福建师范大学2021年8月《近世代数》作业考核试题及答案参考5

福建师范大学2021年8月《近世代数》作业考核试题及答案（参考）1.设λ1，λ2是矩阵A的两个特征值，对应的特征向量分别为α1，α1，则()．A．当λ1=λ2时，α1与α2成比例B．当

设λ1，λ2是矩阵A的两个特征值，对应的特征向量分别为α1，α1，则()．

A．当λ1=λ2时，α1与α2成比例

B．当λ1=λ2时，α1与α2不成比例

C．当λ1≠λ2时，α1与α2成比例

D．当λ1≠λ2时，α1与α2不成比例

正确答案：D

2.求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积。

求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积。

12πR2

3.求一组满足式①(见上题)的不全为零的复系数多项式f(x)，g(x)和h(x)．

求一组满足式①(见上题)的不全为零的复系数多项式f(x)，g(x)和h(x)．

{"msg":"","data":[],"voicepath":""}

4.用对称式方程及参数方程表示直线

用对称式方程及参数方程表示直线

设直线的方向向量为n，则可取

再在直线上取一点，例如，可令z=0，得

于是，直线的对称式方程

参数式方程为

5.指出共鸣定理中空间完备性条件不能去掉．

指出共鸣定理中空间完备性条件不能去掉．

设为l2中除有限多个分量外皆为零的向量组成的子空间，即

当且仅当存在k0使k＞k0有αk=0，则不是l2的闭线性子空间，从而不是完备的．定义Tn：使对每个x=有Tnx=(0，0，…，nαn，0，…)，则

‖Tnx‖=n|αn|≤n‖x‖，‖Tn‖≤n；又对第n个分量为1其余为0的向量en有

‖Tn‖=‖Tn‖‖en‖≥‖Tnen‖=n．因此‖Tn‖=n，于是有．但对任意，存在k0使k＞k0有αk=0，于是有Tkx=θ，从而

这表明共鸣定理的结论对不成立．

6.某试验室有A、B两种仪器，测量某一物体长度分别进行7次和10次，得数据(单位：mm)如下：A97102

某试验室有A、B两种仪器，测量某一物体长度分别进行7次和10次，得数据(单位：mm)如下：

A9710210396100101100

B10010110398979910210198101

在α=0.05下，能否认为B种仪器的精度比A种仪器的精度高?

一般地，物体的长度服从正态分布，但μ1，μ2未知，可以认为方差小的精度高，故待检假设为H0：，H1：，是单侧检验，计算得

F统计量

查表知F0.05(6，9)=3.37，经比较知F=1.7148＜F0.05(6，9)=3.37，故接受H0认为仪器B的精度不比仪器A高．

7.曲线y=x2与x=y2所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为______。

曲线y=x2与x=y2所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为______。

8.若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫xf(x2)dx=______．

若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫xf(x2)dx=______．

9.已知下列非齐次线性方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)：(Ⅰ)(Ⅱ)

已知下列非齐次线性方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

对方程组(Ⅰ)的增广矩阵施行初等行变换：

由r(A)=r()=3＜4知，方程组(Ⅰ)有无穷多解，且原方程组(Ⅰ)等价于方程组

(*)

令x4=1，代入方程组(*)对应的齐次方程组中，求得基础解系为ξ=(1，1，2，1)T.

求特解：令x4=0，得

x1=-2，x2=-4，x3=-5.

故所求通解为

x=k(1,1,2,1)T+(-2,-4,5,0)T．$由1的结论可知，方程组(Ⅰ)的通解为

x1=-2+k，x2=-4+k，x3=-5+2k，x4=k，

分别将上述解代入方程组(Ⅱ)，得

整理可得

由于方程组(Ⅰ)的通解中的k可取任意常数，故

m-2=0,n-4=0,t=6,

即

m=2,n=4,t=6．

10.若级数与分别收敛于S1与S2，则以下成立的是()．A．B．C．D．

若级数与分别收敛于S1与S2，则以下成立的是(

)．

A．

B．

C．

D．

ABC由收敛级数的基本性质可知：(A)，(B)，(C)均正确；(D)错误．当S2=0时不成立．

11.对事件A，B，说明下列关系式相互等价：(1);(2)(3)A+B=B;(4)AB=A;(5)

对事件A，B，说明下列关系式相互等价：

(1);

(2)

(3)A+B=B;

(4)AB=A;

(5)

用文氏图表示事件A，B的关系即可看出(1)、(3)、(4)、(5)是相互等价的，即

又有

于是可得(2)与(1)、(3)、(4)、(5)也是相互等价的。

12.已知f(x)的一个原函数是sinxlnx，求．

已知f(x)的一个原函数是sinxlnx，求．

答案：f(x)=(sinxlnx)'=cosxlnx+sinx/x

原式=∫(π,1)xdf(x)=xf(x)(π,1)-∫(π,1)f(x)xdx

=x(cosxlnx+sinx/x)(π,1)-sinxlnx(π,1)

=-πlnπ-sin1

13.求∫x2e1-2x3dx

求∫x2e1-2x3dx

14.设f(n)(x0)存在，且f(x0)=f&39;(x0)=…=f(n)(x0)=0，证明f(x)=o[(x-x0)n](x→x0).

设f(n)(x0)存在，且f(x0)=f'(x0)=…=f(n)(x0)=0，证明

f(x)=o[(x-x0)n](x→x0).

