考研数学一(线性代数)模拟试卷121(题后含答案及解析)

考研数学一(线性代数)模拟试卷121(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设A是n阶矩阵，则|(2A)*|二

A.2n|A*|.

B.2n-l|A*|.

C.|A*|.

D.|A*|.

正确答案：C

解析：|(2A)*|=|2A|n-l=(2n|A|)n-l=2n(n—l)|A|n—l=2n(n—1)|A*|.或利用

(kA)*=kn-lA*,那么|(2A)*口2n—1A*|=(2n—l)n|A*|=|A*|.故应选(C).知识

模块：线性代数

2.

A.AP1P2.

B.AP1P3.

C.AP3Pl.

D.AP2P3.

正确答案：B

解析：把矩阵A的第2列加至第1歹ij,然后第1,3两列互换可得到矩阵B,

A表示矩阵A的第2列加至第1歹U，即API,故应在(A)、(B)中选择.而P3-表

示第1和3两列互换，所以选(B).知识模块：线性代数

3.向量组al,a2,…，as线性无关的充分必要条件是

A.a1,a2,…，as均不是零向量.

B.a1,Q2,…，Qs中任意两个向量的分量不成比例.

C.aI,a2,…，as,as+1线性无关.

D.a1,a2,…，as中任一个向量均不能由其余s—1个向量线性表出.

正确答案：D

解析：(A),(B)均是线性无关的必要条件.例如，a1=(1,1,1)T,a2=(1,

2,3)T,a3=(2,3,4)T,虽al,a2,a3均为非零向量且任两个向量的分量

都不成比例，但Q1+a2—Q3=0,a1,a2,Q3线性相关.(C)是线性无关的

充分条件.由。1，a2,…，as,as+1线性无关al,a2,…，aS线性无关,

但由al,a2,…，as线性无关al,a2,…，as,as+1线性无关.(D)是

线性相关的意义.故应选(D).知识模块：线性代数

4.设n维向量al,a2,­••,as,下列命题中正确的是

A.如果al,a2,…，as线性无关，那么al+a2,a2+a3,•••,as

—1+aS,as+a1也线性无关.

B.如果al,a2,…，as线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关.

C.如果al,a2,…，as线性相关，A是mXn,非零矩阵，那么Aa1,

AQ2,…，Aas也线性相关.

D.如果al,a2,…，as线性相关，那么as可由a1,a2,…，as—1

线性表出.

正确答案：C

解析：(A)：当s为偶数时，命题不正确.例如，a1+a2,a2+a3,a3+

a4,。4+。1线性相关.(B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可

以不一样，因而线性相关性没有必然的关系.例如，Ql,Q2,…，QS与al,

a2,…，as,0等价，但后者必线性相关.(C):因为(Aal,Aa2,…，Aa

s)=A(a1,Q2,…，as),于是r(Aal,Aa2,…，Aas)=r[A(a1,a2,・••，

as)]Wr(a1,a2,…，as)<s,所以，Aa1,AQ2,…，Aas必线性相关.故

应选(C).(D)：要正确理解线性相关的意义.知识模块：线性代数

5.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是，则自由变量不能取

成

A.x4,x5.

B.x2,x3.

C.x2,x4.

D.xl,x3.

正确答案：A

解析：自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定.如果选择

x4,x5,对应齐次方程组写作显见把x4,x5当作参数时，xl,x2,x3不是唯一

确定的.因此x4,x5不能唯一确定xl,x2,x3,它们不能取为自由变量.选(A).知

识模块：线性代数

6.设入=2是可逆矩阵A的一个特征值，则(1/3A2)—1+E的一个特征值

是

A.7/3.

B.1/3.

C.7/4.

D.5/2.

正确答案：C

解析：如Aa=入口，则[(1/3人2)—1+以。=3(人-1)2。+。当入=2时，知(1

/3人2)—1+£有特征值7/4.选(C).知识模块：线性代数

7.二次型xTAx正定的充要条件是

A.负惯性指数为零.

B.存在可逆矩阵P,使P—1AP二E.

C.A的特征值全大于零.

D.存在n阶矩阵C,使人二(27

C.

正确答案：C

解析：(A)是正定的必要条件.若f(xl,x2,x3)=x12+5x32,虽q=0,但f

不正定.(B)是充分条件.正定并不要求特征值全为1.虽A二不和单位矩阵E相

似，但二次型xTAx正定.(D)中没有矩阵C可逆的条件，也就推导不出A与E

合同，例如C=,A=CTC=，贝UxTAx不正定.故应选(C).知识模块：线性代数

填空题

8.设A=,则|2A—1|二.

正确答案：一4

解析：用|kA仁kn|A|及|A-1|=1/|A|,可知|-2A-l|=(-2)3|A-l|=-8.1/

|A|,又|A|=2,从而|—2A—1|=—4.知识模块：线性代数

9.设A是n阶矩阵，满足A2—2A+E=0,则(A+2E)—1=.

正确答案：1/9(4E—A)

解析：由(A+2E)(A—4E)+9E=A2—2A+E=0有(A+2E).1/9(4E-A)=E.所

以(A+2E)-1=1/9(4E-A).知识模块：线性代数

10.设A2-BA=E,其中A=,则B=.

正确答案：

解析：由于BA=A2-E,又A可逆，则有B=(A2-E)A—1二A—A—1.故知

识模块：线性代数

11.若8=(1,3,())T不能由a1=(1,2,1)T,a2=(2,3,a)T,a3=(1,

a+2,-2)T线性表出，则a=.

正确答案：一1

解析：B不能由al,a2,a3线性表出方程组xlQ1+x2a2+x3Q3=B无

解.乂因为a=-l时方程组尢解，所以a=-1时B不能由a1,a2,a3线性表

出.知识模块：线性弋数

12.已知A=且AXA*二B,秩r(X)=2,则a=.

