考研数学（数学二）模拟试卷301

考研数学(数学二)模拟试卷301

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共g分。)

I、：?十一°时f(x)=tanx-n(l+sinx)与k”是等价无穷小量，则

A、-2,n=2

B、&=%=2

,I

C、3

D、A=5=3

标准答案：B

苦£解北I?臂必达法贝:计算如下含有待定正整数n的极限，可得

…不=lira------I-!______co>uc\

-Hu，l.sinj

=lim---------।-----------i-n।+*in*-cos'x

•oCOS*A(I+Hinx)x-^0-I-

x

n(n-|)x"-2

0.0<n<2.

,II

ni(H-|,“=2,

00•n>2,4a-L

选B.故2n=2.即应

.7(x)=X00

2、设函数I

*=0则x=0是心)的

A、可去间断点.

B、跳跃间断点.

C、第二类间断点.

D、连续点.

标准答案：B

：lim=+«.lirne'=0

知识点解析：注意—我们可得

lim/(x)=lim---------=0

♦-*-*<>♦7

tI♦r

=lim-=---=I

•因此按间断点分类的规定，x=0是f(x)的跳跃间断

点.应选B.

3、设函数f(x)在(-8,+8)上连续，且分别在(一8,0)与(0,+8)上二次可导，其

导函数.f'(x)的图像如图(1)所示,则f(x)在(一8,

A、一个极大值点与两个拐点.

B、一个极小值点与两个拐点.

C、一个极大值点，一个极小值点与两个拐点.

D、一个极大值点，一个极小值点与三个拐点.

标准答案：D

知识点解析：设a,b,c,d各点如图(2)所示，由题设可得下表:

⑵

<“a(〃,0)0(0.6)b(6,<)rd>d

1.1

八八,0•X0+++

小)—一-X+0一0

J./(丫)

t四极大值1凸拐点1凹极小值1四拐点1凸拐点1巴

(注意，表中对应于X=X0处注有“拐点”是指对应的点(X0，f(xo))为曲线尸f(x)的一个

拐点.)这表明函数f(x)订一个极大值点，一个极小值点以及三个拐点，结论D正

确.

4、反常积分dx

A、收敛，且取值为零

B、收敛，且取正值

C、发散

D、收敛，且取负值

标准答案：C

知？点解析：!收学定义是/。/⑴-与⑴山均收敛,且

（：/（、）<—:./⑴⑺爪用分部积分法计算可得：当同时，有

,6]卜I八

=—«*'（i=k[e"”iM，・C，）♦I]|imfrSin.rdx

九2。2于是A…J”

存在=L发散一原积分发散，故应选c.

5、设/⑺…），则在[o,+8）上

A、既有最大值，也有最小值.

B、无最大值，但有最小值.

C、有最大值，但无最小值.

D、既尢最大值，也尢最小值.

标准答案：C

知识点解析：求导数分析其单调性，由于

>0,(x+I)2<2即

r>o.ocx<-I

/'")=o.x=72-I,

l<0.,t>^-1.又'一一的增减性如右图，因

此f(x)在［0,+8）有最大值/（后7），无最小值.故应选C.

6、设函数f（u）具有连续导数，且方程x—z二yf（z?—X2）确定隐函数z=z（x,y）,则

2更7包=

dxby

A、X

B、y

C>一x

D、一y

标准答案：A

知识点解析：记U=z2—x2,利用一阶全微分形式不变性，将方程两端求全微分得

dx-dz=f(u)dy+yf(u)du=f(u)dy+yf(u)d(z2一x2)=f(u)dy+2yf(u)(zdz一xdx),解出

I4Zxyf\u)_f(u),

llz，,

dz,得1+2yx/(u)1+＞从而

dz_dz^z+u)+必u)_x_+2xyzff(u)

桁'd)1+2何'(“)I+2^f'(n)”故应选A

7、设A是mxn矩阵，且方程组Ax=b有解，则

A^当与Ax=b有唯一解时，必有m=n.

B、当Ax=b有唯一解时，必有r(A)=n.

