考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷28

考研数学三(概率论与数理统计)模拟

试卷28

一、选择题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

1、设A、B为两个随机事件，且BUA,则下列式子正确的是()

A、P(A+B)=P(A)

B、P(AB)=P(A)

C、P(B|A)=P(B)

D、P(B—A)=P(B)—P(A)

标准答案：A

知识点解析：如图3—1—1所示,可见A+B二AUB二A，AB—AnB=B,B—A二

0,于是P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),P(B—A)=P(0)=0,故

选项A正确。C选项只有当P(A)=1时才成立。阳“I

2、设事件A、B、C满足P(ABC)>0,则P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充

要条件

A、P(A|C)=P(A)

B、P(B|C)=P(B)

C^P(AB|C)=P(AB)

D、P(B|AC)=P(B|C)

标准答案：D

知识点解析：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C),只在C发生的条件下，A与B独

立，所以“在C发生的条件下，A发生与否不影响B发生的概率”，即P(B|AC)

=P(B|C),故选D。选项A、B、C分别是A与C、B与C、AB与C独立的充要

条件。

(B)C，口『…掷时出现的概率为()

(A)C：(打，

(D)C3(打。

(C)B(打，

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

第〃次抛掷

(〃・1)次第4次正面向上

共中(A-I)次正面

知识点解析：5一劝次反而依据题意，总共抛掷n次，其

中有k次出现正面，余下的为n—k次反面。第n次必是正面向上，前n—1次中有

n—k次反面，k—I次正面(如上图所示)0根据伯努利公式，所以概率为

以鸟广吟L•5点；弓儿

.0,x<0,

•y,0&%<2,

4、设函数F(x)=1，x=2，则F(x)()

A、不是任何随机变量的分布函数

B、是某连续型随机变量的分布函数

C、是某随机变量的分布函数

D、无法确定

标准答案：C

知识点解析：由函数F(x)的表达式可知，F(x)是单调非减的；F(x)是有界

的；F(x)是右连续的(主要在x=0和x=2这两点处)，即F(x)满足分布因数

的三条基本性质，所以F(x)一定是某个随机变量的分布函数。此外，因连续型

随机变量的分布函数必为连续函数，而F(x)在x=2处不连续，所以F(x)不是

连续型随机变量的分布函数，故选项C正确。

5、设随机变量X〜N(0,1),其分布函数为①(x),则随机变量Y=min{X,

y>0；NO；

(A)F(y)=(B)F(y)=ay

1例y),Hy),

”0。y<o0

Q."0;=Q,<0；

(C)F(y)=(D)F(y)y

y>OoyN0o

A、

R、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：F(y)=P{Y<y}=P{min(X,0)<y}=l—P{min(X,0)>y)=l-

P{X>y,0>y)o当y<0时，P{X>y,0>y)=P{X>y},F(y)=1-P{X>

y}=P{X<y}=O(y)。当yK)时,P{X>y,0>y}=0,F(y)=1,故选项B正确。

101'

1_Lj_

6、设随机变量Xi〜L424」(i=l,2)且满足P{XiX2=O}=l,贝U

P{X]=X2}等于()

A、0

I

B、4

C、2

D、1

标准答案：A

知识点解析：由P{XiX2=0}=l得知,P{XiX2^0}=0o于是根据Xi，X2的分布律,

有P{X1=—1,x2=—1)=0,P{X|=-1,X2=l)=0.P{X|=1,x2=—1)=0,

P{X|=I,X2=l)=0o再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X1，

X2)的联合分布律如下表。

可见，X1=X2有三种情况，每种情况的概率均为0,因此P{X|=X2}=0,故选项A

正确。

7、设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0,1）和N（1,

1）,则（）

（A）p1x+yw0]=yo（B）p{x+ywH=；。

（c）PU-y^oi（D）p；j-r^1|

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：由于X〜N（0,1）与Y〜N（1,1）以及X与Y相互独立，得X

+Y〜N（1,2）,X—Y〜N（―1,2）o因为，若Z〜N（,山o2）,则必有

或=—

P{Z41}二2'2°比较四个选项，只有选项B正确。

8、设随机变量Xi，X2，…，Xn（n＞l）独立同分布，且方差＜?＞（）,记

x=,三乂,则％-k与亍

n*=1的相关系数为（）

A、—1

B、0

1

D、1

标准答案：B

D(X)=—

知识点解析：由于Xi独立同分布，所以D(Xi)=a2,〃，Cov(Xi，

Xj)=0(印1),

Cov(X,-X,X)=Cov(XlJ)-Cov(jJ)=Cov(xq£xJ-O(亍)

