考研数学一（向量代数与空间解析几何）模拟试卷1

考研数学一(向量代数与空间解析几

何)模拟试卷1

一、选择题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)

1、已知曲面z=x?+y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z—1=0,则点P的坐

标是()

A、(1,一1,2)

B、(一1,I,2)

C、(1,I,2)

D、(-1,一1,2)

标准答案：D

知识点解析：切平面平行于平面2x+2y+z—1=0,可知切平面的法向量为(2,2,

1).又由z=x'十，可得曲线切平面的法向量(Zy‘，zy,一l)=(2x,2y,-1).令

(2x,2y,-1)11(2,2,1),解得x=—l,y=—1,代入z=x2+y2,解得x=2.所

以，P点坐标为(一1,一1,2).

2、设平面方程为Ax+Cz+D=0,其中A,C,D均不为零，则平面()

A、平行于x轴

B、平行于y轴

C、经过x轴

D、经过y轴

标准答案：B

知识点解析：平面Ax+Cz+D=0的法向量n=(A,0,C),易见n_Lj.而j是xOz平

面的法向量，故该平面与二xOz平面垂直.又因为D#),它不过原点，从而与y轴

平行(但不经过y轴).应选B.

3、已知向量◎的始点A(4,0,5),1=27,相的方向余弦为

312

cosa=»cosR="T=:«COS/=—

v14,14则B的坐标为()

A、(10,一2,1)

B、(―10,—2,1)

C、(10,2,1)

D、(10,一2,-1)

标准答案：C

工-4口v2-5

cosa=——»cos8=­5=»cosy——=.

2/IT2/U2/14

312

由于cosa=-7zz.cosfl=-=»cos/--.......-

知识点解析：设B(x,y,z),则&&所以x一

4=6,y=2,z—5=—4,即知x=10,y=2,z=l.

=1<

JT-5

双曲线L=。

4、绕z轴旋转而成的曲面的方程为()

乂_)=

1

A、45

B、45

Cr+y)2一六=

C、45

^一G+z)」=]

D、45

标准答案：A

知识点解析：xOz面上曲线C：f(x,z)=0绕z轴旋转而成的旋转曲面方程为

/(±GT7，z)=o,即知苧一。=1绕z轴旋转而得的旋转曲面方程为:勺金-2=1.

5、已知等边三角形AABC的边长为1,目BC=a,CA=b,AB=u则a.b+b.c+c.a=

()

1

A、2

2

B、3

C、%

一旦

D、2

标准答案：D

知识点解析:a.b=IaIIbIcos(aAb),而IaI=1,IbI=1,

G)=学如图】.4.1所示)，从而a.b-/类似地可得，…一*.a=T,所以应

选D.图1.4-1

6、过点P(2,0,3)且与直线13z+5v—2z+l=0垂直的平面的方程是()

A、(x-2)—2(y—O)+4(z—3)=0

B、3(x—2)+5(y—0)—2(z—3)=0

C、—16(x-2)+14(y—0)+11(z—3)=0

D、-l6(x+2)+14(y-0)+1l(z-3)=0

标准答案：C

知识点解析：所求平面兀的法向量n可取为已知直线的方向向量s=(l,—2,

4)x(3,5,-2)=(-16,14,11).故兀的方程为一16(x-2)+14(y-O)+U(z—

3)=0.

7、已知a=QA=QB且a与b不平行，则以OA、OB为邻边的平行四边形

□OACB的对角线OC上的一个单位向量为()

a+b

A、a+bI

_O_4_-L

B、\a\b

C、(陶+义)/5。

(岛+a,b

D、laL161

标准答案：A

知识点解析：由向量加法运算的几何意义，以a、b为邻边的平行四边形对应的对

角线向量为a+b,故它的单位向量为向m应选A.