C、当Ax=b有无穷多解时，必有m

D、当人乂=6有无穷多解时，必有r(A)

标准答案：B_

知识点解析：方程组Ax=b有唯一解or(A)=r(A)=4的列数，所以B正确.注

意方程组有唯一解不要求方程的个数m和未知数的个数n必须相等，可以有

—+N=0，

卜一>=I.

m>n.例如"-2'=2方程组Ax=b有无穷多解==r(A)〈人的列数.当方

程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不必求秩r(A)必

卜…=2.和二：

小于方程的个数，例如［3,+=3

8.下列矩阵中不能相似对角化的是

III-

022

A、L。03-

■1Ir

222

B、L333

123'

0I2

C、-。0।

I23

D、>-233-

标准答案：C

知识/解晶A〜AoA有n个线性尢关的特征向出记C项的矩阵为C,由

A-I-2-3I

|A£-C|=A-I-2I=(A-I)3

A-ll可知矩阵C的特征值为1=1(三重

「0-2-31

r(E-C)=r00-2=2.

根)，而L°°0」那么n—r(E—C)=3-2=l.说明齐次线性方

程组(E—C)x=0只有一个线性无关的解，亦即入=1只有一个线性无关的特征向量，

所以C不能对角化.故选C.

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

、江lim[-----――-♦------------♦•••♦rl.x=0,

9、设(n*2)2("+“)”则f(x)=.

e*,,x00

/<*)=|•

标准答案：XS°

2»x>x2lia11♦2n.+/1""

知识点解析：当x#)时，由।伫知•曲♦―才一)是“严”型未定式，故

当x=0时,应用定积分

—!!—]

(n♦n)2I

Xlin.i—=f'=>>=；

■-**£\*nJ。(】♦》)？I+*o2

定义求极限，有l力于是

e'a*K0.

10、x轴上方的星形线：/♦/=M-]w，wI)与*轴所围区域的面积

S=.

3

标准答案：16“

知识点解析：x轴7t9的星形线表达式为

y-(I-x1)T(-I<x<1).

>>xT工ai.m.flW,

=(1-xh^d*=2j\lT7y

-x)dx*=in—TT2Icosf•3sin%o-dr

x=ninJfJ0

=6)co»4r(I-cob*/)dr=6j(cos4r-cos，)北

3•I•5•3•I\'n

6,

4•2-6^4-1)~2

11、设yfin,x,则y⑻二

—2,'1co»[2x4cos4x+

标准答案：1T)*T(2

sin*x=(!_.；os2x)=I-2cos2x+cos'2x)

:-------cos2x+—(1+COS4JT).

知识点解析：先分解428由归纳法，有

(cosax),=-a^inax=acQs(ax+学).

\tf2•/TT

cosax)="a3叫ax♦—=a'cos(ax♦ir)

(cow)1"=a"cos(fix+与.厂11严'=_彳"(co»2x)a+—(co*4x)<M)

十是28

,

=-2--COB(2X♦y)*y4-'co^4x+野

12、曲线'二工G的凸区间是________.

标准答案：(-8,-3).

知识点解析：本题主要考查曲线凹凸性的概念以及利用二阶导数的符号判定曲线的

/=上-----J=-一七

3r(3r)2(3+x)^*

(3r)e'(3+x)2-2(x+2)(3+_(/+4*+5)/

凹凸性.不难求得(3+*)4(3一)3于是当

xG(-oo,一3)时y<0,当x€(—3,+oo)时y>0.由此可见曲线的凸区间是(一

co,-3).

13、设x=FcosO,y=rsinO.则直角坐标系xOy中的累次积分‘产L可

化为极坐标系(r,0)中的累次积分是.

标准答案：片

fd«(/(//+)dy1fl/(，/.♦/)do

知识点解析：设累次积分J。％对应的二重积分为2则积

分区域"=I("。)I。w*s2」《yw瓜1如图.令x=rcos0,y=rsin0,在极坐标系(r,

0)中，尸x的极坐标方程是"二3的极坐标方程是°=Tx=2的极坐标方程是

00|-

8=030，

14、已知Lo0」又矩阵A和B相似，A*是A的伴随矩阵，则|A*+3E

标准答案：27

A0-I

|八£-6|=0A-30=（A-3］（A2-4）

知识点解析：由-40A可知矩阵B的特征值为

2,3,-2,又由矩阵A〜B知矩阵A的特征值亦为2,3,—2.故IA|=23（一

2）=-*12.那么，A*的特征值为6,—6,—4,从而A*+3E的特征值为9,一3,

一1.于是IA*+3EI=9.（一3）.（—1）=27.

三、解答题（本题共18题，每题1.0分，共18分。）

------r.X<0.

