考研数学一（矩阵）模拟试卷8

考研数学一（矩阵）模拟试卷8

一、选择题（本题共7题，每题7.0分，共7分。）

1、两个4阶矩阵满足A?=B2,则

A^A=B.

B、A=­B.

C、人=8或4=—B.

D、|A|=|B|或|A|=—IBI.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

2、设A是3阶矩阵，将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的一1倍加

110

010

到第2列上得C.P=L。01」则c=().

A、P」AP.

B、PAP'1.

c、PTAP.

D、PApT.

标准答案：B

知识点解析：根据初等矩阵的有关性质，

1101rl-10-

8=0104,C-B010.

L001」Lo01」则B=PA,C=BP/，得C=PAP".

3、设A为3阶矩阵，P=（ai，a2，。3）为3阶可逆矩阵，Q=（ai+（X2，。2，«3）.已

100-

010

知pTAP=L002,则QTAQ=（）.

210-

110

A、1。02-

110-

120

B、。02-

■20r

01o

c、Lo0

2-

10o-

020

、。

DLo2-

标准答案:A

知识点解析：显然关键是Q和P,的关系.由矩阵分解，有

•100'-110-

Q=尸110,则Qr010PT,

-001-•001-

0irioO'

于是0p1AP1I0

L001」LQo1-

11o-irl00-|r100qr210-

010010110=110

001"002-11-001」Lo0

4、设A是3阶可逆矩阵，交换A的1,2行得B,则

A、交换A*的I,2行得到B*.

B、交换A*的1,2列得到B*.

C、交换A”的I,2行得到一B".

D、交换A’的1,2列得到一B*.

标准答案：D

0I0-

100A.

知识点解析：B=-001-因为A是可逆矩阵，所以B也可逆，则B*=|

01001O-

|B|=100\A||A|,8"=A"100.

I。0I」于是B*=

BIB1.001

-01o-

100.

_A*LOoi-得结论：交换A*的1,2列得到一B”.

5、设矩阵A=(aij)3x3满足A*=A、a”ai2,ag为3个相等的正数，则它们为

A、03.

B、3.

C、1/3.

D、叵

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

6、设A,B,C都是门阶矩阵，满足B=E+AB,C=A+CA,则B—C为

A、E.

B、-E.

C、A.

D、一A.

标准答案：A

知识点解析：由B=E+AB得(E—A)B=E,由C=A+CA得C(E—A)=A,则

C(E-A)B=AB,得C=ABB—C=E+AB—AB=E.

7..A和B都是n阶矩阵.给出下列条件①A是数量矩阵.②A和B都可

逆.(3)(A4-B)2=A2+2AB+B2.④AB=CE.®(AB)2=A2B2.则其中可推出

AB=BA的有()

A、①②③金⑤.

B、①③⑤.

C、①③④.

D、

标准答案：D

知识点解析：①和③的成立是明显的.②是不对的，如

0

则:1'BA)

-1°J④AB=cE,在存0时可推出AB=

ttlA=[°B=f1°],

looJlo0」

则AB=：[°°],BA=[°1],

BA,但是c=0时则推不山AB=BA.l00Jl00」

⑤(AB)2=A?B2推不出AB=BA.对于④中的A和B,(AB)2和A?B2都是零矩

阵，但是ABrBA.

二、解答题(本题共33题，每题1.0分，共33分。)

1010■202'

020020040

标准答案：先求A?.A2=L101」L10L202」=2A.A2=2A即

AA=2A,A在乘A上的作用相当于2乘A,于是An=An/A=2n"A.

知识点解析:暂无解析

01On2017

01

13、求0-I0-

标准答案：记此矩阵为

0I01-101'

A1010-20

L0-10北0一!0-10—1-

r-100101■o-20■

M=0-20-1020-2=-2A.

I00-10J-020-

A.即A2A

2017

-2A,则A!(A2)1008A=(_2)1008A=21008A.

知识点解析•：暂无解析

1001

oi

14、设A=L。10」，⑴证明当n>l时An=A»2+A2—E.⑵求

标准答案：(l)An=An"+A2-E即An—AM2=A2—E.An-2(A2-E)=A2-E.只

要证明A(A?—E)=A?—.此式可以直接检验：

00-1ri0011001

2

4-E=i0i0010

-0o-L00」Lo01J

001001ro001

iooo00

o1」LO01Li00-

00100o-rooon

2

A(A-E)=10100100二屋-E.