Ia|=1,|。|=々，且=子

8、已知4,则|a+bI=()

A、1

B、1+G

C、2

D、/

标准答案：D

a+b2=(a+b)•(a+b)=|a12+2a•b+|b-=1+2|a11b1

cos(aCb)4-2=34-2X1X72=5,从而|。+6|=乃.

知识点解析：应选

D.

9、曲线X，y2+z2=a2与x2+y2=2ax(a>0)的交线是()

A、抛物线

B、双曲线

C、圆

D、椭圆

标准答案：C

知识点解析：乂2+/+?2=a?表示球心在原点、半径为a的球面，而x，y2=2az表示顶

点在原点、开口向上的旋转抛物面，即可知它们的交线是圆.应选C.

产+33+2z+l=0,

10、设直线L为Li-？-10z+3=0平面兀为4x—2y+z—2=0,则()

A、L平行于兀

B、L在冗上

C、L垂直于兀

D、L与兀相交但不垂直

标准答案：C

iJA

f=132=(-28,14,-7)

知识点解析：直线L的方向向量为2-1-10平面兀的法向量

为n=(4,—2,1),因此s与n平行，从而直线L与平面兀垂直.故选C.

11、曲面]'+/卜邕=4上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为

()

A、48

B、64

C、36

D、16

标准答案：B

知识点解析：曲面,+/+J=4上任一点p(x,y,Z)处的法向量为

/_2t2T2-]\

13”"3/在点P(x,y,z)处的切平面方程为

4(X—1)+y2(Y-y)+片—(Z—z)=0.

令丫=Z=gXu=4,♦令X=Z=gY<,=4y+,令X=Y=O=>Zo=4z+，于是

+=16X(/+/+』)=64.

12、设a,b,c为非零向量，则与a不垂直的向量是()

A、(a.c)b一(a.b)c

C、axb

D、a+(axb)xa

标准答案：D

知识点解析：因3i・b=O・.对于A,a.[(a.c)b—(a.b)c]=o；对于B,a.

o；

,10_对于C,a.(axb)=0；对于D,a.[a+(axb)xa]=IaIVo,所以答案选

择D.

x=1,

+rz+l_y+l_z-l

13、与直线z=l+c及直线1一2一1都平行，且过原点的

平面兀的方程为()

A、x+y+z=O

x-y+z=O

C、x+y-z=0

D、x-y+z+2=0

标准答案：B

知识点解析：设L|的方向向量为S[,L2的方向向量为S2，平面兀的法向量为n,

••■

/t=f>X«:=011=—《i—J+A).

则nJ_si，121又因平面过原点，故答案选择B.

£x—2_yl1_z—3

14、直线：2—1一1与平面兀：x-y+2z+4=0的夹角为()

A、n

K

B、7

C、T

n

D、7

标准答案：C

知识点解析：由题设知直线L的方向向量为s=(2,1,1),平面兀的法向量为

sin<p—故号="?

n=(l,—1,2).设直线L与平面开的夹角为<p,则'lJ,，|wl26

选C.

任+幺_工=1,

416十45

Lt-2z+3=0在平面xOy上的投影柱面方程是()

15、曲线

A、x2+20y2-24x-l16=0

B、4y2+4z2--12z-7=0

x2+20,—24x—116=0,

C、Q=。

+4幺-12z-7=O，

D>lx=0

标准答案：A

知识点解析：投影柱面方程是一个关于x,y的二元方程，仅A入选.事实上，B

中方程中含z不可能是L在平面xOy上的投影的柱面方程，而C,D中方程表示曲

线.

16、曲面右+打+正=>0）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截

距之和为（）

A、a

B、石

C、0

D、12G

标准答案：A

令F（N,y,z）=+A+4-右，则

凡=—^―,匕=—i-,/\=—.