=:£cov(X，X)-0(亍)=-：Cov(Xi，M)-D(X)=/-1=(),

故选项B正确。

9、已知随机变量X与Y的相关系数为p且p#0,Z=aX+b,则Y与Z的相关系数

仍为p的充要条件是()

A、a=l,b为任意实数

B、a>0,b为任意实数

C、a<0,b为任意实数

D、a#),b为任意实数

标准答案：B

知识点解析：直接计算Y与Z的相关系数来确定正确选项。由于Cov(Y,Z)

=Cov(Y,aX+b)=aCov(X,Y),D(7)=D(aX+h)=a2D(X),所以

Cov(r,Z)aCov(X,y)

——二"J)/.L.一・

/D(y)/D(Z)/D(Y)VaD(X)

=-ip=p<=>-i—r=1OQ>0

Sla|o选择B。

10、设随机变量Xi，X2,…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且D

(Xi)=1,i=l,2,n,则对任意8>0,根据切比雪夫不等式直接可得()

(A)P{|+Xx,-n1<c}Nl-%(B)P{<+[_%

<小>=。(D)P{|：£x,|<小1-%

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：由题意知E(Xi)=0,i=l,2........no记

X=-几yJrJ|J£(X)=0,D(X)="〃o根据切比雪夫毛等式，有

PIX-E(X)IN1-=1-

{J£故选C。

11、设总体X服从正态分布N(0,,X,s2分别为容量是n的样本的均值和

.尸厂......................./,想是()

(A)华。(B)然

——

(C)%(D)祟

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：根据题设知，Xi〜N(0,o2),

X=:~N(0冉，缪~N(o,l4s

1)次与S?独立，所以

=3~”门-1)。

故选项A正

确。

二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

12、10个同规格的零件中混入3个次品，现在进行逐个检查，则查完5个零件时

正好查出3个次品的概率为。

1

标准答案：20

知识点解析：记A="查完5个零件正好查出3个次品”，现要求的是P(A)的值。

事实上，事件A由两个事件合成：B="前4次检查，查出2个次品”和C="第5次

检查，查出的零件为次品“，BPA=BC,由乘法公式P(A)=P(BC)=P(B)P

(C|B),事件B是前4次检查中有2个正品2个次品所组合，所以P(B)=

C；y=二

C：。10°已知事件B发生的条件下，即已检查了2正2次，剩下6个零件，

其中5正1次，再要抽检一个恰是次品的概率P(CIB)=

/。故「⑷二青春・,。

13、设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为I%和2%,现从由A和B的产品

分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A厂生

产的概率是________。

3_

标准答案：7

知识点解析：设事件A二｛抽到的产品为工厂A生产的),事件B=(抽到的产品为工

厂B生产的｝,事件C=〔抽到的产品是次品｝,则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P

(C|A)=0.01,P(C|B)=0.02,根据贝叶斯公式可知

P(A\c)-?(4C)=PM)・P(>4)

P(C)"P(A)P(ClA)+P(B)P(ClB)

_______0.6x0.01______

:0.6xO.Ol+0.4x0.02

3

-7°

14、设X|,X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，而

1—In.

x~e(i,"y)o记x=则p|^=_L|

2nn(0<k<n)=

标准答案:以打

知识点解析：因为是一次伯努利试验结果,Xi相互独立。所以

X1+X2+…+Xn可以看成n次独立重复试验。即

£赴~小,抒所以p\x=!|=P|nX=M=PI£%=k\=C：(1)4(-l-)'4=C；(A-)\

2

15、已知随机变量Y—N(p,o2),且方程x2+x+Y=0有实根的概率为2,则未知

参数yo

标准答案：7

知识点解析:已知Y〜N(山o2),且P｛方程有实根｝=P｛1—4YK)｝=

中这扑泉即

卜=0="=%

x

16、设平面区域D由曲线y=”及直线产0,x=l,x=e?所围成，二维随机变量

(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2

处的值为o

1

标准答案：了

知识点解析：区域D的面积为

S。=[dxj*dy=[—dx=2。

因此(x,y)的联合概率密度是

10,其他。

且其关于x的边缘概率密度为

I

*I0,其他Q

因此可知人(2)=jo

17、已知随机变量X],X2,…，Xn相互独立，且都服从标准正态分布，Yi=Xj,

YETM,则YT2服从—分布，参数为一。

标准答案：正态；'")

