考研数学（数学二）模拟试卷390

考研数学(数学二)模拟试卷390

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、下列无穷小中阶数最高的是().

A、ez-eranx

,MU*>

B、ln(l+2l)dt

C^In(l+x)—sin%

D、-1

标准答案：B

知识点解析：/一/畋=*/e"瞰-i)〜y_tan%.因为

lim二二位=limL=,9=_J_1

…〉一n3/23,所以6_/取〜_3济

「in、

Jo'2t)dtln(12sin2j-)sin2T14HL\八।d、」，■»

由hm-----------：----------=hm-------------j-------------=1•得ln(I+2Dd/〜才」；

x*J—o4.r,Jo

3

由ln(1+”)=x—+[+0(•/)»sinr-JT——：-f-oCj).得ln(l+x)—siru♦—%

乙JJ!乙

cos1—11，

\/cos.r-1=―；，---------〜——X'

■/cos-r-4-1

故选B.

2、下列命题正确的是().

A、若f(%)在xo处可导，则一定存在6>0,在I/-xoIV6内f(»可导

若f(%)在加处连续，则一定存在3>0,在I%—%()I<3内f(%)连续

/(4+♦%)

C、若四h存在，则f(%)在欢处可导

lim

D、若f(x)在勘的去心邻域内可导f(%)在刈处连续，且，存在，则政)在为0

lim

处可导，且？(%())=，•"f(%)

标准答案：D

知识点解析：令f(%=)

‘6Q'Mim/Cr)=。=〃。).—迎=隔四上®:

-/CR\Q.I…/I彳得政)在无

,,lim_

=0处可导(也连续).对任意的a=0,•“£(%)不存在，所以f(»在％=a处不连续，当然

也不可导，即％=0是f(%)唯一的连续点和可导点，选项A、B不对；令f(%)=

2,/=0,

{Jlim/(°+“)-f(0-h)/(0+人)一〃0一/

7・-TW°，显然一。h=0,因为h一心)

=0#(0),所以f(x)在％=0处不连续，当然也不可导，C项不正确；因为政)在加

处连续且在刈的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(x)-f(xo)=f(^)(x-xo)

/⑺一〃.丁)

或者一工一4一=「(？，其中自介于X0与2之间，两边取极限得

lim/(.')=lim/(f)=lim/'⑷

,・，nJ-XcT存在，即f(»在％0处可导，且「以0)

lim

=f「(»,故选D.

3、下列说法中正确的是O.

A、若?(%)<0,则f(%)在％o的邻域内单调减少

B、若f(%)在勘取极大值，则当代(助一3,加时，f(%)单调增加，当代(次，/o+3)

时，f(»单调减少

C、敢)在X0取极值,则故)在如连续

D、f(x)为偶函数，f〃(0)翔，则R%)在％=0处一定取到极值

标准答案：D

/f./sin.r#0,

知识点解析：f(%)=0.”二°。「(0)=-1VO,f(x)=-l+2xsin

11

----cos一247c4~

*rz,当％=2(kEN)时，f(x)>0=>f(z)®x=0的任意邻域内都不单

2—M(2十sin十卜J声0.

调减少，选项A不对;2.i=°叶(%)在1=0处取得

极人值，但其在％=0的任一邻域内皆不单调，选项B不对;

0<J1<1,

/(x)=S2.x=1•/(x)

2—彳，1V才V2,f(%)在％=1处取得极大值，但故)在％=1处

不连续；由f"(0)存在，得F(0)存在，又f(x)为偶函数，所以“0)=0,所以％=0

一定为f(%)的极值点，故选D.

4、设6>0,故)在(一，6)内恒有f"(%)>0,且lf(x)lw£，记I=L*Wd%,则

有().

A、1=0

B、1>0

C、K0

D、不能确定

标准答案：B

2

知识点解析：因为If(x)I<X,所以f(0)=0,由If(Z)I0,得OSI

/Q)一/(0)

।I<IxH由夹逼定理得f(o)=o.由泰勒公式得f(x)=f(o)+f(o)x+

/«)2=/〃(£)*

,其中自介于0与%之间，因为在(一3,B)内恒有f"(»>0,

“।fr(i)clr=!jclr一、

所以I=J32J->0,故选B.

5、设f有一阶连续的偏导数，且f(%+y，%—y)=4]£—xy—y2),则必收，y)+

yPyCoy)为()•

A、2%2-8炉一2y2

B、-22+8k一2y2

C、2/一3+2y2

D、-2/+3+2y2

标准答案：D

12

知识点解析：令％+y=u，/—y=v,则1=2(u+v),y=2(u+v),于是由f(%+

y，7—y)=4(x2—7y—y2),得f(u,v)=4uv—u2+v2,故f(x，y)=4/y—%2+y2,

如(X，y)+y「y(%，y)=%(4y—2%)+y(4/+2y)=-2p+8xy+2y2,选D.

