考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷35

考研数学一(概率论与数理统计)模拟

试卷35

一、选择题(本题共8题，每题分，共8分。)

1、设随机变量Xi的分布函数为Fi(x),且密度函数fi(x)至多有有限个间断点，

i=l,2.则().

A、若FI(X)WF2(X),则fi(x)第(x)

B、若FI(X)WF2(X),则f|(x)”2(x)

C、若fi(x)WG(x),则F](X)SF2(X)

D、若fi(x)阻(x),则FI(X)*2(X)

标准答案：C

知识点解析：由积分的课号性即得.因为f】(X)Vf2(X),故L.Xf]⑴dtvLgXf2⑴dt,

即FI(X)SF2(X).故选C.

2、假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与一X有相同的分

布数，则对于任意实数x,有().

A、F(x)=F(—x)

B、F(x)=—F(—x)

C、f(x)=f(-x)

D、f(x)=-f(-x)

标准答案：C

知识点解析：由于X与一x有相同的分布函数，故P(XSx尸P(-XSx),即

P(X<x)=P(X>-x),于是F(x)=l—F(—x),两边求导得f(x)=f(-x).故选C.

3、设随机变量X和YE勺联合概率分布是圆D={(x,y)Ix2+y2&2)上的均匀分布(「

>1),则().

A、X服从均匀分布

B、X与Y之和服从均匀分布

C、Y服从均匀分布

D、Y关于X=1的条件分布是均匀分布

标准答案：D

知识点解析：(X,Y)的联合密度为10,其他.X的密度为Fx(x尸

J-oo+ccf(x,y)dy

—J♦1|x|<a,

I0,其他，

丫的密度为

/y(y)=

_J孑—―-.，l>l<«*

10,其他，

故fiH呈沿

J^fl>l<'^T>

=I°，其他，即在X=1条

件下，Y服从(一〃口，V?二1)上的均匀分布.故选D.

4、设(X,Y)为二维随机变量，则X与Y相互独立的充要条件为().

A、X3与丫3相互独立

B、|X|与IYI相互独立

C、X?与丫？相互独立

D、X’与丫4相互独立

标准答案：A

知识点解析：根据独立的性质易知B、C、D均为必要条件，只有A为充耍条

件.故选A.

5、设随机变量X和Y相互独立，且均服从(0,1)上的均匀分布，则下列随机变量

中仍服从某区间上均匀分布的是().

A、X-Y

B、X+Y

C、X2

D、2X

标准答案：D

知识点解析：易求得2X服从(0,2)上的均匀分布.故选D.

6、设总体X的概率密度函数为f(x),而Xi，X2，…，Xn是来自总体X的简单随

机样本，X(1),X(]⑵和X(n)相应为X1，X2，…，Xn的最小观测值、中位数和最大

观测值,则().

A、X|的概率密度为f(x)

B、X⑴的概率密度为f(x)

C、X(1⑵的概率密度为f(x)

D、X(n)的概率密度为f(x)

标准答案：A

知识点解析：简单随机样本的定义可知Xi与总体X同分布.故选A.

7、已知一批零件的长度X(单位为cm)服从正态总体N(中1),从中随机抽取16个

零件，测得其长度的平均值为40cm,则日的置信度为0.95的置信区间是(注：标

准正态分布函数值中(1.96)=0.975,4)(1.645)=0.95)().

A、(39.51,40.49)

B、(39.59,40.41)

C、(-co,39.95)

D、(40.49,+00)

标准答案：A

知识点解析：单正态总，本N(wo2),在。2已知时，N的置信区间为

‘"谓".”+厅2,囚_出2表示标准正态分布的下‘1一f分位数，将X=40，

Q=1,n=16»国)975=1.96代入即得.故选A.

8、设X],X2，…，XN是来自正态总体X〜N(|1,(?)的简单随机样本，为使D二

£成为总体方差的无偏估计量，则应选k为

(A)41

n—1n

(C)(D)系

2”(nL—1)2n

().

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：Xi+|—Xi〜N(0,2/)，于是E(Xi+i—Xi)2=D(Xi+]—Xi)+E2(Xi+|一

y

222

Xi)=2o.E(D)=k-IE(xi+1-Xi)=2(n-1)ok.要D为『的无偏估计，即

k=--1—

E(D)=o2,故2GI—故选C.

二、填空题(本题共2题，每题7.0分，共2分。)

9、设随机变量X服从二项分布B(n,p),则随机变量Y=n-X服从的分布为

标准答案：应填B(n,1—p).

知识点解析：因为X可以看成“将一枚硬币抛n次正面向上的次数”，于是Y即为

反面向上的次数，所以Y〜B(n,1—P).

X01y01

J.