n+12

知识点解析：Y1—Y2=X1—X2+1m所以

Yi—丫2为多个相互独立正态变量和，且服从正态分布。又E(Yi—丫2)=0,D

(几+1>(n-1)2〃-22n+1

-----2+------5-----+----F-=---------9

n

(Yi—Y2)=nnn故丫］一丫2〜

MF。

18、设随机变量X]的分布函数为F](x),概率密度函数为fi(x),且E(Xi)

=1,随机变量X的分布函数为F(x)=0.4Fi(x)+0.6Fi(2x+l),则E(X)

标准答案：0.4

知识点解析：已知随机变量X]的分布函数为F](X),概率密度函数为fl(x),

可以验证Fi(2x+l)为分布函数，记其对应的随机变量为X2,其中X2为随机变

--1

量Xi的函数，且X2=2'记随机变量X2的分布函数为F2(X)。概率密度函

数为f2(x),所以X的分布函数为F(x)=0.4F1(x)+0.6F2(x)两边同时

对x求导得f(x)=0.4f)(x)+0.6f2(x),于是J—ctjExf(x)dx=0.4j_<»+coxf

+o

(x)dx+0.6f_oo°xf2(x)dx,即E(X)=0.4E(XI)+0.6E(X2)=0.4E

0.6E(*；1)

(Xi)+'2l=o,4o

19、己知随机变量X〜N(2,9),Y服从参数为0.5的指数分布，且pxY=—

0.25,则D(2X—3Y)=。

标准答案：90

知识点解析：D(2X—3Y)=4D(X)+9D(Y)—2Cov(2X,3Y)=4D(X)+

9D(Y)一12pxY其中D(X)=9,D(Y)=4,代入得D(2X—3Y)=90。

三、解答题(本题共8题，每题分，共8分。)

20、设有两箱同类零件，第一箱内装5件，其中1件是一等品，第二箱内装5件，

其中2件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取

出2件零件。求：(I)先取出的零件是一等品的概率；(H)在先取出的零件

是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。

标准答案：设Hi表示“被挑出的是第i箱"，i=l,2,则Hi，H2为完备事件组。A

表示“先取的一件是一等品“，B表示“在同一箱中取的第二件是一等品”。(I)由

全概率公式得：P(A)=P(Hi)P(A|HI)+P(H2)P(A|H2)

11123

2525—10'(口)P(B|A)表示的是“在先取出的零件是一等品的

条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率”。由条件概率和全概率公式可得

户⑻4)=>(4)=------------------------PM)-----------------

1n121

3_'6

10

知识点解析：暂无解析

21、从学校乘汽车到火车站的途2有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事

~5

件是相互独立的，并且概率都是。设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X

的分布律、分布函数和数学期望。

标准答案：根据题意X服从二项分布1'5J因此X的分布律为

P\X«kl=C；­(yf-(1-f)3=0,12,3。

X0】23

27至8

P54

125125125125

因此，X的分布函数为

0,x<0,

备。…1,

F(x)=P\X^x\=.125，1近工<2,

12512这万<3,

X的数学期望是E(X)=

a26

3*J=

知识点解析：暂无解析

22、编号为1,2,3的三个球随意放入编号为1,2,3的三个盒子中，每盒仅放一

vrl,i号球落入第i号盒中，..0

个球，令1°，否则，求(xi，x2)的联合分布。

标准答案：先求出Xi的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分

布。如果将3个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为3!=6,

P{Xi=l}=P{l号球落入1号盒}二

令71=1=01=1-j1=0同理,P%=11=\1，P|&=0|=y7,

2.

