考研数学一（线性代数）模拟试卷58

考研数学一(线性代数)模拟试卷58

一、选择题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

1、设A是三阶矩阵，其中au¥O,Aij=ajj(i=l,2,3,j=l,2,3),则I2A'|=()

A^Oo

B、2。

C、4o

D、8o

标准答案：D

知识点解析：I2AT|为3|ATI=8IAI,且由已知

T

aMl%，13一^21弁31"

nau°B'

=T

A=a2\a22a23=力21^22423A12包/=(A-),

5032%3」432433"

-Ai3包43~故

A*=ATO又由AA*=AAT=IAIE,两边取行列式，得|AATI=IAI2=IIAI

EI=IAI2,E|JIAI2(IAI-1)=0,又a”#),则IAI

二aiiAu+a12Al2+a13Al3=aiL+aB+ai3V>0,故|A|=1,从而I2A1|=8,所以应

选D。

2、若ai，az线性无关，0是另外一个向量，则ai邛与口2+。()

A、线性无关。

B、线性相关。

C、既线性相关乂线性无关。

D、不确定。

标准答案：D

知识点解析：例如，令四=(1,1),012=(0，2),-1),则ai，012线性无关，

而ai+0=(O,0)与。2+。=(・1,1)线性相关。如果设0=(0,0),那么ai+。与(X2+0却

是线性无关的。故选D。

3、非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4,A是4x6

矩阵，则()

A、无法确定方程组是否有解。

B、方程组有无穷多解。

C、方程组有唯一解。

D、方程组无解。

标准答案：B

知识点解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解

的充要条件，且方程组的未知数个数是6,而系数矩阵的秩为4,因此方程组有无

穷多解，故选B。

4、设A是秩为n・l的n阶矩阵，囚，是方程组Ax=O的两个不同的解向量，贝U

Ax=O的通解必定是（）

A、。]+。2。

B、kaio

C、k（a1+。2）。

D、k（ai-a2）o

标准答案：D

知识点解析：因为A是秩为n-1的n阶矩阵，所以Ax=0的基础解系只含一个非零

向量。又因为囚，a2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，所以囚-。2必为方程组

Ax=0的一个非零解，即见｛2是Ax=0的一个基础解系，所以Ax=0的通解必定是

k（ai-a2）o选D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选

项A不正确；若ai=0,则选项B不正确；若01]=-02彳0，则ai+a2=0，此时选项C

不正确。

5、己知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是（）

A、ATO

2

B、AO

C、A-1o

D、A-Eo

标准答案：A

知识点解析：由于IXE-ATI=I（XE-A）TI=IXE-AI,A与AT有相同的特征多项

式，所以A与有相同的特征值。由Aa=/a,aHO可得至UA%=1A"a=『a,

（A-E）a=（X-l）a,说明A?、A/、A-E与A的特征值是不一样的（但A的特征向量也

是它们的特征向量）。所以应选A。

100'

050

6、已知P」AP=L。°5」，川是矩阵A属于特征值人=1的特征向量，。2与是

矩阵A属于特征值＞5的特征向量，那么矩阵P不能是（）

A、（a1，《2，«3）＜＞

B、（ai,（X2十。3，（12-2。3）。

C、（ai，013,a2）。

D、（a）+a2，a）-a2»（13）。

标准答案：D

42,

知识点解析：若MAP二AJ&」，p=@,a2,。3)，则有AP=PA,因

(Aai，Aa2，Aa3)=(Xjai，入2a2,13a3),可见四是矩阵A属于特征值Mi=l,2,3)

的特征向量，又因矩阵P可逆，因此a”a2,013线性无关。若a是属于特征值入

的特征向量，则-a仍是属于特征值入的特征向量，故选项A正确。若a,P是属于

特征值九的特征向量，则a与。的线性组合仍是属于特征值入的特征向量。本题

中，a2，a3是属于九=5的线性无关的特征向量，故a2+a3，a2-2a3仍是兀=5的特征

向量，并且。2+。3，012-2(X3线性无关，故选项B正确。对于选项C,因为。2，

均是35的特征向量，所以a2与a3谁在前谁在后均正确。故选项C正确。由于

ai，a2是不同特征值的特征向量，因此a1+(i2,囚-m不再是矩阵A的特征向量，

故选项D错误。所以应选D。

7、二次型f(xi，x2,X3)="：+5/+£_4x]X2+2x2X3的标准形可以是()

(A)y?+4/2©(B)y：-67；+2yJ0

(C)y：-y：o(DM”)：，，。

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：用配方法，有仁4一〃卢2+4E+23/+4=(x]-

2X2『+(X2+X3)2,可见二次型的正惯性指数p=2,负惯性指数q=0。所以选A。

二、填空题(本题共9题，每题7.。分，共9分。)

1I1

23x

8、在xOy平面上，平面曲线方程y=49J,则平面曲线与x轴的交点坐标是

________0

标准答案：(2,0),(3,0)

