考研数学二（解答题）模拟试卷93

考研数学二(解答题)模拟试卷93

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

lim(3x-Ja/+bx+1)

1、己知一♦♦-2,求a,b之值.

lim-a+旦+

标准答案：原式可改写成I“'7xx】=2.由于该式成立，所以

必有3一4=0,即a=9.将a=9代入原式，并有理化得

limlim-

-3x♦+h+1

3

由此得b=12.故a=9,b=-12.

知识点解析：暂无解析

lim/n(^/n-1)

2、求数列极限(D=e—.

lim而=1=7a-1=e”"-

标准答案：由“T8

w=lim/n・—Inn

(n-8).用等价无穷小因子替换得“一°”

±lnx2=配

数f(X)=xx(%>0),则

切=lim/(/n)=limf{x)==X==2lim—=0

一■洛必达法则XiBX

知识点解析：暂无解析

产.I20

3、设f(x)=I如2…<0求Jf(x)dx

十丁+Cx>0

标准答案：一c。"+1+Cx<0

知识点解析：暂无解析

(1+a)Xj+巧+…+4.=0,

2x)+(2+a)x2+…+24.=0,(〃至2)

4、设有齐次线性方程组12产“2+…+(*Q)%・二°试问a为何值时，该方程

组有非零解，并求出其通解.

标准答案：对方程组的系数矩阵A施以初等行变换，得

•1+a11-1■-1+a11…1"

22+a2…2-2aa0…0

A—*•••—♦*•••

*.•••••*

•*•••••*

.nnn•••n+a..-na00…a.①当a=0时，

r(A)=r(B)=l<n.故方程组有非零解，其同解方程组为X]+X2+…+Xn=0,由此得基

-I

0

0

L1J所以方程组的通解为

kn-l为任意常数).②当存0时,对矩阵B继

〃(n+1)

000

2

00

0

续施以初等行变换故

当…巧%

r(A)=n-l<n.方程组也有非零解，其同解方程组为

叼=2/，

勺:3盯，

即

-nx.+x.=014=吗,得基础解系为?(1,2,…，nJ.此时方程组

的通解为x=kq(k为任意常数).

知识点解析：本题考查齐次线性方程组有非零解的判定条件和求解方法.由于未知

数的个数与方程组中方程的个数相同，所以可由AK=0有非零解;=1IA|=0或

r(A)<n.由此可求得常数.然后再求齐次线性方程组通解.

亚•出_3/出:

5、把y看作自变量，x为因变量，变换方程也d,\dx2)=x

叱立立用虫业如

标准答案：把方程中的dx'd/'d?dy'd/'打3来表示.由反函数求导法得

强力=傕)’

打.再由复合函数求导法及反函数求导法。

土幺停门啕(软代T犷•软方’“(软与

富=得[图节偿=卜凯副-信)节啕'

=3(就专)‘傍)"今将它们代

入原方程=>N犷僚A闺节一信广制…8(髀。•

知识点解析：暂无解析

xsinx

(H)J=

6^求下列定积分:(I)1=10^+cos2x'-fsin2xarctanexdx.

标准答案：

TT-，)sin(7T-豆市”(IT-x)sinx,

----------2—dx

1+CO82(TT-t)01+CO8X

vsinx,,fwd(cosx)ir2

2/=IT------------ox=-IT----------r-=->rrarctancosz

o1+cos，JoI♦co»2xoT

2-/2x

(11)J=====(9jn(-t)arctanedt=Isinxarctane~dx

J-fJ-*

r2•2ITr')p?

n2J=sinx(arctane*+arctane'*)dx=---•2sinxdx=—

J-T2Jo4

知识点解析：积分I=J()bf(x)dx在变量替换l=b-x下积分区间保持不变，即I=-Jb°f(b-

t)dt=Jobf(b-t)dt=fobf(b-x)dx,于是2I=J()b[f(x)+f(b-x)]dx.若右端易求，则就求出了I

值.积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外，有时对某些其他函数

也会带来方便.在对称区间的情形：I=J/f(x)dx,若作变量替换x=l,则积分区间

保持不变，WI=f-aaf(-t)dt.于是21=〕.aa[f(x)+f(-x)]dx.若右端积分易算，则就求出

了I的值.

dy

7、设y=f(lnxM(x),其中f可微，计算改.

少=[/(lnx)]z•e^x>+/(Inx)•[e加，了

ar

)/ljr)(公.

标—准答案：=/‘(Inz)•—工•¥",+/(Inx)•e•f

知识点解析：暂无解析

limsin言+cos专).

8、求极限-8

标准答案：

-1)

卜由言+cosg=lim][1+(sin言+cos,-1)[布布

..唯F-i

lira——------

=畸+«*『)=e,T

知识点解析：暂无解析

9、已知入1，入2,入3是A的特征值，ai，a2,(13是相应的特征向量且线性无关，如

ai+a2+a3仍是A的特征向量，则入02=入3・

标准答案：若a]+a2+a3是矩阵A属于特征值入的特征向量，即

A((X]+ct2+a3)=Mai+a2+a3)・又A(Q[+a2+a3尸A(X]+Aa2+Aa3=A.i(xi+入2a2+入3a3，于是

(人一入])囚+(入一入2川2+(入一入3川3=0.因为ai，ao>013线性无关,故入一入尸0,入一

九2二0，入一入3=0•即入]=入2=兀3.