又P{X1=1,X2=1}=P{1号球落入1号盒，2号球落入2号盒}=3,依次可求得

（X],x2）的联合分布为

01

112

0

263

1111

1

663

21

TT

知识点解析：暂无解析

23、设以X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项（以美元计），以Y表示推

销员一天所得的补贴（以美元计），已知X和Y的联合概率密度为（I）求边缘

概率密度fx（x）,fY（y）；（U）求条件概率密度fYix（y|x）,fX|Y（x|y）；

（HI）求x=12时Y的条件概率密度；（W）求条件概率P{y28|X=12}。

标准答案：（I）如图3—3—5所示

120-x,

于记有切10<X<20,

A(x)=

0,其他；

5<y<10,i(20，nf-2/4-10),5<y<10,

息20吟-

10Cy<20,""-20+r),10Wy<20,

其他」0,其他。

(IT)(1)当10VxV20时，fx(x),0,条件概率密度fYix(y|x)存在。12)

r120-

25(zx-)

2X

万<y<4，

/nx(rl^)=*X

-x)

取其他值。()当

当10VxV20时，有o,y3

5<y<10»E10<y<20,fY(y)和，fx,Y(x|y)存在。当5VyV10时，

25vXf20-Xsr

।------------------------------=-----------------------------,10<x<2y

=愦(201n辛-2y+10)x(201n-^--2y+10)

0,，取其他值。

(4)当10Wy<20时，

J_(一

25'#)=20-4

y<x<20,

Znr(*ly)^(201n--20+v)%(201n--20+

25yvy

0,x取其他值。

fx|Y(x|y)是单个自变量x的函数，y是一个固定值。(ID)当x=12时Y的条件

4式/12)=6<y<⑵

10.其他。

*10

(N)P1y/8|X=12|=[=fo

概率密度为h63

知识点解析：暂无解析

24、假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为

J.p\Y-1!--

P(y=_1}=4''4°求：(I)Z=XY的概率密度fz(z)：(H)

V二|X—Y|的概率密度fv(v)o

1_3_

标准答案：(I)根据题意P{丫=-1}=4,P(Y=1)=4,x〜N(0,1)且X与

Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为Fz(z)=P[XY<z}=P{Y=—

l}P{XY<z|Y=—1}+P{Y=l}P{XY<z|Y=l}=P{Y=-1}P{—Xgz|Y-1)

+P{Y=l}P{X<z|Y=l}=P{Y=-1}P{X>-z}+P{Y=l}P{X<z}

1Q

=:【1-PIX<-z|]Wz}

171Q

=7[1-中(-z)]+7•中(z)=7中(z)+70(z)=中(z),

4444即2=乂丫服从标

准正态分布，所以其概率密度为fz(Z)=(p(z)=(口)由于V=|X—Y|

只取非负值,因此当UV0时，其分布函数FvW(v)=P{|X—Y|<v}=0；当uK)时，

Fv(v)=P{—v<X—Y<D}=P{Y=-*1)P{—v<X—Y<v|Y=—1)+P{Y=1}P{—u<X-

Y<u|Y=l}

i2

=~r~Pi—”—1这XWv—II+P)—v+1wXw&+l|

44

=~-[</>(V-1)-0(-V-1)J+~~[0(V+1)-0(-V+1)]

=-^-0(V—1)—,~[1—0(V4-1)j+■~~0(U+l)-1—0(V—1)J

=0(V-1)+0(V+1)-lo

综上计算可得，

0(t>—1)+0(v+1)—1,uNO,

0,v<0o由

于Fv(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为

占[e-呼+屋+],

A(v)={“v-1)+中(勤+1),v0,hr

0,v<0o

0,v<0o

知识点解析：暂无解析

25、设随机变量X和Y的概率分布分别为

X0

P12

33

I

111

Pp

TT3,，

P(X~=Y~)

=lo(I)求二维随机变量(X,Y)的概率分布;(U)求Z=XY的概率分

布；(m)求x与Y的相关系数PXY。

标准答案：(I)由丁P(X2=Y2)=1,因此P(X2^Y2)=OO故P(X=O,Y=D

=0,可知P(X=l,Y=l)=P(X=l,Y=l)+P(X=0,Y=l)=P(Y=l)=3。再

由P(X=l,Y=0)=0可知P(X=0,Y=0)=P(X=l,Y=0)+P(X=0,Y=0)=P

1

(Y=0)=3„同理，由P(X=O.Y=—1)=0可知P(X=l,Y=-1=P(X=l,

1

Y=—1)+P(X=0,Y=-1)=P(Y=-1)=3。这样，就可以写出(X,Y)的

联合分布如下：

X

-10i

i

00T0

i

1

T0T

n)Z=XY可