经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷5

经济类专业学位联考综合能力数学基础

（线性代数）模拟试卷5

一、单项选择题（本题共13题，每题1.0分，共13

分。）

0000400

0200000001

000000020

0000000

1、设KX.行IJ列7U式x其xI中'等J4于'4•!H的J

是（）.

A、①

B、①②

C、①杀③

D、①②③④

标准答案：A

知识点解析：本题所给每个行列式仅含有4个不同行不同列的非零元素，行列式即

为由这4个元素乘积构成的特定项.在乘积大小同为41的情况下，关键是确容项

前符号.在行标按自然顺序排列的前提下：①中非零项列标排列的逆序数为

1（4321）=6,为偶数，从而知其值为4!.②中非零项列标排列的逆序数为

1（3421）=5,为奇数，故其值为-4!.③中非零项歹J标排列的逆序数为“4123）=3,

为奇数，故其值为-4!.④中非零项列标排列的逆序数为“4231尸5,为奇数，故

其值为-4!.故选A.

-2

-4

2、方程f（x）=-44=0的全部解为（）.

A、4,5

B、3,4

C、2,3

D、1,2

标准答案：D

知识点脑i斤：根据不同行不同列的原则，知该方程为二次方程，应有2个解，即使

行列式为零的X值.本题有两种解法.解法1观察行列式的结构，可知当行列式

第1,3行相应元素比值为-1/2时，其值为零，即有3—x=2,得x=l.同理，当

行列式第1，2行相应元素比值为1/2时，其值为零，即有6—2x=x及6—x=4,

得x=2.故该方程的全部解为1,2.故选D.解法2将答案直接代入验证：选项

3-12-23-22-2

/(D=16—1-4=0./(2)=26-2—4=0

4I

D,由一4-4—4—44知x=l,2是

方程的全部解.故选D.类似地，选项A,由f(4)于0,f(5)/0,知x=4,5都不是

方程的解.选项B,由f(3)加，f(4)翔，知x=3,4都不是方程的解.选项C,由

f(2)=0,f(3)/0,知x=3不是方程的解.

1010

1^01

00*1

3、oo1/()的充分必要条件是().

A、厚0

B、修±1

C、厚0且k#l

D、k翔或

标准答案：C

知识点解析：注意到行列式可分为4个子块,左下方由零元素组成，因此，可转化

为两个2阶行列式的乘积，即有

3-12-23—22-2

/(1)=16-1-4=0,/(2)=26-2-4=0

—4—44।-4-44=k(k-|)(k+l),若

要行列式不等于零，必有k加且厚±1,故选C.

4、若有矩阵Amx］，Bg，Cmxn，则下列运算可以进行的是()。

A、|C(AB)T|

B、(CA)TB

C>(CB)TA

D、|AB|CT

标准答案：A

知识点解析：选项A,矩阵的乘法运算是矩阵运算中最重要的运算.运算时，首先

要注意矩阵乘法的可行性，即两矩阵相乘必须左侧矩阵的列标等于右侧矩阵的行

标.题中，C(AB)T=Cmxn(BT)nxl(AT)|xm为m阶方阵，从而对应有行列式

|C(AB)T|.故选A.选项B,由(CA)TB=(AT)ixm(C：T)nxmB|xn，知运算不符合矩阵乘

法规则.选项C,由(CB)TA=(BT)nxl(CT)nxmAmxl，知运算不符合矩阵乘法规

则.选项D,由AB二AixiBixn为mxn矩阵，不存在对应行列式，运算不成立.

5、设A为对角矩阵，B,P为同阶矩阵，且P可逆，下列结论正确的是().

A、若A，0,则人"70

B、若BRO,则小/0

C、AB=BA

D、A=P-1,则|A|>0时，|B|VO

标准答案：A

a\

知识点解析：选项A,设a，由于

Ar0,不妨令ao/0,从而有2严翔，所以A111#).故选A.选项B,见反例，设

B=(o0),但有I?[。0),知该结论不正确.选项C,两同阶对角矩阵对乘法有

交换律，但对角矩阵与一般矩阵之间对乘法无交换律，故结论不正确.选项D,

A=P-1BP,W|A|=|P-1BP|=|P-,||B||P|=|B|,故结论不正确.