正确答案：0

解析：由A可逆,知A*可逆,那么r(AXA*r(X),从而r(B)=2,|B|=0.于

是=0.知识模块：线性代数

13.已知al,a2,。3与Bl,82,B3是三维向量空间的两组基，且B

1=a1+2a2—a3,32=a2+a3,B3=a1+3Q2+2a3,则由基al,a2,a3

到基Bl,02,B3的过渡矩阵是_______.

正确答案：

解析：由于(Bl,B2,B3)按过渡矩阵定义，知由02,。3到El,

32,B3的过渡矩阵是知识模块：线性代数

14.已知方程组总有解，则入应满足.

正确答案：W-4/5

解析：对任意bl,b2,b3,方程组有解r(A)=3|A|#0.而由=(5入+4)(入-1)

W0,可知入W1且入=一4/5.知识模块：线性代数

15.己知al,。2,…，at都是非齐次线性方程组Ax=b的解，如杲cl

al+c2a2+…+ciat仍是Ax=b的解，贝I」cl+c2+…+cl=.

正确答案：1

解析：因为ai是Ax=b的解，所以，Aai=b.若cla1+c2a2+…+ctat是

Ax=b的解，则A(cla1+c2a2+…+ctat)=c1Aa1+c2Aa2+…+ctAat=(cl+c2+…

+ct)b=b.故cl+c2+…+ct=l.知识模块：线性代数

16.设A是n阶矩阵，r(A)Vn,则A必有特征值___,且其重数至少

是.

正确答案：入=0；n—r(A)

解析：r(A)<|A|=0X=0必是A的特征值.由r(A)<nAx=0有非0解.设n1,

n2,…，qn—r(A)是Ax—0的基础解系，贝UAqj=0=0qj,即2,…，

n—r(A))是人=0的特征向量.因此入=0有n—r(A)个线性无关的特征向量.从而

人=0至少是矩阵A的n—r(A)重特征值.注意：k重特征值至多有k个线性无关

的特征向量.知识模块：线性代数

17.设A是3阶矩阵，且各行元素之和都是5,则A必有特征向量__.

正确答案：

解析：因为各行元素之和都是5,即知识模块：线性代数

18.设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2-2x1x3+4x2x3是正定二次型，则

te.

正确答案：(一4/5,0)

解析：二次型矩阵顺序主子式△1=1,A2==l—12>0,△3=|A|=—5t2—4t

>0,所以t£(—4/5,0).知识模块：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演靠步骤。

19.若行列式的每个元素都加1,则行列式值的增量为所有代数余子式之

和.

正确答案：设原来行列式的列向量依次为a1,a2,…，as,记B=(l,1,…，

1)T,则改变后的行列式为|a1+B,a2+B,…，as+S|.对它分解(用性质⑤，

先分解第1歹U,分为2个行列式，它们都对第2列分解，成4个行列式，…)分

为2n个行列式之和，这些行列式的第j列或为8,或为aj,考虑到当有两列为

B时值为0,除去它们，a2+B,…，QS+B|是n+1个行列式之和，

它们是：恰有1列为6,而其它各列都不是(这样的有n个)，还有一个是|。1,

a2,…，as|即原来行列式.于是|a1+B,Q2+E,…，as+3|—|a1,a2,…,

as|涉及知识点：线性代数

20.设A,B均为n阶矩阵，E+AB可逆,化简(E+BA)[E—B(E+AB)—IA].

正确答案：(E+BA)[E-B(E+AB)-1A]=E+BA-B(E+AB)-1A—BAB(E+AB)

-1A=O+BA-B(E+AB)(E+AB)-1A=E+DA-BA=E.涉及知识点：线性

代数

21.证明al,a2,…，Qs(其中Q1W0)线性相关的充分必要条件是存在

一个ai(lViWs)能由它前面的那些向量a1,a2,…，Qi—1线性表出.

正确答案：必要性.因为al,Q2,…，as线性相关，故有不全为0的kl,

k2,…，ks,使kla1+k2a2+…+ksas=0.设ks,ks—1,…，k2,kl中第一个

不为。的是ki(即ki#O,而ki+l=・・=ks—l=ks=O),且必有i>1(若i=l即klWO,

k2=-=ks=O,那么kla1=0.于是a1=0与a1关0矛盾.),从而kla1+k2a2+・・・

+kiai=0,ki#O.那么Q亡一1/ki(kla1+k2a2+・・・+ki—1ai—1).充分性.设

有ai可用al,a2,­­•,Qi—1线性表示，则a2,…，ai—1,ai线性

相关，从而al,a2,…，as线性相关.涉及知识点：线性代数

22.当a,b取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有

解时，求其解.

正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有(I)当a#0,且bW3时，方程组

有唯一解(2/a,1,0)T.(11)当a=0时,b方程组均尢解.(Ill)当aWO,b=3时,

方程组有无穷多解(2/a,1,O)T+k(O,-3,2)T.涉及知识点：线性代

数

23.已知A=,A*是A的伴随矩阵，求A*的特征值与特征向量.

正确答案：因为二B—E,而r(B)=l,则有|人E—B|=人3—6入2.所以矩阵B

的特征值是6,0,0.故矩阵A的特征值是5,-1,-1.又行列式|A|=5,因此

A*的特征值是1,一5，-5.矩阵B属于入=6的特征向量是Q1=(1,1,1)T,

属于人=0的特征向量是a2=(—l,1,())T和a3=(—l,0,1)T.因此A*属于入

=1的特征向量是klal(klWO),属于入二-5的特征向量是k2a2+k3a3(k2,k3

不全为0).涉及知识点：线性代数

24.已知人1,入2,入3是A的特征值，