考研数学二(线性代数)模拟试卷23(题后含答案及解析)

考研数学二（线性代数）模拟试卷23（题后含答案及解析）

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设A,B是n阶方阵，满足AB=O,则必有（）

A.A=O或R=O

B.A+B=O

C.IAI=0或IBI=0

D.IAI+IBI=0

正确答案：C

解析：ABO-IABI=IAI|BI=0,故IAI=0或IBI=0.知识模

块：线性代数

2.A,B是n阶方阵，则下列公式正确的是()

A.(A2)—1=(A-1)2

B.(A+B)—1=A—1+B—1

C.(A+B)(A—B)=A2一B2

D.(kA)—l=kA—1(kH0)

正确答案：A

解析：因(A2)—1=(AA)-1=A-1A—1=(A-1)2；(B)不成立，例：B=

一A,A+B不可逆；(C)中，ABWBA,BA-ABWO；(D)中，(kA)-1=A—1

#kA1.知识模块：线性代数

3.已知A,B,A+B,A—1+B—1均为n阶可逆阵，则(A—1+B—1)

一1等于()

A.A+B

B.A-1+B-1

C.A(A+B)—1B

D.(A+B)—1

正确答案：C

解析：验算(A—1+B—1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B=B

一1(B+A)(A+B)—1B=B-1B=E,故(A—1+B—1)一1=A(A+B)—1

B.知识模块：线性代数

4.卜列命题正确的是()

A.若AB=E,则A必可逆，且A一仁B

B.若A,B均为n阶可逆阵，则A+B必可逆

C.若A,B均为n阶不可逆阵，则A—B必不可逆

D.若A,B均为n阶不可逆阵，则仙必不可逆

正确答案：D

解析：因A,B不可逆，贝IA|=0,IBI=0,故IAB|二IAIIBI=0,

AB不可逆.(A)中AB=E,未指出是方阵，若A=则AB=E,但A,B均无逆可言.(B)

中，取B二一A,则A+B=A一A=O不可逆.(C)中，取A二均不可逆，但A一

B二E是可逆阵.知识模块：线性代数

5.设A是n阶方阵，且A3=0,则()

A.A不可逆，且E—A不可逆

B.A可逆，但E+A不可逆

C.A2—A+E及A2+A+E均可逆

D.A不可逆，且必有A2=O

正确答案：C

解析：A3=O,有E3+A3=(E+A)(A2—A+E)=E,E3一A3=(E一

A)(A2+A+E)=E,故A2-A+E及A2+A+E均可逆.由以上两式知，E—A,E+A

也均可逆，故(A),⑴)不成立，同时知识模块：线性代数

6.设A,B是n阶矩阵，AB=O,B#O,则必有()

A.(A+B)2=A2+B2

B.IBI#0

C.IB*I=0

D.IA*I=0

正确答案：D

析：AB=O,不一定有BA=O,故(A)中(A+B)2=A2+B2,不成立；BWO,I

BI可以为零，也可以不为零，IB*I也可以为零，可以不为零，故(B),(C)不

成立；BWO,AB=O,AX=0有非零解，故IA|=0,从而IA*I=IAIn

1=0.知识模块：线性代数

7.A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*I=()

A.IAI

B.IA—1I

C.IAn—1I

D.IAnI

正确答案：C

解析：AA*=IAIE,两边取行列式，得IAIIA*I=IAIn.若I

AI#(),IA*I=IAIn-1=IAn-1I；若lAl=0,则IA*I=0,故

选(C).知识模块：线性代数

8.A是n阶矩阵，IAI=3.则I(A*)*I=()

A.

B.

C.

D.

正确答案：A

解析:|AI=3,A可逆.(A*)(A*)*=IA*IE,(A*)*=IA*I(A*)

--1=IA*I=IAIn—2A,I(A*)*I=IIAIn-2AI=IAI(n-2)nI

AI=.知识模块：线性代数

9.设A是n阶可逆方阵(n22),A*是A的伴随矩阵，则(A*)*=()

A.IAIn—1A

B.IAIn+l+A

C.IAIn一2A

D.IAIn+2A

正确答案：C

解析：AA*=IAIE,得A*(A*)*二IA*IE,(A*)*二IA*I(A*)—1,知

识模块：线性代数

填空题

10.设a=[1,0,1]T,A=aQT,n是正数，则IaE—AnI=.