6、设A为n阶矩阵，且|A|=1,则(A>=().

A、A"1

B、-A

C、A

D、A2

标准答案：C

知识点解析：由|A|=1,知A可逆，则A*=|A|A—1二A-I从而得(A*)*=(A「)*=|(A

i)r=A.故选C.

7、

a”flua”anQu°iza”ooor1000

QzianQu024023M01000010

设A=,B=，Pi=,P：=

0313.33fl34034033032a3100100100

a”a«）仇a《4a”a«a«i1000,0001

其中A可逆，则B匚().

-|

A、AP|P2

-,

B、P|AP2

C、P|P2A-1

-,

D、P2AP|

标准答案：c

知识点解析：依题设，B是将A的第1列和第4列交换，第2列和第3列交换后得

到的矩阵，Pi，P2分别是初等矩阵E(l,4),E(2,3),即有B=AP|P2或

B=AP2P1，从而有B「二P2或BI=P112一1一1,又P[1=P],P2"

-1-1

1=P2，因此，B=P1P2A,故选C.

8、已知向量组a”a2，(13可由向量组伙，02线性表示，则().

A、ai，ot2，（13必线性相关

B、ai，a?,。3必线性无关

C>pi，。2也可由ai，02，a3线性表示

D、若仇，的线性无关，则ai，。2，。3也必线性无关

标准答案：A

知识点解析：若个数多的向量组能被一个个数少的向量组线性表示，则该向量组必

线性相关，由此可以确定ai，a2,。3必线性相关.故应选A.

9、设A为m、n矩阵，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则（）.

A、A的列向量组线性无关

B、A的行向量组线性无关

C、A的列向量组线性相关

D、A的行向量组线性相关

标准答案：C

知识点解析：齐次线性方程组Ax=0有非零解，其充分必要条件是r（A）Vn,从而

知A的列向量组线性相关.故选C.

10、设Cl],（X2，。3，04为n维向量组，则该向量组的所有向量均可以被其部分向

量ai，g,013线性表示是囚，。2，a3构成该向量组最大无关组的（）.

A、充分但非必要条件

B、必要但非充分条件

C、充分必要条件

D、既非充分也非必要条件

标准答案：B

知识点解析：ai，a2,。3要构成向量组的一个最大无关组，必须具备两个条件：一

是ai，a2,013为线性无关组，二是囚，a2，a3可将四，（12，013,04中的所有向量

线性表示.因此，是必要但非充分条件，故选B.

11、己知言，々为非齐次线性方程组Ax=b的两个特解，若Cim+Czh仍然是方程

组Ax=b的解，则Ci，C2应满足条件（）.

A、Ci，C2为任意常数

B、Ci>0,C2>0

C>C|+C2=0

D、C|+C2=1

标准答案：D

知识点解析：由题设A&=b,A/二b,将C©+C242代入方程组，有

AC।।+AC2^2=C1b+C2b=（C1+C2）b=b,知若C&+C2及仍然是方程组Ax=b的解，

应有C]+C2=1，故选D.

ala\afazalaA

D=ajaiajatala4

T

12、设ai，a2,。3为3维列向量，则鬲gala?aja3#0(其中ai(i=l

2,3）为向量5的转置）是ai，a2,013线性无关的（）.

A、充分必要条件

B、充分但非必要条件

C、必要但非充分条件

D、既非充分也非必要条件

标准答案：A

a!

=al（a：，小）

O3

aleriala2ala»

—iia'a?a!a3

知识点解析：记A=（ai，012，C13）,由A’Aalaial02aiaJ从而有

a-aia：aala?

ajatala2al03

2

用a鬲a出6=|ATA|=|A|,于是，ai，a2,（13线性无关的充分必要条件是

ai'a；a!a上alon

D=alaa?a；aj小

afaj

A|#0,而|A|#）的充分必要条件是a'a)aTfl饱#0,故选A.