J_±p±

P~2T44

10、已知随机变量X和Y的分布律为而且

工，

P(x-y尸7'则X与Y的相关系数为

_叵

标准答案：应填3・

知识点解析：由P(X=Y尸P(X=0,Y=O)+P(X=1,Y=l)以及边缘分布律与联合分布

Poo+011=十'

4-poi=》

Aj-1

Pio十Pi\—~2,

Poo+fho

4，

且.11_1

4

律的关系有故Poo=O,‘加=7必=彳必=T即X与Y的联合

—1YX—3一1—•

Cov(X,Y)248'

D(X)=4»D(Y)=A

分布律为410故X与Y的相关系

Cov(x,y)=_停

数为p(X,Y)=可万尔万3.

三、解答题(本题共”题，每题1.0分，共〃分。)

11、12个乒乓球中有9个新球，3个I日球，第一次比赛时，从中任取3个球，用完

后放回去，第二次比赛又从中任意取出3个球.(1)求第二次取出的3个球中有2

个是新球的概率；(2)若第二次取出的3个球中有2个是新球，求第一次取到的3

个球中恰有一个是新球的概率.

标准答案：设Ai二{第一次比赛时取出i个新球)，i=0,1,2,3,B二{第二次比赛

时取出的3个球中有2个是新球}.(1)由全概率公式得

P(B)=W>(BIA,)P(A)

•-0

=0・4552.(2)由贝耶斯公式得

)

P(A1|B)P(B|AiP(A。

P(B)

C%*

P(B)

7

=El0.14.

bl

知识点解析：暂无解析

设随机变量X的概率密度为

工/o<r<r312,X41,

人力=1§"'।'令随机变量y=?K,1<X<2,

.0,其他.11,X>2.

12、求Y的分布函数；

标准答案:Y的分布函数FY(y)=P{YWy).当YV1时，FY(y)=0；当Yg时,

FY(y)=l;当号YV2时，FY(y)=P{Y=l)+P{I<Y<y}=P{X>2)+P{1<X<y}

0，，V1.

故Y的分布函数Fy(y)=W+/V，l<yV2,

1.y"

知识点解析：暂无解析

13、求概率P{X0Y).

打加=畀

标准答案：P{X<Y)=P{X<1)+P{1<X<2)=P{X<2)=

知识点解析：暂无解析

14、设巴X》0,Y20}=去P{X/0}=P<Y)。}。恭求Y)>0).

标准答案：P{max(X,Y)>0[=P{(X>0)U(Y>0)}=P(X>0)+P(Y>0)-P(X>0,Y>0)

4.43

="7+'一7

70

知识点解析：暂无解析

15、考虑随机试验E：接连不断地重复掷一枚骰子直到出现小于5的点为止，以X

表示最后掷出的点数，以Y表示掷骰子的次数，试求随机变量X和Y的联合概率

分布.

标准答案：解X的可能取值为1,2,3,4.Y的可能取值为1,2,且(X二m,

Y=n)表示第n次首次出现小于5的点数，即m点，而前n—1次均出现不小于5的

点，即5点或6点.故X与Y的联合分布律为

P(X=m.Y=n)=CL・卷,m=1234n=1・2.“・.

知识点解析：暂无解析

假设5只晶体管中有两只次品，现在一只一只地检验直到查出两只次品为止.试

求：

16、查出一只次品晶体管所需检查的次数X的概率分布；

标准答案：X的可能取值为1,2,3,4,记Ai表示第i次检查到次品，于是

PCX=1)=

PCX=3)=P(A次2A3)=W沿=

P(X=4)=P(AHA)=5X4X3X2=吉.故x的概率分布为

X1234

13.±±

P510510

知识点解析•：暂无解析

17、查出两只次品晶体管所需检查的次数Y的概率分布.

标准答案：Y的可能取值为2,3,4,5,且

P(Y=2)=P(AA)=^=^

P(y=3)=P(A离4)+P(AIAAJ)=卷♦

2D

P(y=4)=P(Ai424A4)+P(儿A2A」A,)+P(44A箝心)

一与，

10*

P(y=5)=l-P(y=2)_P(Y=3)-P(Y=4)=手故Y的概率分布为

Y234S

1132

P10TioT

知识点解析：暂无解析

18、X和Y的联合概率分布.

?V11

p(x=i.y=2)=P(A,A2)=急=

2X3X11

标准答案：P(X=1'丫=3)=P(A*心)=5X7X3=而’类似可得其他值均为

历‘，即X与Y的联合概率分布律为

PCX=i,Y=»=Q=1.2,3,40=i+L…,5・

知识点解析：暂无解析

/(x)=fe，若工皿],

19、设随机变量X的概率密度为*0-其他•F(x)是X的分布

函数.求随机变量Y=F[X)的分布函数.