LO0」L】00」00」⑵把An=An-2+

A2—E作为递推公式求Aln是偶数2k时:A2k=A2k'2+A2—E=A2k-4+2(A2—

E)=.......=k(A2—E)+E.n是奇数2k+l时：A2k-1=AA2k=A[k(A2-E)+E]=

k(A2-E)+A.

知识点解析：暂无解析

-123110

012.

15、求L。0I-

023-

002

标准答案：记此矩阵为A,记B=L。0。」，则人=13+£.因为B和E乘积可

10

y

交换，对A1°=(B+E严可用二项展开式：(B+E)lO=i・oCEB3.注意矩阵B满

004'

000

足：B?=LO00」，而当n>2时B11是零矩阵.于是AI°=CIO8B2+C]()9B+E

•120210-

0120.

=45B2+10B+E=*-001」

知识点解析：暂无解析

-210'

120

、阶矩阵满足其中

163A,BABA*=2BA*+E,A=L°°求IBI.

标准答案：用A从右侧乘ABA*=2BA*十E的两边，得IAIAB=2IAIB+

A,IAI(A-2E)B=A,两边取行列式IAI3|A_2EIIBI=IAI,I

]________1

B|=|A|2|A-2ET=V-

知识点解析：暂无解析

17、设A为3阶矩阵，山，(12，口3是线性无关的3维列向量组，满足Aai=ai+a2

+。3，Aa2=2ct2+a3，Aa3=2a2+3a3.求作矩阵B,使得A(ai，a2，a3)=(ai，

g,a?)B.

标准答案：由于ai，(X2，。3，线性无关，矩阵P=(ai，。2，日3)可逆，并且E=P一

-,_1-1T-,T

,(ai，a2,a3)=(Pai，Pa2,Pa3),则0,0),Pa2=(0,1,0),P-

%3=(0,0,1)T,于是B=p"AP=p/A(ai，ct2，as)=P'(ai+«2+«3»2012+03,

I0O'

I22

2a2+3a3)1I3-

知识点解析：暂无解析

18、A是3阶矩阵，a是3维列向量，使得P=(a,Aa,人2(1)可逆，并且A3(X=

3Aa-2A2a.(1)求B,使得A=PBP".(2)求IA+EI.

标准答案:(1)A=PBP"即AP=PB或A(a,Aa,A2a)=(a,Aa,A2a)B.A(a,

223222

Aa,Aa)=(Aa,Aa,Aa)=(Aa,Aa,3Aa—2Aa)=(a,Aa,Aa)

ro00'000-

03103

L

01-2-B=-0-2-(2)A+E=P(B+E)p/.则IA+EI=IPIIB

100

13

-1

+EIIP_1I=IB+EI0=-4.

知识点解析：暂无解析

19、设3阶矩阵A=（ai，a2，as),IAI=1,B=(ai+a2+a3，a]+2a2+3ct3,

ai+4（X2+9a3），求IB.

标准答案：B=(ai+a2+a.3,ai+2a2+3a3.ai+4a2+9a3)=(ai,a2»C13)

ri111

124.124

-139-1BI=1ap(12,41139=2.

知识点解析:暂无解析

b

iJ卜A6।+"JAC|♦

ac

2L2Aa2+汕zAb2+fic2AC2+p,a2

%c3入。3+汕3Ab3+fJLCyAC+

20、已知=3,求3

标准答案:记a=®,a2，@3）,，p=（bi，b2,b3）LY=（ci，C2，C3）T,所求行列式

相应的矩阵为：（入a+|i3,邛+卬，Xy+j.ia）.将它对（a,0,已做矩阵分解,得Qa

Aoa

〃40・

+邛，邓+“，W+M=(a,P，y)L°MA两边求行列式，得所求行列式的

A0/A

A0

值：I九a+邱，邓+叱Xy+pa|°〃4=3p?+/).