13、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*#0,若考及，小是非齐次线性方程组Ax=b

的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=O的基础解系（）.

A、不存在

B、仅含一个井零解向量

C、含两个线性无关解向量

D、含三个线性无关解向量

标准答案：B

知识点解析：由A）0,知r（A*）Nl，故r（A心n-l,又因方程组Ax二b有互不相等

的解&,3，自3，知r（A）Vn,从而r（A尸n-l,因此，方程组Ax=0的基础解系含

n—（n—1）=1（个）线性无关解向量，故选B.

二、计算题（本题共〃题，每题1.0分，共77分。）

1—aa000

—11-aa00

0-11-aa0•

00-11-aa

14、计算行列式D5=000-11-a

标准答案：将各行加至第5行，再按第5行展开，有

1—aa0001-aa000

-11-aa00-]一aa00

5=0—11—aa0=0—11-aa0

00"11-aa00-11-aa

000—11-a-a0001

—(—1)5+Ia5+D4=(—l)5a5+D4=—a5+[(—l)4a4+D3]=_a5+a4+[(—l)3a3+D2]=_a5+a4

—a3+(—l)2a2+Di=—a5+a4—a3+a2—a+l.

知识点解析：暂无解析

100100

B=0010-21

15、设01005-2A=C】BC.求A101

标准答案：由矩阵乘法的结合律，有A"1二C「Bmc.其中，由B?

100100

>>0011001

01ojI3若记C1=(5-2),则Cl

o1o)=E,B=B,知BI°I=B.

2I

二点（一;52

从而有

100

7：c°r0

052因此，A101=C-,BC

100(00

0:0口¥1

05110\05-2

1000100

020-208-3

055讣021-8

知识点解析:暂无解析

1一1一1-1

—11-1-1

-1-11-1

16、设A=,求Al

1-1-11(4000

-11-10400

-1一]-0040

标准答案：由A?-1110004

=22E.A3=22A.…所以，当n=2k(k=l,2,3,…)时，An=(A2)k=(22E)k=22kE；

当n=2k+l(k=l,2,3,…)时，An=(A2)kA=(22E)kA=22kA.

知识点解析：暂无解析

120

340

17、设A为3阶矩阵，矩阵B」0o1,且满足(A—E)「=B*—E,求L

标准答案：等式两边左乘A-E,得(A-E)(B*-E)=E,即AB"-B*-A+E=E,从

而得A(B*—E)=B".由于旧|=一2和，可知B可逆，且B*可逆，所以A=B*(B*—E)

110

=E$=

i3。

一1,故AL(B*-E)(B：')r=E-(B*)r00

知识点解析：暂无解析

136】

258

18、设A=479,A=E3(2(k))BE4(2i(-2)),k为非零常数，求B.

标准答案：根据初等矩阵的运算性质，有E3(2(k)尸E(2(l?)),E4(21(-2))=E(21(-

8)),E-1(2(k3))=E(2(k-3)),E-1(21(-8))=E(21(8)),从而有8=值(2*))「

1A[E4(21(-2))]-1=E(2(k-3))AE(21(8))

1361-1-8X336

2k35A-38尸E(21(8))=%T+8X5尸5Q38Q3

47944-8X779

2536

42M5月8k-1•

6079

知识点解析：本题计算过程中用到初等矩阵的鼎运算和逆运算的性质，即

Em(i(k))=E(i(km)),Em(ij(k))=E(ij(mk)),E-1(i(k))=E(i(k!)),E-1(ij(k))=E(ij(-

k)).

19、设列向量组pi，例，例可以被列向量组⑴，a2,a3线性表示，同时，列向量

组丫1，72，丫3可以被向量组P1，例，为线性表示，各自表达式为Bi=ai+2a2+ct3，

p2=-ai+a2+2a3，。3=囚+2。2-3(X3；丫1=仇一邛2-03，丫2=2。1+。2—。3，Y3=p2-

2例.试用向量组⑴，。2，a3线性表示向量组了1，72，Y3，并给出具体表达式.

