+y),求鲁。

4、xdxoy

dzQudz

标准答案：先求所块"'而且f(x)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，U

是中间变量；q)(xy)是一元函数(p(u)与二元函数u=x+y的复合，u是中间变

—一____针二且先求更

量。由于我力一分力方便，由复合函数求导法则得

当=与'⑸)兴外)+夕(4♦，)+)“'(％+/)+，)

dyxoyoy

-f'(xy)+<p(x+y)+y(f>\x+y),

系二悬啜端卜八⑺+C(x+力+2"“)°

知识点解析：暂无解析

5、设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明：A+E的行列式大于1.

标准答案：因A正定，有正交阵P,使

p->AP=PTAP=".，其中儿>0(i=1,2,…，Q

Ui4-1

故WA+E)P=piAP+E=.

L九+1」两端取行列

式，得IA+EI=(Xi+l)(X2+l)...(Xn+l)>l.

知识点解析：暂无解析

6、一枚均匀硬币重复掷3次，以X表示正面出现的次数，以Y表示前两次掷出正

面的次数，试求随机变量X和Y的联合概率分布.

标准答案：易知X的可能取值为0,1,2,3.Y的可能取值为0,1,2.且记A

1

为第i次出现正面，则P(X=0,Y=0)=P(X=0)=8".P(X=0,Y=l)=0.P(X=0,

pcx=i,y=o)=p(儿儿A3)=卷.

o

P(X=i,y=1)=P(A瓦^3)+P(儿A2耳3)=

Y=2)=0.4p(x=l,

Y=2)=0.P(X=2.Y=0)=P(X=3,Y=0)=P(X=3,

Y=l)=0.

PCX=2,Y=2)=P(A>AAJ)=看.

2o

P(X=2,y=l)=P(A1A2A3)4-PC?IA2A3)=.

PCX=3,y=2)=P(AiAA)=春.

o

即X与Y的联合概率分布为

X012

100

0T

110

18T

11

20T

工

0

308

知识点解析：暂无解析

7、设A=（aij）nxm是非零矩阵，且IAI中每个元素aij与其代数余子式Aij相

等.证明：IAI#0.

标准答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零

行，则IAI=akiAki+ak2Ak2+...+aknAakn=aki2+ak22+...+akn2>0.

知识点解析：暂无解析

0-14

-I3a

8、设A」4a0」，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列

1

为石（1,2,1）T,求a,Qo

标准答案：按已知条件，（1,2,1）「是矩阵A的特征向量，设特征值是1]=1,那

o-1-4

-13:林八用:二;?Un｛：:；It

么14aO」LJl|-(4-0=A,,。又因为仇E—A|J-4I

=（九一2）（入—5）（入+4）,知矩阵A的特征值是2,5,—4o对1=5,由（5E—A）x=0

得基础解系。2=(1,一1，I),。对入=一4,由(一4E—A)x=O得基础解系(13=(一

1,0,l)To因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，放只

11

需单位化。2，底3，即丫2=q1，一1,1)丁，丫3=々一1，0,1)T,令Q=

■1

一11

,,一1,

用

-2

一

而/°,P

—

L一±±5

网36」，则有Q「AQ=Q"AQ」.4J0

知识点解析：暂无解析

某保险公司对多年来的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示

在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.［附表］设①(x)是标

准正态分布函

数.

X00.51.01.52.02.53.0

0(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999

9、写出X的概率分布；

标准答案：设事件A=｛被抽查到被盗索赔户｝,则p=p(A)=0.2.由题意知，X〜

B(100,0.2).因此，分布律P(X=k)=Ciook().2k0.81(x)_k(k=0,1,100).

知识点解析：暂无解析

10、利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30

户的概率的近似值.

标准答案：E(X)=np=20,D(X)=np(l—p)=16.根据棣莫弗一拉普拉斯定理知，

X——20近似

—〜N(0,D(n=100已充分大).

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