知识点解析：'2G'262丘曲面上任意一点Po（xo，yo，zo）处的

切平面方程为

—-Xo）4--7=（^—>o）+=-=°，

2yfri2y/yo2

即T=+f=+Y==q=+%+光=向+G+宿=石，也即-^二+方=・

-Lz=1,故三个坐标轴的截距之和为

Vazo

/az^+-/ay^++Vyo+>/«o）=Va,7a=a.

二、填空题（本题共74题，每题1.0分，共14分。）

17、设A=2a+b,B=ka+b,其中IaI=1,IbI=2,且a_Lb.若A1B,则

k=.

标准答案：一2

知识点解析：由于A1B,故有(2a+b).(ka+b)=0,又因a_Lb,所以即可得2klai

2+IbI2=0,2k+4=0.k=-2.

18、点(-1,2,0)在平面x+2y-z+I=0上的投影为.

标准答案:\333)

知识点解析：过点(-1,2,0)且与平面x+2y—z+l=O垂直的直线为

1£±1=±

12一「它和平面的交点应满足方程组

x+2y-z4-l

*+1_y_2

-i2

19、点(1,2,1)到平面.x+2y+2z-13=0的距离是____

标准答案：2

知识点解析：点(I,2,I)到平面x+2y+2z-13=0的距离

d=I1+2*2+2X1-13|=@=2

=/一+22+2FI•

20、己知川=2，"|=2,(。的=也则通/的模lul=

标准答案：2#

知识点解析：IuI2=u.u=(2a—3b)=4Ia2—6b.a—6a.b+9IbI2=4IaI2—

ocos-5•v

12a.b+9Ib|2=4x4—12IaIIbI3+9x4=16-12x2x2xz+36=28^W

IuI=728=2>/7.

21、过三点A(l,1,-1),B(-2,-2,2)和C(l,—1,2)的平面方程是

标准答案:x一3y-2z=0

知识点解析：所求平面法向量可取为

—疝X衣7-3.-3,3)X(。,-2,3)=(-3,9,6)。-2,3)=(39,6),或取

n=(l，-3,—2).又平面过点(1,1,-1),从而所求平面方程为(x—l)-3(y—

1)-2(z-4-l)=0.即x-3y-2z=0.

22、三平面x+3y+z=l,2x一y-z=0,-x+2y+2z=3的交点是________.

标准答案：(1,—1,3)

z+3y+z=1,

«21-y-z=0,

知识点解析：只需求解三元一次方程组2y+2z=3.容易解得：x=i,y=-l,

z=3.

23、xOz坐标面卜.的抛物线z2=x—2绕x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是

标准答案：y2+z2=x-2

知识点解析：xOz面上曲线f(x,z)=0绕z轴旋转而得的旋转曲面方程为

，(工，土=0.

24、设a=(3,—5,8),b=(-l,1,z),Ia+bI=Ia-bI,则z=.

标准答案：1

a+b=(2.-4,8+z),a-b=(4.-6,8-z).|a+b|=7204-(84-z)2

知识点解析：।。-力।=752+(8-t)1.由।

a+bI=Ia-bI知，20+(8+z)2=52+(8-z)2,得z=L或者由Ia+bI=Ia-bI知

a，b(其几何意义是，a+b表示以a,b为邻边的平行四边形的一条对角线向量，而a

一b则表示另一条对角线向量.两对角线长度相等的平行四边形必是矩形，故可知

alb),a.b=0,由此可得一3-5+8z=0,亦得z二L

25、向量a=(4,—3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影为

标准答案：2

PM=IaIcos(o?W=1aI

Ia11Ib\

=4X2.3X2+4X1=色=2

知识点解析：3'

26、已知向量a=(2,—I,一2),b=(L1,z),则使a和b的夹角(aAb)达到最小

的z为.

标准答案：一4

cos(a^)=「牯丁=三=士2

知识点解析：°"""要使g「b)达到最小，则应

使cos(a76)达到最大•故问题成为求函数/(%)=/二2(的最大值点.令

，/2+J

=0,

即2(2+Z2)+(1-2Z)Z=0,

即得z=-4.