6、设f(%)=7-3%+k只有一个零点，则k的范围是()•

A、IkI<1

B、IkI>1

C>IkI>2

D、k<2

标准答案：C

知识点解析：f(»为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只

有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零，由p(%)=3(£—1)=0,得驻点X

=±1,且由图形可知，％=—1，为极大点％=1为极小点，故f(-l)=2+kV0=>kV—

2,f(l)=-2+k>0=k>2,所以选C.

«>i由：d|.十2。八|10010-2

.p

A-an・Ba、ia.：小，十勿“•朽=;o010I0

io

生1a1001

41«•4::-42a:)0

.则B等于().

A、P]P2“A

B、APiPV1

C、P1AP2'1

D、Pf'AP]

标准答案：C

a”52a11J1()2'

PiAa..因为p1=010.所W

"22“21001

a”U\：ai-+2aM

PAPJ=-1«<<+2a”

知识点解析:«2ia223+2a21故选C.

8、设A,B为n阶方阵，令A=(ai，(12，…，an),B=(pi，仇，…，pn),则下列

命题正确的

A、若矩阵A,B等价，则向量组内，a2,...»a„,与向量组内，由，…，悦等价

B、若A,B的特征值相同，则A,B等价

C、若AX=O与BX=O同解，则A,B等价

D、若A,B等价，则AX=O与BX=O同解

标准答案：C

知识点解析：由A,B等价得r(A)=r(B),从而向量组ai，012，…ctn与向量组仇,

的，…饰的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不

选A；若A,B特征值相同，r(A)与r(B)不一定相等，从而A,B不一定等价，

20001-1

A=000・B=002

如：000002,显然A,B的特征值相同，但r(A)=

1^r(R)=2,故A.R不等价.不选H：若方程组AX=O与RX=O同解,则r(A)=

r(B),从而A,B等价，反之不对，应选C.

二、填空题(本题共6题，每题L。分，共6分。)

Iirn(cosJ-，/siru)、y

9、，“)*=.

标准答案：e

知识点解析：

lim(cos.z+jsinj-)；+(cos.r-I+.rsini)]“ii•…

j-*0

tt/'Mtn

=e"，T77T，

.

因为1一/口丁〜J.所以

w

con-1+isin.r..COSJ.—14-j-sin.z'../cos.r—1

im--------，…-.=Lolim------------------2olim----5---詈六1

「一-。]--,一)J….<-*<i\

故iim(cow+isiru)；片了=c.

10、已知函数z=u(%,yE^by,且.心=o.若2=也，y)满足方程

a'zi)zf)z

-,■一―

，"<y+z=(),贝i」a=,b=.

标准答案：a=l,b=l

知识点解析：

若―—―+•==0

贝lja=l,b=l.

J七+石)

11、设政)为连续函数，且/+y2+z2=J/f(%+y-t)dt,则\力3=

一L

标准答案：一一2「f(%)—f(y)]—(%+y)

r)Z

222y

知识点解析：X+y+z=fzf(x+y—t)dt两边对％求偏导得2%+2z，1=f(%).再将

X2+y2+z2=Ixyf(x+y—Odt两边对y求偏导得2y+2z=f(y)两式相加得z

/七+七)=-1

I*\v2[f(x)-f(y)]-(x+y).

1,r—a(l-•sin/)•

12、摆线[y=a(l(、w)(a>0.0SS2兀)绕无轴旋转一周所成曲面的表面积为

64

标准答案：

知识点解析：对以，/+dy]U[o,2Tia],ds=2兀,于是s=

f-M『一-----------?-------

5=|2nyvI+y；d,r=2KJa(1—cos/)-Ja(1—cos/)'+sin-zd/

=2y/2na2(1—cos/.d/=2、/|(1—cos/)*d/

JJir

=32^£sin^d(1)=誓.

13、微分方程x/=Gy+y(x>0)的通解为

标准答案：arcsin”=lnz+C

知识点解析：由*'=/尸=丁+y得

匕一，/二4一土二或2y.

di/，令11=]则u+x

du=

dT'

，解得arcsinu=ln%+C,原方程的通解为

arcsin*r=In%+C.

14、设A为三阶矩阵，其特征值为入|=一2,七=入3=1，其对应的线性无关的特

征向量为川，a2a3,令P=(4a],(12—(13,012+2(x3),则P“(A*+3E)P为

1

标准答案:

知识点解析：因为A的特征值为人]=-2,入2=入3=1，所以A*的特征值为>1]=

1,|12=N3=—2,A*+3E的特征值为4,1,1,乂因为4ai，aa—as，a2+2a3也

为A的线性无关的特征向量，所以4囚，a2-a3,(X2+2a3也是A*+3E的线性无关

4

P'(A，+3E)P=1

的特征向量，所以1

三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)

niin

15、设f(x)二阶可导，且f(O)=f(l)=O,，50彳(劝=-1.证明：存在乐(01)，使得

f〃(正8.