正确答案：a2(a-2n)

解析：An=(aaT)n=aaTaQT…aaT=a(aTa)(aTa)…(aTa)Q

T=2n—1A,知识模贰线性代数

11.设A,B均为n阶矩阵，IAI=2,BI=—3,则I2A*B—1I

正确答案：一22n—*1

解析：I2A*B—1I=2nIA*IIB—II=2n.IAIn—1.知识模块:

线性代数

12.设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且IAI=a,IBI=b,C=，则I

CI=.

正确答案：(一l)mnab

解析：ICI==(-l)mnIAIIBI=(一l)mnab.知识模块：线性代数

13.已知AB-B=A,其中B=，贝IJA=.

正确答案：

解析：AB-B=A-A=B(B—E)—1=知识模块：线性代数

14.设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E,IAI>0,则IA—EI

正确答案：()

解析：IA—EI=IA—AATI=IA(E-AT)I=IAII(E—A)TI=I

AIIE—AI.由于AAT=ATA=E,可知IAI2=1.又由于IAI>0,可

知IAI=1.又由于A为奇数阶矩阵，故IE—AI=I一(A—E)I二一IA

—EI,故有IA—EI=~IA—EI,可知IIA—EI=0.知识模块：线性代数

15.设3阶方阵A,B满足关系式A―1BA=6A+BA,且A=,则

B=.

正确答案：diag(3.2,1)

解析：由A—1BA=6A+BA得D=6A(E一A)—l=diag(3,2,1),其中，，

XI,入2,…，入n全不为零.知识模块：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.设A是n阶矩阵，证明：A=O的充要条件是AAT=O.

正确答案：应有aij2=0,i=1,2,…，n,BPaij=0(i=L2,…，n；j=l,2,…，

n),即A=O.反之，若A=O,显然AAT=O.涉及知识点：线性代

数

17.设A=.(1)证明：当n23时，有An=An—2+A2—E；(2)求A100.

正确答案：⑴用归纳法.n=3时，因A2=，验证得A2=A+A2—E,上

式成立.假设n=k一l(n23)时成立，即Ak—1=Ak—3+A2—E成立，则

Ak=A.Ak一l=A(Ak-3+A2-E)=Ak-2+A3-A=Ak-2+(A+A2—

E)—A=Ak—2+A2-E,即n=k时成立.故An=An一2+A2一E对任意

n(n23)成立.(2)由上述递推关系可得A100=A98+A2-E=(A96+A2一

E)+A2一E=A96+2(A2一E)=-=A2+49(A2一E)=.涉及

知识点：线性代数

18.设A=⑴计算A2,并将A2用人和£表出；(2)设A是二阶方阵，当k

>2时，证明：Ak=O的充分必要条件为A2=O.

正确答案：(1)解得x=a+d,y=bc一ad,即A2=(a+d)A+(bc-ad)E.(2)

充分性A2=O-*Ak=O,k>2,显然成立；必要性Ak=O-IAI=ad一

bc=0,由(1)知A2=(a+d)A»于是Ak=(a+d)k-1A=O,即A=O或a+d=0,从而

有A2=(a+d)A=O.涉及知识点：线性代数

19.证明：方阵A与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是A是对角阵.

正确答案：充分性A是对角阵，则显然A可与任何对角阵可交换.涉

及知识点：线性代数

2().证明：若A为n阶可逆方阵，A*为A的伴随矩阵，则(A*)T=(AT)*.

正确答案：(A*)T=(IAIA-1)T=IAI(A-1)T=IAI(AT)—1=IATI

(AT)—1=(AT)*.涉及知识点：线性代数

21.证明：若A为n阶方阵，则有IA*|二|(一A)*I(n22).

正确答案：设A=(aij)nXn,IAI的元素aij的代数余子式为Aij,则I-AI

的元素一aij的代数余子式为Bij=(—l)n一lAij,于是(A)*=(一l)n-l(Aij)n

Xn(一I)n-1A*,所以I(一A)*I=I(一l)n-1A*I=[[(一l)n一l]nIA*I

=IA*I.涉及知识点：线性代数

22.已知3阶矩阵A的逆矩阵为A一1=,试求其伴随矩阵A*的逆矩阵.

正确答案：(A*)—1=涉及知识点：线性代数

23.已知X=AX-B,其中A二,求矩阵X.

正确答案：X=(E—A)—1B=涉及知识点：线性代数

24.已知n阶方阵A满足矩阵方程A2—3A—2E=0.证明：A可逆，并

求出其逆矩阵A—1.

正确答案：A*—3A—2E=O-涉及知识点：线性代数

25.已知对于n阶方阵A,存在自然数匕使得Ak二O.试证明：矩阵E

一A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).

正确答案：E=E