1-11

=(on.a?a)212

标准答案：由题设，(Pl，。2,饱)I1

3⑺，丫2，Y3)

I2;

=(优，他樵)一21

-1-1一2J从而有(yi，丫2，Y3)

1-10

=3，。3)211

121-2

20

~(CTl皿2)-23

07因此表达式为yi=2ai—2(12,

Y2=3a2+7a3>73=-3a1—3a2+8a3.

知识点解析：暂无解析

10321

-1301-1

«1=，a=•6=,a.=•a=

21752

20、求向量组42146,0的秩和一个最

大无关组.

标准答案:将向量组按列向量排成一个矩阵,并施以初等行变换，(aj,a2,的，

1032110321

-1301-1初等行变换01110

2175200011

04，«5)42146000000=(01，p2»03，04,

。5)，其中非零行数为3,故r(ai，(12，013,04,as)=3»巾，。2，削是向量组供，

。2，。3，p4»。5的一个最大无关组,从而知ai，012，04是向量组a”。2，a3，014,

。5的一个最大无关组.

知识点解析：暂无解析

TT

21、确定常数a,使向量组ai=(l,1,a),a2=(l,a,1),a3=(a,1,1)T可以由

向量组I,a),，02=(—2,a,4)T,饱=(—2,a,0),线性表示.

标准答案：eq,a2,。3可以由向量组力，能，饱线性表示，即方程组

xiPi+x2P2+x3p3=ai(i=h2,3)(*)有解，方程组系数矩阵为B=(",例，例)

1-2-2]1-2-2

aa•且B=1aa

40a40=-4(a+2),知当aR—2时，方程组(*)总

有解，即a］，Q?,013可以由向量组。1，仞，伪线性表示.又当a=-2时，r(pi，

p2,饱)=2,r(P),02，03,a2)=3,因此可以排除山，。2,可以由向量组01，

的，饱线性表示的可能性.

知识点解析：暂无解析

X1+J：2+为-0.

“L212+。/3=0，

©+4々+°2为=0•讨论。取何值时，方程组仅有零解，有非

零解，并在a=-2的情况1下求解方程组，并给出通解.

111

1-2a

标准答案：该方程组的系数矩阵为A=I4，A|为范德蒙德行列式，从而有

111

1—2a

|A|=I4«,'=-3(a-l)(a+2),从而知，当aRlJSar—2时，|A|#0,r(A)=3,方

程组仅有零解.当a=l或打一2时，|A|=0,且r(A)V3,知方程组有非零解.当

+12+彳3=°，

X1—2工2—2x3=0,

见+4々+4为=0,对其系数矩阵作初等行变换，得

111][100

A=1—2—2—►011产1=0,

144J、00对应同解方程组为匕2+^=0,解得x=c(0,-

1,1)T，C为任意常数.

知识点解析：暂无解析

23、A=(ai,a2，a3，四)，ai，a2,(13,04均为4维列向量，其中a2，013,04线性

无关，eq—2a2—a3，如果P=a1+012+013+04，求线性方程组Ax邛的通解.

标准答案：由a2，C13,04线性无关，ai=2a2_a3，知r(A)=3,对应齐次方程组

1

-2

1

Ax=0的基础解系由一个无关解构成，乂由a1-2a2+a3+0a4=A。=0,知(1,一

2,I,(J),为方程组Ax=0的一个无关解，即为Ax=0的一个基础解系.同时，

1

1

1

ai+a2+a3+o4=A1=p,知(1,1,1,1)1为方程组Ax=0的一个特解，故原方程组的

通解为x=C(l,-2,1,0)T+(l,1,1,1)T,C为任意常数.

知识点解析：暂无解析

工1+#2+#3=0.

JC\+2x2+5=0，

力+4工2+。泊=0与方程(口)x]+2x2+x3=a—1有公共

解，求a的值及所有公共1解.

X\+工2+13—0，

Ji+2JC+5=0.

（ni）s2

JC\4-4X2+a"=0,

标准答案：解法1联立方程组求解.两方程组联立©+2大2+=a-L对

方程组（HI）的增广矩阵施以初等行变换，有

1110101—a

12