min

标准答案：因为。〈田故)=一1,所以存在c£(0,I),使得，f(c)=-l且f(c)=0,

/(0)=/(<)+)4-与衿,，&6«)•<)

/(1)=/(c)+/*(<•)(1-r)+(1-£(«・1)

由勒公式得整理得f〃

©尸小G=占.当小扑7巨8,取卡

号；当比.丁1)时'，8-(1一个次,取自=及，故存在年(0,1),使得「

(尖8・

知识点解析：暂无解析

]—♦一2

16、求不定积分J•-(1+r)

I___---------/二.文(esc2/—1)'df=esc1/(!/-2[esc*/d/+t

Jx^l+.r)JJ

=-j(cot2r+1)d(cotz)+2cot/+t

=—。。1'，+cot/+/+C

--------H+arctan.i-4-C.

标准答案：3/1

知识点解析：暂无解析

17、求曲线y=-£+l上一点P(%o,yo)(其中加押)，使过P点作抛物线的切线，

此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小.

标准答案：切线万程为y=-2沈%+次)2+1,令y=0,得切线与无轴的交点为

(JTo4~--)1

A(2八，0),令％=0,得切线与y轴的交点为B(0,1+助2).1)当加>0

Li+1_)

时，因为2竟>o,所以所同成图形面积为

+2xo+L—f（―+Ddx=+2x0+L一4,

4XuJu4J*oJ

因为亲

>0,所以当心~—

,所围

成的面积最小，所求的点为P(63)2)当勘<0时，因为/人"X)V0,所以

所围成的面积为

S=-+2.r.»+」)一[(一./-bl)dj=2

4J\>Ji3

令=..—(+2---k)=。.得J'..—，

d.rt5I.r6y/3

因为驶>。.所以当人=一右时.

dw：%/3

所

-J-.2

围成的面积最小，所求点为^3)

知识点解析：暂无解析

18、设f(x)在［0,a］上一阶连续可导，f(0)=0,在(0,a)内二阶可导且f"(%)>

n口日［^/(J)d.r>y［/Q)ch

0.证明：J”dJ”

标准答案：

令中(1)j*|/(/)d/.^(0)=0.

/(.r)=才/(1)一3'/(八山一,/(八=右/⑺一打/⑺山・/(0)=0.

/（j）=]/Q）+fQ）一，八力=一：[/（1）一“'（】>>

3s•$J

--"，门=一（6（0<e<.r）.

3，

因为f"(%)>0，所以f(x)单调增加,故式&)<?(乃，于是(X)>O(OVx<

S(o)=o.

由得4(彳)>0(0<.r<a),

/z(j)>0(0<.r<a),

I^(0)=0・

再由j得9(jr)>0(0V才&a)♦

a).>0(0<.r于是由(p(a)

>0,故JR”疝>红八也

知识点解析：暂无解析

,—,—do

19、计算二重积%十y,其中积分区域D={%,y)I

标准答案：

\n(y+J£+『))>必

=ln(1+a)—j1n(J*+1r+i)d.r

+1舟冲

=ln(l+J?)-/In(1十Ml4-J12)

二L;走=>/2-1.

知识点解析：暂无解析

20、设u=f(£+y2,双，由人+©丫=©7确定，其中f二阶连续可偏导，求其内.

标准答案：由e%+6y=ez得

2涉»*.再由U=f(/+y2,%z)得

弁=2力"卜+工//.

蒜=2《2M,+帝[)+僚+工需加+卜+哨(2m+工既)

=2x(2^,+^^)+5-ie-，)/；+&+*，*)(2丁%+工？)

=4Q/1I+(2/C-+2A+2叱。一)/；2+(『'-入~2)/+口=(z+/c'')/2.

知识点解析：暂无解析

21、求微分方程y"+y，一2y=%e，+sin2%的通解.

标准答案：特征方程为#+九-2=0,特征值为3=-2,12=1，y"+y'—2y=0

的通解为y=Ce2，+C2e*,设y〃+y'—2y=%/(*)y"+yJ2y=si->(**)令(*)

的特解为yi(X)=(a/+bx)e，，带入(*)得“―6一§由y"+/—2丫=3|?%得

1±1

y"+y,—2y=2(1—cos2%),显然y"+y，-2y=2有特解y=—4对y"+y-2y

JLA=—,13———

=-2COS2X»令其特解为y=Acos2%+Bsin2%,带入得4040,则yz=

T+一-n27所以原方程的通解为

3=Ge*+C*+伟—-y)cJ—J+^rcos2x--^-sin2r.

\t>y/44040

知识点解析：暂无解析

22、设矩阵A满足A(E-C"B)Tc'r=E+A,其中B=

0—134

00)3

002।求矩阵A.

标准答案：由A(E-CdB)TCT=E+A得A[C(E-C/B)]T=E+A,即E+A=A(C

-B)T,E=A[(C-B)-E]T,而(C—B)T—E

1

・■■01