27、已知^ABC的顶点坐标为A(l,2,1),B(l,0,1),C(0,1,z),则当

z=时，z^ABC的面积最小.

标准答案：1

AB=(0.-2*0)=—2j»AC==—/—/+(z—1)4.

ABXAC=-2jX[-i-j+(z—Di]——2(z-1)1—2i,

所以S&BC=j|ABX4C|=|一[2"-：)了:2?二|-l)，+4.

知识点解析：故当z=1时,Sy达到最小值•

28设a,b,c的模IaI=IbI=IcI=2,且满足a+b+c=0,则

a.b+b.c+c.a=.

标准答案：一6

知识点解析：(a+b+c).(a+b+c)=IaI2+IbI2+IcI?+2a.b+2b.e+2a.c,因为

a+b+c=O,故有IaI2+IbI2+IcI2+2(a.b+b.c+a)=0,

Ia|—|b|2+|c|

a•b-^-b•c-f-c•a=-

*=l+2zrl

29、过直线b=l+3f且和点(2,2,2)的距离为僧的平面方程是

标准答案：5x—y—z—3=0或x+y—z—1=0

x=1+，，

<y=1+2八

知识点解析：已知直线'Z=】+3J的一般式方程为

口一1=2(x—1),产工一y-1=0,

L-1=3(X-1),Lz-z-2=0.显然平面3x・z—2=0不符合题意，可设过该直线的

平面束方程为如(2+3A)x-y—XzX(l+2兀)=0,由点(2,2,2)到软的距离为

方得

I2(2+3小一2二2入一《1十义)|=工，

42+3K+1+*而'化简得入2=1,X=±l.当hl时、对应一个平面

码：5x一y—z—3=0；当入=1时，对应另一个平面&：x+y—z—1=0.

30、曲面z-e"+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程为.

标准答案：2x+y-4=0

知识点解析:令F(x,y,z)=z—ez+2xy—3,则

=4，”"同…=2,*,y句3=0,所以，切平面的法向量为

(4,2,0),由点法式得出切平面的方程为2x+y-4=0.

三、解答题(本题共73题，每题分，共13分。)

L产y+3z-5=0,

31、求直线1-23—2+7=。在平面兀：a—y+3z+8=0的投影方程.

标准答案：先求出一平面兀］,使它过直线L垂直于平面兀.设直线L的方向向量

为s,平面TI\的法向量为由，平面兀的法向量为n,则nils,njln,而

$=023=4i+3J-2h

1-2-1

iJ氏

则“i=sXn=43—2=7(i—2j—i).

I-13下面再求出L上的某点

坐标，为此，在方程1一2厂/+7=0'中令*=0,得y=4,z=-I,则平面兀1过点

(0,4,—I).干是其方程皿为X—0—2(y—4)一(升1)=0,即x—2y—

z+7=0.因直线L在平面兀上的投影既在平面兀上，又在平面兀1上，因而其方程为

产-y+3z+8=0

Ix——z+7=0.

知识点解析：暂无解析

£215=XZ11=2+1绕直线L：1

L：

32、求直线235=3旋转一周所产生的曲面方

程.

标准答案：设点Mo(xo,yo,z0)为直线L上一点，当直线L绕L]旋转时，点Mo

旋转到点M(x,y,z),此时有

「工卬(D

2128

l(x-2)+(y-3)=(z0-2)+(^-3).

又因=也甘=zo+1,即一:'由此式得到

[s5=3々+4,

f(Zo-2):=(2to+3)8.,

1(%—3)2=(3与+1)工将式

②代入式①，得到(x-2)2+(y-3)2=(2Z+3)2+(3Z+1)2,即x2+y2-13z2一4x—6y

-18z+3=0.

知识点解析：暂无解析

设曲线L是抛物柱面x=2y2与平面x+z=l的交线.