/(X)=47

15、设尸',x>0.求”⑴心

标准答案：用拼接法.当x<0时

2arctan*—,xW0,

x>0时W…R'c现令x,…其中Co满足

(-4"。-"♦Co)I=2arrlan♦即Co=.

I3"1"。2,=03因此

2art-lan-y,xW0,

J/(*)<1.<-C♦

LW，2°•其中c是一个任意常数.

知识点解析：暂无解析

愣>-LarctanJ号卜C

标准答案：其中C是一个任意常数.

知识点解析：暂无解析

标准答案：在［0,兀］上连续，故一定存在原函数.由于‘w(号)在

*二学无定义，上述(II)中实质上只是分别求得“€1°片卜一口用的原函数.令

""11♦C。二当X曰0,兀］时F(x)就是f(x)在［0,汨上的一个原函数.由(H)知当

xe【0口〜)=喑)I*=Cretan/啕jr

।.21时V2\IoJ2।々J当一工时求极限即得

*RM贵卜3-1•卜;V%i"(第综合即得

-I々厂"2

知识点解析：暂无解析

I/<«)-X)

⑴设f(x),g(x)在(a,b)可微,g(x)#O,/'(*)g'(*)

18、存在常数C,使得f(x户Cg(x)(VxW(a,b))；

标准簟案：即证f(x)/g(x)存⑶b)为常数.由

Il/(x)小)

?=0(Vxe(a.b))

K(<)lycx)/(*)一RX)/g(X)在(a,b)为常数，即三常数

》快二c,即/c)=ac)(Yxe(a.//))

c,使黑⑺

知识点解析：暂无解析

19.设取)在(一co,+00)二阶可导，且f(x)W0,f(x)>0(xG(—oo,+00)).求证：f(x)

为常数(Vxe(—oo,+00)).

标准答案：只需证必尸0(1《(-8,+8))若

/,(1)=。=九…(-％,+为)•/'(%)=0类似于凹因数性质，有，

/(X)、/(")♦/(町)(一町)(VlW(-8.+8))当f'(xo)>O时，=JTJ⑴=+8当

f(xo)<O时B,则"')-*8,均与f(x)<O(xG(一oo,+co))矛盾.因此f(x)=0(Vx),即

f(x)为常数(Yx).

知识点解析：暂无解析

一质量为M、长为Z的均匀杆AB吸引着一质量为m的质点C,此质点C位于杆

AB的中垂线上，且与AB的距离为a.试求：

20、杆AB与质点C的用互吸引力；

I八

\

一\I」

A〃'-'/5~*

标准答案：⑴假定杆AB与质点C的位置如图所示，根据

对称性，引力F是沿y地负方向的.由于杆AB的线密度为M/L于是，位于

[x,x+dx]上微元的质量即为7小，它与质点c的引力在y轴方向的分力为

d।rsA.m；ilfdxy■a■—.

f)+一

(其中.=<56,见分图)

।4-"1因此，引力的大小为

*aalxn，2kam.Uai^c2t.

-----------Jo

F=细曳「一—二号.in&rmnE=-2乎

1al2aa/4j_77其中k为引力常数.

知识点解析：暂无解析

21、当质点C在杆AB的中垂线上从点C沿y轴移向无穷远处时，克服引力所做

的功.

(2km

标准答案：根据⑴中的计算，当质点C位于坐标y处时，引力的大小为‘k'4/小

hy石E」・▼（守

令-=XI

J2kmMp

丁J"彳

2AmW...---I-2kmM."ZMVF+/

于是所求功为-o-*"一«—一

知识点解析：暂无解析

-(2X、2♦।)

22、设u=f(xy)满足而力求u=f(xy),其中F(t)=l当厚0时有二阶连

续导数.，

标准答案：对u=f(xy)求偏导有:；=，"而怒二八⑴、"八⑺由条件

—tf''(l)ir(l)=(2l2|l)ci2.这是二阶线性方程，可降阶的.直接改写成

22

(tf(t))=(2t+l)et.积分得…….

rrr

tf'(«)=J(<de♦cdf)♦C|=tr+Ct.

=/«)=/+?.再积分得"')=/…C11nl"+G.因此

r

求得"町)=|edj♦Cj'nIxyIfC2

知识点解析：暂无解析

设D={(x,y)Ix2+y2<l},

/=(in，(J+/尸dxdy

23、将二重积分X化为定积分；

标准答案：作极坐标变爽化二重积分为定积分.令*=位0$0,y=rsinO,贝ljD：

dfffrsinr'dr=2irfrsinr'dr.