[证]根据题设，依次应用柯西中值定理n-1次，得

，

其中ξ1，…，ξn-1均介于x，x0之间，且当x→x0时ξ1，…，ξn-1均趋于x0，于是

，

故f(x)=o[(x-x0)n]．

15.某药厂生产某种药品，年产量为a个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设该药品均匀投入市场(即平均

某药厂生产某种药品，年产量为a个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设该药品均匀投入市场(即平均库存量为批量的一半)，并设每年每单位的药品库存费为c元。显然，生产批量大则库存费高，生产批量小则生产准备费多。问如何选择批量，才能使生产准备费与库存费之和为最小(不考虑生产能力)?

设药厂分x批进行生产该药品，则批量为，生产准备费与库存费之和为

令y'=0，得

当时，y达到最小。

即当批量为时，准备费与库存费之和为最小。

16.设f(x)在[a，＋∞)上连续，且当x＞a时，f&39;(x)＞k＞0．其中k为常数．若f(a)＜0，则方程f(x)=0在内有且仅有一个实根．

设f(x)在[a，+∞)上连续，且当x＞a时，f'(x)＞k＞0．其中k为常数．若f(a)＜0，则方程f(x)=0在内有且仅有一个实根．

利用微分中值定理可得，ξ∈(a，af(a)

k

)，使得f(a?f(a)

k

)-f（a）=f′（ξ）(?f(a)

k

)．因为当x＞a时，f′（x0）＞k＞0，故

f(af(a)

k

)-f（a）=f′（ξ）?(?f(a)

k

)＞k?(?f(a)

k

)=-f（a），从而，f(af(a)

k

)＞0．又因为f（a）＜0，且f（x）在[a，+∞）上连续，故利用连续函数的零点存在定理可得，η∈(a，a(a)

k

)，使得f（η）=0．下面证明η的唯一性．如果存在η1≠η2，使得f（η1）=f（η2）=0，利用罗尔中值定理可得，?ξ∈(a，af(a)

k

)，使得f′（ξ）=0，这与f′（x）＞k＞0

（x＞a）

矛盾，故方程f（x）=0在区间(a，a?f(a)

k

)内有且仅有一个根．

17.验证极限存在，但不能用洛必达法则求出．

验证极限存在，但不能用洛必达法则求出．

若用洛必达法则，则因

不存在故题设极限不能用洛必达法则求出．

18.设函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的允分条件是A．f(a)＝0且f"(a)＝0．B．f(a)＝0

设函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的允分条件是

A．f(a)＝0且f"(a)＝0．

B．f(a)＝0且f"(a)≠0．

C．f(a)＞0且f"(a)＞0．

D．f(a)＜0且f"(a)＜0．

正确答案：B

19.如果一个n(n＞1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?

如果一个n(n＞1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?

正确答案：一定。根据行列式的性质若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数)则该行元素可提出公因子2剩下的行列式元素都是整数其值也是整数乘以2后必定是偶数故行列式的值一定为偶数。

一定。根据行列式的性质,若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去,得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数),则该行元素可提出公因子2,剩下的行列式元素都是整数,其值也是整数,乘以2后必定是偶数,故行列式的值一定为偶数。

20.设离散型随机变量X的概率分布列表如表5-13：表5-13X-1012Pc2c

设离散型随机变量X的概率分布列表如表5-13：

表5-13

X-1012Pc2c3c4c

则常数c=______．

根据离散型随机变量概率分布的性质2，有关系式

c+2c+3c+4c=1

得到常数

于是应将“”直接填在空内．

21.设f(x)=|x(1－x)|，则()．A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点．B．x=0不是f(x)的极值点，但(

设f(x)=|x(1-x)|，则(

)．

A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点．

B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．

C．x=0是f(x)的极值点，(0，0)也是曲线y=f(x)的拐点．

D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点

C

22.已知P(A)=a，P(B)=n，P(AB)=c，求：(1)；(2);(3);(4)

已知P(A)=a，P(B)=n，P(AB)=c，求：(1)；(2);(3);(4)

(1)

(2)

(3)

(4)

23.比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法。

比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法。

组合逻辑电路测试方法有穷举法、一维通路敏化法、布尔差分法和D算法等。时序逻辑电路测试的主要方法是把时序电路构造成相应的组合电路。

24.设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=______．

设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=______．

2

25.设f(x)在(－∞，＋∞)内可导，且F(x)＝f(x2－1)＋f(1－x2)，证明：Fˊ(1)＝Fˊ(－1)．

设f(x)在(－∞，＋∞)内可导，且F(x)＝f(x2－1)＋f(1－x2)，证明：Fˊ(1)＝Fˊ(－1)．

正确答案：×

证明：∵F(x)=f(x2－1)＋f(1－x2)∵f(x)在(－∞,＋∞)内可导∴F(x)为可导函数∴Fˊ(x)＝fˊ(x2－1)×2x+fˊ(1－x2)(－2x)＝2x[fˊ(x2－1)－fˊ(1－x2)]∴Fˊ(1)＝2[fˊ(0)－fˊ(0)]＝0Fˊ(－1)＝(－2)[fˊ(0)－fˊ(0)]＝0∴Fˊ(1)＝Fˊ(－1)

26.∫0nπ|sinx|dx(n是自然数)．

∫0nπ|sinx|dx

(n是自然数)．

∫0nπ|sinx|dx

∑k=0n-1∫kπ(k+1)π|sinx|dx

令

x=kπ+t

则

∫kπ(k-1)π|sinx|dx=∫0π(kπ+t)sinxtdt

=(2k+1)π

原式=∑k=0n-1(2k+1)π=n2π

解2

令x=nπ-t，则

∫0nπ|sinx|dx=∫0nπ(nπ-t)|sint|dt

=nπ∫0nπ|sint|dt-∫0nπt|sint|dt

从而有

27.设2x3-x2+3x-5=a(