知识点解析：暂无解析

zarctaardN

10、八+人

zarctanrdz

arctanxd(+z?)

fyr+7-

.=\/\4-x2arctanz-dj

标准答案：=-/r+x2arctanx—ln(x+>/1+x2)+C.

知识点解析：暂无解析

smxj

7-F------clr.

11、1+cosx

标准答案:

sin’“(l-cosx)^

sin2x(1—cosx)dx

1-cos2x

=Jsin2xdx-Jsin2xcosjrdx=-yj(1—cos2x)djr—Jsin2xd(sinjr)

=4—7sin2x—sin3x+C.

243

知识点解析：暂无解析

12、设f(x)在[0,1]二阶可导，If(0)I<a,If(l)I<a,If'(x)I<b,a,b为羊负

Lb.

数，求证：vcG(0,1),有If(c)I<2a+2

标准答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：VxG[0,1],vcG(0,1),有

2

f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+2f(^)(x-c)2,(*)其中9c+o(x—c),O<0<1.在(*)式中，

1

令x=0,得f(0尸f(c)+r⑹(-C)+GF©)C2,0<^I<C<1；在(*)式中，令x=l,得

1

f(l)=f(c)+「(c)(Lc)+2「&)(Lc)2,0Vc<&2Vl.上面两式相减得f⑴一

f(O)=f(c)+2[f1-c)2-f'(§1)c2].从而「(0=单)一40)+2£代伙2-俨心)(1一

c)2],两端取绝对值并放大即得

|/，(c)|W2a♦剂(1-"+]石2a.s(1…c)=2a+f.其中利用了对任

何c®0,l)#(l-c)2<l-c,c2<c,于是(l-c)2+c2q.

知识点解析：暂无解析

1r*22

lim—(1+F)〃rdt

13、求极限—JJo

1

标准答案：T

知识点解析：暂无解析

•1-20'

-242

14、A102-2」,求作一个3阶可逆矩阵P,使得pTAP是对角矩阵.

标准答案：对这样的题，可能会想到构造正交矩阵Q,使得Q/AQ是对角矩g，

贝I」QTAQ=Q〃AQ是对角矩阵.这样做首先会遇到特征值计算的困难，如本题中的

矩阵用本课程的知识是不能求出特征值的.即使可以求出，这个方法的计算量也比

较大.一个比较简单的方法是利用与A对应的二次型用配方法标准化，则变换矩

阵就是所求.f(xi,X2，X3)=X1AX=xi2+4X22-2X32-4XIX2+4x2X3=(x)-2x2)2-

m=盯-2电，

2X3+4X2X3=(XI-X2)2-2(X2-X3)2+2X22.令加=x2»原二次型化为f(X］,X2，

222

X3)=yi-2y2+2y3.从上面的公式反解得变换公式：区变换矩阵则pTAP=.

知识点解析：暂无解析

15、设f(x)是在⑶b］上连续且严格单调的函数，在(a,b)内可导，f(a)-aiG(a,

111

b)(i=l,2,n),使得[幺>5)

标准答案：令”=丁，因为f(x)在［a,b］上连续且单调增加，且f(a尸al〈C2

V...n・lVb,使得f(ci)=a+h,f(C2)=a+2h,...»f(cn-i)=a+(n-l)h,再由微分中值定

理，得f(ci)-f(a)=「($)(ci-a),&W(a,ci),f(C2)=f(cj)=ffe)(C2-ci)>陵e(c"

C2),...f(b)-f(cn-l)=f(4n)(b-cn-l)，&W(Cn-l，b),

从而有“忐+焉+…+忐卜〜―十”忐=L

知识点解析：暂无解析

设f(xi，X2，…，Xn)=X，AX是正定二次型.证明：

16、二次型平方项的系数均大于零；

标准答案：利用f正定的定义证：f正定，由定义，任给乂翔，均有kXTAX>

0.取X=［l,0,0『¥0则

XTAX=[l,0,-,0]=an>0.

同理，取

X=(0,1,0)T和，XTAX=aij>0,i=l,2,n.得证f的平方项的系数

均大于零.

知识点解析：暂无解析

17、|A|>0；

标准答案：用f正定的充要条件证：kXTAX正定O存在可逆矩阵C,使得

CTAC=E.A=(cT)/c/n|A|=|cJ|2>0.或用反证法：若|A|±0,贝ij

|A|=入也…MWO，必有格0.设为对应的特征向量为3，则有Acti城小两端左边

乘aj,得四入3=左5「54)(因四%>0,Xi<0),这和f是正定二次型矛盾，故|A|

>0.

知识点解析：暂无解析

18、举例说明上述条件为不是f（Xi，X2,…，Xn）正定的充分条件.

标准答案：上述条件均不是f正定的充分条件，例f=XJ+2X|X2+X22=（X]+X2）2，有

an=a22—1>0，（0f（1,一1）=0,f不正定.f=xi2—X22-■X32*

1

|A|=-1=1>0,

-1显然f不正定.

知识点解析：暂无解析

a2”二0a。dzHz.

19、已知z=u（x,ygx+by,且a城尸，试确定常数a,b,使得丽-瓦一办卡-恒

成立.

标准答案：

:舞i+皿"出=（野可C…，新知…+6叱"出=（粉町ei,

&=（宜生+a—）小