标准答案：不求F(x)的表达式，直接用分布函数法.Y的分布函数为

G(y)=P{Y<y)=P{F(X)<y),因为F(x)为分布函数，从而gF(x)gl,故当yVO时,

G(y)=O；当在1时\G(y)=l；当OSyVl时，F(x)单调增加，于是有

G(y)=P{F(X)<y}=P{X<F-1(y))=F[F-1(y)]=y.所以Y=F(X)的分布函数为

0*><0»

y,04_yV】，

(1，

知识点解析：暂无解析

设随机变量X],X2,X3相互独立且都服从参数为P的0—1分布，已知矩阵

■X,xq工

Lx?X3-为正定矩阵的概率为下.试求：

20、参数p的值;

标准答案：因为矩阵为正定阵的充要条件为其所有顺序主子式都大于零，所以，

1.

2

有P{X1>O,X|X3—X22>0}:『即P{X]=1,X2=0,X3=l}=p(l-p)=

11

8,得2=f-

知识点解析：暂无解析

y=X1X?

21、随机变量X?Xi的分布律.

标准答案：Y=XiX3—X2?的所有取值为一1,0,1,P{Y=-l}=P{Xi=l,X2=l,

2

X3=O)+P{X1=O,X2=hX3=1)+P{X1=O,X2=hX3=0)=甘P{Y=O}=P{X)=O,

X2=0,X3=O)+P{X1=1,X2=l,X3=1)+P{X1=O,X2=O,X3=l}+P{xi=l,X2=0,

4-11

X3=O}=S_2".P{Y=l}=P{Xi=l,X2=0,X3=l}二十所以，Y的分布律为

Y-101

_3JL±

P-878

知识点解析：暂无解析

22、设随机变量X和Y相互独立，都服从区间（0,a）上的均匀分布，>RZ=X-Y

的概率密度g（7）.

/

标准答案：如图3—7所示，网3—7X与Y的联合密度为

OVayVa，

0,其他•当z孑a时，Fz（z）=1；当z<二一a时，Fz(z)=O；当gz

r

Jz(r)=jj/(jr.y)dLrdy

Fz（z）=1—JI/（I.丁）业力山山

*-3>•

/妙力

=i_g=-4•4-(a+z)2

aZ

Va时，=1一豆（。一2”‘当一agzVO时，=齐(。+z>・,,

2a故

|审,0,

g（z）=Fz（z）=j宁，OVzVo

a1

Z的概率密度困数为0，其他

知识点解析：暂无解析

v/0，x&k,

23、设随机变量X的分布函数为F(x),随机变量>X>3'k=l,2.令

U=Y]+Y2,V=Y1Y2，试求U与V的联合分布律.

标准答案:U的可能取值为可1,2,且P(U=0)=P(Y|+Y2=0)=P(YI=0,Y2=O)

=P(X<1,X<2)=P(X<1)=F(1),P(U=1)=P(Y1+Y2=1)=P(YI=0,Y2=1)+P(YI=1,

Y2=0)=P(X<1,X>2)+P(X>1,X<2)=P(1<X<2)=F(2)-F(1),

P(U=2)=P(Y|+Y2=2)=P(YI=1,Y2=1)=P(X>1,X>2)=P(X>2)=1~F(2)..于

U012

?F(l)F(2)-F(l)

是U的分布律为1-FC2)类似可得V的

V01

PF(2)1-F⑵

分布律为另外，P（U=0,

V=1)=P(YI+Y2=0,Y|Y2=l)=0,P(U=1,V=1)=P(YI+Y2=1,YIY2=1)=0,

P（U=2,V=0）=P（Y|+Y2=2,Y|Y2=0）=0.再由联合分布律与边缘分布律的关系即

X01A-

0F(l)0F(l)

1F(2)-F(l)0F(2)-F(l)

201-F(2)1-F(2)

F(2)1-F(2)1

知识点解析：暂无解析

24、在线段［0,1］上任取n个点，试求其中最远两点的距离的数学期望.

标准答案：设Xi为在［0,1］中任取的第i个点的坐标，i=l,2,…，n.则Xi，

X2，Xn独立同分布，且都服从（0,1）上的均匀分布，即其分布函数为

0,x<0,

F(x)x.0<x<l.

1,721,

令XL,嚏｛XJ,X”船⑻,

则最远两点的距离为x=x（n）-

X（|）,从而E（X尸E［X（n）］—E［X⑴］.因为

(0,x<0.

Fxy(”)=户0&NV1,

1,

0,x<0,

1—[FCr)}=<1—(1-z尸，0<x<1♦

1»N)1,

nz0<x<1,

A.)(力

0,其他.

&&)=1休1一0工.)1,0VzVI,

其他.所以

瓦心」=""=品'

E[X<||]=J严(1-"1业=

故

F(X)=----!-=

n-Fln+1n+1

知识点解析：暂无解析

25、设总体X〜N(RJ),X],X2，…，X9为来自X的简单随机样本，试确定。

〃仕,―八】vxV3)为最大，其中X=

的值，使得概率9G

标准答案：由总体X〜N(0,J)得。/3于是

P(1<X<