0<0<2n,0<r<l.于是J。Jo

知识点解析：暂无解析

24、证明不等式sM>一*(X>0)

标准答案：利用单调性证明不等式.令/⑺=，加'7.*’则f(X)在［0,+8)内有二

阶连续导数，且广⑴—♦首，《加因sinx0)Tf"(x)>0(x>0)T'(x)

在［0,+8)单调上升，f'(x)>f［0)=0(x>0)Tf(x)在［0,+8)单调上升,

f(x)>f(0)=0(x>0),即J…(">。)

知识点解析：暂无解析

25、证明不等式枭5ndkd型<”

标准答案：由题⑴，估计2转化为估计定积分)。.再利用

sinx的不等式(题(II)的不等式及sinxO))来估计这个定积分.由

6令X=r3且两边乘以「一'(八十)<5・上式两

边在［o,1］上积分得/"一曾：2上<”.又

2寸？出=#2乃「-9.=2呜-春.扪心因此

黑一一心即」

165Jo5

知识点解析：暂无解析

26、一容器在开始时盛有盐水100升，其中含净盐10公斤.现以每分钟3升的速

度注入清水，同时以每分钟2升的速度将冲淡的溶液放出.容器中装有搅拌器使容

器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量.

标准答案：设t时刻容密中溶液的含盐量为x=x(t),依题意t时刻容器中的溶液量

为100+(3-2)tr时刻容器中溶液的浓度为心♦(3・2)1因此在储t+加］时间间隔

内，容器中溶液的含盐量改变量二流入溶液的含盐量一流出溶液的含盐量，即

而二万F”当△—()时，得到E…而力="=c

(100+炉(变量分离法求

得)又由题设条件当t-0讨，x-10(kg),由此确定C-l()5,故有

I0510$

x(x)=~---nx(60)

(IOO*t)2(100+6057挑0

知识点解析：暂无解析

设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且g(x)#0”xW(a,b)),求证:

27、对VxG(a.b),3^e(〃,x)使得

［/(x)-/(a)l

'K(«)-r(a)J

标准答案：不妨设g(x)不妨W(a,b)),g(x)在[a,b]连续—g(x)—g(a)〉O考察

F/(x)-/(a)]1t/・(x)[gQ)-〔/(*)-/(a)Jg'(G

-g(a)I[<r(«)-g(«)]2

««)旧，)・4(a)-生。*]/⑴-位]

-------------------------------1£1£>_8⑺Fa)」_*I爪)

[小)-，(")、-<(x)-gM(柯西

中值公式，其中乐(a,K)).(*)

知识点解析：暂无解析

；/'(")|/(x)-/(U)

28、若"⑺在(a,b)单调增加，则月(幻-双。)在(a,b)单调增加.

标准答案：由g(x)案(vO)(xW(a,b)),g(x)在[a,b]连续—g(x)—g(a)>O(〈O)(xW(a,b)

L^l"山>4[及「小)]'>0(—(a6))

由不⑺在(a,b)单调增加，(")g'(f)因此由(*)式U⑴-«)].

/(*)・〃a)

即4(*)-g面在(a,b)单调增加.

知识点解析：暂无解析

已知A是3阶犯阵，ai(i=l,2,3)是3维非零列向量，若Aai=iai(i=l,2,3),令

a=ai+a2+a3

29、证明：a,Aa,A2。线性无关；

标准答案：由Aai=ai，Aa2=2a2,Aa3=3as，且ai,012,013非零可知,ai,a2,a3是A的

不同特征值的特征向量，故ai,a2,a3线性无关.又Aa=ai+2a2+3a3，

A2a=a1+4a2+9a3,若kia+kzAa+k3A%=0,即

k)(ai+a2+a3)+k2(a1+2a2+3a3)+k3(a।+4。2+9a3)=0,贝ij

(k]+k2+k3)ai+(ki+2k2+4k3)a2+(ki+3k2+9k3)a3=0.由⑴,。2,。3线性无关，得齐次线

却♦A♦4=0.

G]♦2k2♦=0.

性方程组勺*3&♦9与=0.因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,所以必

有k|=k2=k3=0,即a,Aa,A%线性无关.

知识点解析：暂无解析

30、设P=(a,Aa,A2a),求P」AP.

标准答案：因为A3(x=ai+8a2+27a3=6a—11Aa+6A2(x,所以AP=A(a,Aa»