33、求曲线L在各个坐标平面上的投影曲线；

标准答案：因抛物柱面x=2y2的母线平行于z轴，或x=2y2就是该交线L关于xOy

坐标平面的投影柱面，因此，交线L在xOy平面上的投影是一条抛物线1=。,平

面x+z=l可以看成母线平行于y轴的柱面，故x+z=l就是该交线L关于xOz坐标

+r=1.、

(x>0)

平面的投影柱面，因此，交线L在xOz平面上的投影是一条射线卜=°.

从方程x=2y2与x+z=l中消去变量x,得2y2+z=l,它就是该交线L关于yOz平面

的投影柱面，因此，交线L在yOz平面上的投影是一条抛物线

知识点解析：暂无解析

34、求曲线L分别绕各个坐标轴旋转一周的曲面方程.

产=2六L：『序30)

标准答案：因曲线L't+z=】的以x为参数的参数方程为则曲

线L绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为'+*=2"+"-"?因曲线L的以y为参

数的参数方程为［*3,则曲线L绕y轴旋转周的旋，专曲面方程为x2+z2_4yL(l—

仔=2，，

2y29.因曲线L的以z为参数的参数方程为1=1-2'则曲线L

'x=1—

Ly=J.(l-Z).(Z4】)，

绕Z轴旋转一周的旋转加面方程为1=2

知识点解析：暂无解析

设有曲面S：2x2+4y2+z2=4与平面兀：2x+2y+z+5=0,试求

35、曲面S上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面兀平行：

标准答案：在曲面S上任取一点P(。q,Q,记F(x,y,z)=2x?+4y2+z2—4,则

dF=延'=83F=2

a工"az"’于是，曲面S在点P处的切平面为4ax—9+8r)(y—

n)+2C(z—Q=0，即2<x+4ny+Gz—4=0,因该切平面与平面兀平行，即其法向量

"=,♦或占巨£，t=&

n=20+4r|+Ck与n=2i+2i+k平行，2212把它们代入曲面

S的方程得&2口，9±1，于是，所求的点为与'CT)且它们

所对应的切平面方程分别为2x+2y+z-4=0与2x+2y+z+4=0,它们所对应的法线方

1.1

r-1y~2z-1+12_z±l

程分别为22I—2—27

知识点解析•：暂无解析

36、曲面S与平面兀的坡短距离.

标准答案：曲面S上点(x,y,z)到平面兀的距离4=孑，+2"-5|现欲求曲面

S与平面兀的最短距离，它等价于求函数f(x,y,z)=(2x+2y+z+5)2在条件

2x2+4y2+z2=4约束下的最小值的条件极值问题.构造辅助函数F(x,y,z,

兄=4(2,+2y+z+5)+Ur=0.

H=4(2j+2y+z+5)+8妙=0,

H=2(2x+2y+z+5)T2At—0.

X)=(2x+2y+z+5)2+X(2x2+4y2+z24),令月=2/+4,+/-4-0・解得其最

小值点为，(i一夕一)最大值点为PW+'I)故所求的最短距离为工

知识点解析：暂无解析

37、设A=(aij)>n是非零矩阵，R.IAI中每个元素aij与其代数余子式Aij相

等.证明：IAI#).

标准答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零

行，则IAI=aklAki+ak2Ak2+…+aknAkn=aki+ak2+…+akn>0

知识点解析:暂无解析

b

ab

计算D

ub

38、b

标准答案:

b

ba4-6b

ba+b

b

1b

1b

一”

0ab

10a-b

知识点解析：暂无解析

1+a111

1+

计算(a,#0,i=1,2,…，n)

39、1+a.

标准答案:

…+a・(aiR…%-2

=^axat-*ari4-aia2-ar.：alt4-a.fl.-iD..：

。1田…a.+।…+5S…2

+a11aLi…。11+。1)

=a"・a（l+舐）

知识点解析：暂无解析

0