111

23%

知识点解析：曲线广49/与x轴(即产0)的交点为方程组区的解，行列式

为范德蒙德行列式,即有y==(3・2了x-2)(x-3)=0,解得x=2或3,故曲线与x轴的交

点坐标为(2,0),(3,0)o

9、如果A=2(B+E),且B2=E,则人2二

标准答案：A

知识点解析：已知A=E(B+E)且B2=E,则

A2=+E)f=5出+28+E)=4-(25+2E)=*+E)=4,

u244z

即A2=AO

10、已知A=1-I1,矩阵X满足A*X=A“+2X,其中A*是A的伴随

矩阵，则X=O

标准答案：L101」

知识点解析：左乘矩阵A,并把等式AA*=IAIE代入已知矩阵方程，得IAI

X=E+2AX,移项可得(IAIE-2A)X=E,因此X=(IAIE-2A)"。已知IAI=4,

X=(4E-2A)-1=y(2E-A)101

4

所以

11、设A是一个n阶矩阵，且A2・2A-8E=O,则r(4E-A)+r(2E+A)=。

标准答案：n

知识点解析：已知A2-2A-8E=O,可得(4E-A)(2E+A)=O,根据矩阵秩的性质可知

r(4E-A)+r(2E+A)<n,同时r(4E-A)+r(2E+A)>r[(4E-A)+(2E+A)|=r(6E)=n,因此

r(4E-A)+r(2E+A)=n。

TT

12、向量组ai=(l,-2,0,3产，a2=(2,-5,-3,6),a3=(0,1,3,0),04=(2,-

1,4,7)T的一个极大线性无关组是。

标准答案：ai，(12，04

知识点解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有(囚，(X2,

-1202'120T1202•

-2-51-10-1130-113

）—>

0-3340-334000-5

-3607•L0001--0001-

I021

013

001

（X3，04）L000-因为矩

阵中有三个非零行，所以向量组的秩为3,又因为非零行的第一个不等于零的数分

别在1,2,4列，所以a],(X2，04是向量组四，(X3，04的一个极大线性无关

组。

f2xj+\x2-x3=与,

<Ax,一=h，

13、已知方程组J。+5町-5/=%总有解，则人应满足的条件是

.4_

标准答案：QU且杼5

知识点解析：对于任意的b],b2,b3,方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A

的秩为3,即

2A2A-1

A-A-1A-11=（5A+4）（入-1）#0,

4554+400

所以八/1且入#-

产+2盯一盯=0，

14、已知方程组+3々+/二°，与方程(2)X1+5X3=O，贝1」(1)与(2)的公共解

是O

标准答案：k(-5,3,l)T,k为任意常数

fx1+2X2-xy-0,

,2x1+3X2+A=0,

知识点解析：将方程组⑴和方程(2)联立，得到方程组(3)1孙+5/=0,(3)

的解就是两者的公共解。对(3)的系数矩阵作初等行变换可得

12-nri2-nri2

4:23i—o-13Toi—3,

°」由于A的秩为2,所以自由

-105-ILo-26JLO0

变量有一个，令自由变量X3令，代入可得X2=3,X|=-5,所以⑶的基础解系为『(-

5,3,l)To因此(1)和(2)的公共解为k(-5,3,1)T,k为任意常数。

15、设a=(l,-1,a)T,p=(l,a,2)T,A=E+apT,且九=3是矩阵A的特征值，则

矩阵A属于特征值A：3的特征向量是o

标准答案:k(l,-1,I)T,k，0

知识点解析：令B=apT,则矩阵B的秩是1,且pTa=a+l,由此可知矩阵B的特征

值为a+1,0,0o那么A=E+B的特征值为a+2,I,1。因为九二3是矩阵A的特征

值，所以a+2=3,即a=l。于是Ba=(耶T)a=a(0Ta)=2a,即a=(l,-1,1),是矩阵B

属于特征值＞2的特征向量，也是矩阵A属于特征值＞3的特征向量。

16、二次型f(xi，X2，x3)=(a]X]+a2X2+a3X3)(b]X]+b2X2+b3X3)的矩阵为

0也+ablQ也

z>h2・・・・■・i--------------

a也.a3Mo2b3+a3b2

标准答案：22一

知识点解析：f(x”X2，X3)=(a1xI+a2X2+a3X3)(bix।+62x2+63x3)

=XX

(\f2户3)a?(d.63)x2

=(X|,X2,X3)

三、解答题(本题共70题，每题1.0分，共10分。)

4b.

••

••••

54

17、计算D2产C”乙，其中未写出的元素都是0。

标准答案：该行列式只有两条对角线上元素不为0,可以按其中一行展开，找出递

a.0

推关系式。J04按第一行展开，得区将以上

两个行列式分别按最后一行展开，得二andQ2n-2-bn.D2n-2。由此得递推公式

D2n=(andn-bnCn)D2n-2。按递推公式逐层代入得

知识点解析：暂无解析

18、设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。(I)

证明B可逆；(n^ABL

标准答案：(I)设E(i,j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩

阵，则有B=E(i,j)A,因此有IB|=IE(i,j)IIAI=・IAI#),所以矩阵B

可逆。(U)AB-LA[E(i,j)A]"=AA"E"(i,j)=E“(i,j)=E(i,j)。

知识点解析：担无解析

19、已知m个向量ai，…，am线性相关，但其中任意m-1个向量都线性无关，证

明：(I)如果等式kiai-…+kmam=0成立，则系数ki，…，km或者全为零，或者

全不为零；(口)如果等式kiaI+...+kmam=0和等式hai+…+h[】am=。都成立，则

k、kk

■一—•・・2■・...=..m.