知识点解析：暂无解析

21、设A,B和C都是n阶矩阵，其中A,BnJ逆，求下列2n阶矩阵的逆矩

A

⑴：1-

0

B

C

叫:B

C

(4)

阵.B:1-

AI的逆矩阵可用

标准答案：因为A,B都可逆，所以这几个矩阵都可逆.(“0B

A0:EE0:0

B：0：i0E:B-

A[。1

:】北0[B0]的逆矩阵也

初等变换法计算:Al(2)

0一E0：08，1]

1

B0：0E>I0二::H0E!A'0'

可用初等变换法计算:I：:「I)1

r4CiD,1P,21

(3)1。3的逆矩阵用“待定系数法”计算：即设它的逆矩阵为0221，求

ADU+CD2IADl2+CD220

B%BD0E]

Djj.由r%22则

BD2I=O,得D2i=0(因为B可逆).BD2I=O,得D22=B”.ADH+CD2IE,即

ADn=E,得DII=ALAD|2+CD22=0.得D|2=—A“CB-

rAC]/_伊/

I।。8"」(4)用(3)的方法，得

尸午=[°小卜

0」【A”-

知识点解析：暂无解析

•3-51-

1-10

22、设3阶矩阵A=L-1°2,A/XA=XA+2A,求X.

标准答案：A“XA=XA+2AoA/X=X+2E=X=AX+24=(E-A)X=2A,

用初等变换法解此基本矩阵方程：

-25-16-102'•10-1-204-

(E-A|2A)-1202-20—►01-12-62

10-1-204--02-10-24-

10-1-204-100-6104-

01-12-62—>010-242

-001-4100--001-4100-

■-6104'

X=-242.

■—4100-

知识点解析:暂无解析

1-2O-

120

23、矩阵A=L002」，求解矩阵方程2A=XA—4X.

标准答案：化2A=XA-4X得X(A-4E)=2A.用初等变换法解此矩阵方程:

--31022o-02-20-

TT

(4-4E|2A)-2-20-4400408-40

-00-200•00100-2-

0001-10■

010：2-10

-001I00-2-

•020

X=-1-10

-00-2-

知识点解析:暂无解析

1000-

0100

1010

24、4阶、矩阵A,茜足ABA-1=BA」3E,已矢口A，。-308」，求B.

标准答案：用A右乘ABA"=BA/+3E的两边，得AB=B+3A；再用A*从左乘

两边，得IAIB=A*B+3IAIE,由IA*I=8,得IAI=2,代入上式:

6OOO

n0600

B=

6060

(2E-A*)B=6E,用初等变换法求得L03°

知识点解析：暂无解析

■300'100■

210000

25、已知A=L213」B=L。0-1XA+2B=AB+2X,^X2017.

标准答案：由XA+2B=AB+2X化得：X(A-2E)=(A-2E)B,即X=(A—

2E)B(A-2E)-1,则X2017=(A-2E)B2017(A-2E)-1=(A-2E)B(A-2E)-1=X,再

从关于X的矩阵方程X(A—2E)=(A-2E)B用初等变换法解得X=

-100■

200.

■6—1—J-

知识点解析：暂无解析

26、设3阶矩阵A的各行元素之和都为2,向量囚=(-1,1,1产，a2=(2,-1,

1产都是齐次线性方程组AX=O的解.求A.

标准答案：令a3=(l,1,1)丁，则A(i3=(2,2,2)T,建立矩阵方程：A(ai，Q2,

■13/2-1/2-

A=13/2-1/2.

-13/2-1/2-

a3)=(0,0,2a3),用初等变换法解得

知识点解析：暂无解析

27、设A是3阶矩阵，交换A的1,2列得B,再把B的第2列加到第3列上，得

C.求Q.使得C=AQ.

标准答案：利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系，得

知识点解析：暂无解析

28、设A,B和C都是n阶矩阵，其中A,B可逆，求下列2n阶矩阵的伴随矩

①【"卜

②I;》

③If》

C

阵右.④I1B0」

标准答案：因为A,B都可逆，所以这几个矩阵都可逆.于是可利用公式A*二|

AIA"来求伴随矩

阵.

①：；』"I,

A°「'=\A'1。1，

B'Io»•/'

AOi*|.AI||iB_I，r^41814Toi

J=(00|A||B16Tl

0才r

=1|A・0

I0IA|8・

|0A

=(-l)FI

IB0

0B-

I：3TAz0

08、0

源=(-I)-

B0J\B\A^0

AC

=|A||B|,

0B

-A-'Cfi-'i

I:「I:B~l卜

A-A-'CB-'i(|fBi|\A*_A・C8.

2Bl「I0|XIB'

CA

④=(-1)•Ml\B\.

B0

i：3FB'1

0\A\B-

(-D"

【；广181A.-X-CB*

知识点解析：暂无解析

29、设A是n阶非零实矩阵，满足A*=AT.证明|A|>0.

标准答案：把条件A*=AT写出,

4||^21

II"21

-Ac伤则aij=Aij,*,j.于是I

，与&=£W，Vi.

AI=/=1/•1由于A是实矩阵，其元素的平方K),又A有非0

元素，得IAI>0.

知识点解析：暂无解析

30、设A=(ai，a2,a3),B=(Pi，能，角)都是3阶矩阵.规定3阶矩阵

a：03

C=遍⑶*角­

La我alfi2内角」证明C可逆的充分必要条件是A,B都可逆.

T

标准答案：由矩阵乘法的定义可看出C=%(P1,p2,p3)=AB.于是ICI

=IATIIBI=IAIIBI.则ICI#)=|AI和并且IBI川即C可逆

=A,B都可逆.

知识点解析：暂无解析

31、设A是n阶实反对称矩阵，证明E+A可逆.

标准答案：设n是一个n维实向量，满足(E+A)n=0,要证明n=0.用"左乘上

式，得nT(E+A)n=0,即^^二一十人可由于A是反对称矩阵，/An是一个数，

r|TAi]=(rjTAq)T=—,因此r|TAr|=0于是口与=0n是实向量，(中[1)=/川=

0,从而r|=0.

知识点解析：暂无解析

32、设A,B都是n阶矩阵，E—AB可逆.证明E-BA也可逆，并且(E-BA)”

=E+B(E-AB)/A.

标准答案：由题意得，实际上只要证明等式(E-BA)[E+B(E-AB)/A]=E成立，

两个结论就都得到了！(E—BA)[E+B(E—AB)"A]=(E—BA)+(E—BA)B(E—AB)-

1A=(E-BA)+(B-BAB)(E-AB)-1A=(E—BA)+B(E—AB)(E—AB)“A=E—

BA+BA=E.

知识点解析：暂无解析

33、设AB是3阶矩阵，A可逆，它们满足2A/B=B-4E.证明A—2E可逆.

标准答案：用A左乘2A/B=B—4E两侧得2B=AB—4A.即(A—2E)B=4A.由

A可逆，得A-2E可逆.

知识点解析：暂无解析

34、设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab,O,证明(1)A—bE和B—aE都

可逆.(2)AB=BA.

标准答案：⑴由A—bE和B—aE都可逆=(A—bE)(B—aE)可逆.直接计算(A—

bE)(B—aE).(A—bE)(B—aE)=AB—aA—bB+abc=abE.因为abrO,得(A—

bE)(B-aE)可逆.(2)利用等式(A-bE)(B-aE)=abE,两边除以ab,得

A—bEB—aE

-ba­=，

工且b-aEA—bE

J定----------------：------=L,

ab再两边乘ab,得(B—aE)(A—bE)=abE,即BA—aA

-bB+abE=abE.BA=aA+bB=AB.

知识点解析：暂无解析

35、A,B都是n阶矩阵,并且B和E+AB都可逆,证明：B(E+AB)"B"=E—

B(E+AB)/A.

标准答案：对此等式进行恒等变形：B(E+AB)"B」=E-B(E+ABLA=B(E+

AB)"=B—B(E+AB)/AB(用B右乘等式两边)<=>B(E+AB)-1+B(E+AB)-1AB=

B=B(E+AB)"(E+AB)=B.最后的等式显然成立.

知识点解析：暂无解析

36、设A,B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)"A是对称矩阵.

标准答案：(E+AB)"A对称，就是[(E+AB)/A]T=(E+AB)/A.KE+AB)"AJT=

A[(E+AB)"|T=A[(E+AB)T]/=A(E+BA)”.于是要证明的是(E+AB)/A=A(E

+BA)”.对此式作恒等变形：(E+AB)“A=A(E+BA)“=A=(E+AB)A(E+

BA)”(用E+AB左乘等式两边)0A(E+BA)=(E+AB)A(用E+