44L其中1|和。

标准答案：(I)假设存在某个ki=0,则由kiai+...+Kmam=0可得kiai+...4-ki.iai.

1+kj+jai+1+...+kmam=Oo(1)因为任意m-l个向量都线性无关，所以必有ki『..=ki.

i=ki+i=...=km=O,即系数ki，…，km全为零。所以系数ki，…，km或者全为零，

或者全不为零。(D)由(I河知,当h#)时,系数I],…，如全不为零,所以

'L2Z«”将其代入⑴式得口又因为任意m-1个向量都线性

无关，所以，即

知识点解析：暂无解析

20、已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B二

123'

246

凸6〃」(k为常数)，且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解。

标准答案：由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)S3。⑴若

k,9,则r(B尸2,于是r(A)Wl,显然r(A巨1,故r(A)=l。可见此时Ax=0的基础解

系所含解向量的个数为3-r(A)=2,矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基

TT

础解系，故Ax=0的通解为：x=kj(l,2,3)+k2(3,6,k),ki，k2为任意常数。

⑵若k=9,则r(B)=l,从而13r(A)S2。①若r(A)=2,则Ax=0的通解为：

x=ki(l,2,3)丁，k|为任意常数。②若r(A)=l,则Ax=0的同解方程组为：

…,1,0)1+鼠

axi+bx2+cx3=0,不妨设狎0,则其通解为x=kia*a，

ki，k2为任意常数。

知识点解析：暂无解析

TT

21、设B是秩为2的5x4矩阵，ai=(l,1,2,3),a2=(-h1,4,-1),a3=(5,-

1,-8,9户是齐次线性方程组Bx=O的解向量，求Bx=O的解空间的一个标准正交

基。

标准答案：因为r(B)=2,所以解空间的维数是4-r(B)=4-2=2。又因ai，线性无

关，所以ai，a?是解空间的一组基，将其正交化，令Pi=ai=(l,1,2,3)T,

辞＜%=(若4¥-2)二

的'333)再将其单位化，令

Bi

2时

则中，可2为所求的一个标

准正交基。

知识点解析：暂无解析

22、设A为正交矩阵，且|A|=1,证明：入=-1是A的特征值。

标准答案：要证＞-1是A的特征值，需证IA+EI=0o因为IA+EI=I

A+ATAI=I(E+AT)AI=IE+ATIIAI=-IA+EI,所以IA+EI=0,故X=-l

是A的特征值。

知识点解析：暂无解析

23、设三阶实对称矩阵A的秩为2,入产心=6是A的二重特征值，若ai=(l,1,

TT

0),a2=(2,1,1),a3=(-l,2,-3产都是九属于人=6的特征向量，求矩阵A。

标准答案：由r(A)=2知，IAI=0,所以人=0是A的另一特征值。因为耳=七=6

是实对称矩阵的二重特征值，故A属于入=6的线性无关的特征向量有两个，因此

aHa2,必线性相关，显然囚，线性无关。设矩阵A属于九=0的特征向量

a=(xi，X2,X3)L由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有

raia=X)+x2.0,

=2xt+x2+x3=0,解得此方程组的基础解系a=(-1,1,I)、根据A(ai，

。2,a3)=(6ai>6a2,0)得A=(6a],6a2，0)(ai，ci2，a)-1

「6120T12-IV1「422'

66011124-2c

-060--011-2-24-

知识点解析：暂无解析

24、已知一次型f(X],X2，X3尸(I-a)*；+(I'2"；+2(]+a)x]X2的秋为2。

(I)求a的值；(口)求正交变换x=Qy,把f(xi，x*X3)化为标准形；(HI)求方程

f(X],X2，X3)=0的解。

1-a1+QO'

1+a1-a0

标准答案：(I)二次型矩阵A=L0°2」。二次型的秩为2,则二次型矩

171

阵A的秩也为2,从而|A|==-8a=0,因此a=0。(II)由(I)中结论a=0，则

A=,由特征多项式I入E-AI==(1-2)[(")2_]]=入(心2)2得矩阵人的特征值

A,I=X2=2,入3=0。当入=2,由(2E-A)x=0得特征向量ai=(l,1,0)T,a2=(0,0,

TT

l)o当入=0,由(0E-A)x=0得特征向量口3=(1，-1，0)o容易看出ai,a2,。3已

两两正交，故只需将它们单位化：那么令Q=(y”丫2，丫3)二，则在正交变换x二Qy

下，二次型f(x],X2,X3)化为标准形f(x],X2,X3)=xTAx