正多边形与圆课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

30.3正多边形与圆学习目标课时讲解1课时流程2正多边形及其有关概念正多边形的有关计算正多边形的画法逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点正多边形及其有关概念11.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.2.圆的内接正多边形和外切正多边形：只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆.知1－讲感悟新知3.与正多边形有关的概念名称定义图形中心正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心半径正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半径中心角正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角边心距正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距知1－讲感悟新知

感悟新知知1－讲拓宽视野任意多边形不一定有外接圆和内切圆，任意正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆..感悟新知知1－讲特别提醒边心距和弦心距的区别与联系：边心距是正多边形的中心到正多边形的一边的距离，此时边心距可以看作正多边形外接圆的弦心距，而弦心距是圆心到圆中任意一条弦的距离，不能把弦心距看成边心距.知1－练感悟新知如图30.3-1，△AOB是正三角形，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，直径FC∥AB，AO，BO的延长线交⊙O于点D，E.求证：六边形ABCDEF为圆内接正六边形.例1思路导引：知1－练感悟新知知1－练感悟新知证明：∵△AOB是正三角形，∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，OB=OA.∴点B在⊙O上.∵FC∥AB，∴∠FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.∴AB=BC=CD=DE=EF=FA.∴AB=BC=CD=DE=EF=FA.∴六边形ABCDEF为圆内接正六边形.⌒⌒⌒⌒⌒⌒知1－练感悟新知1-1.如图，

△

ABC

是⊙O的内接等腰三角形，AB=AC，∠

BAC=36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，连接EA，EB，DA，DC，求证：五边形AEBCD是正五边形.知1－练感悟新知知1－练证明：∵在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°.∴∠BAC=∠DBC=∠ABD=∠ACE=∠BCE.∴BC=CD=DA=AE=BE.∴BC=CD=DA=AE=BE.∴五边形AEBCD是正五边形.⌒⌒⌒⌒⌒感悟新知知2－讲知识点正多边形的有关计算2与正n

边形有关的计算公式(正n

边形的半径为R，边长为a，边心距为r)：感悟新知知2－讲名称公式内角正n

边形的每个内角都为

中心角正n

边形的每个中心角都为外角正n

边形的每个外角都为半径、边长、边心距的关系R2=r2+()2周长正n

边形的周长l=na面积正n

边形的面积S=ar·n=lr感悟新知知2－讲图示(以正六边形为例)内角：α==120°中心角等于外角：β=γ==60°半径、边长、边心距的关系：R2=r2+()2周长：l=6a面积：S=lr知2－讲感悟新知

感悟新知知2－练已知正六边形ABCDEF的半径为6，求这个正六边形的边长a6，周长l6

和面积S6.例2

解题秘方：构造特殊三角形解正多边形的方法在解决有关正六边形和正方形的计算问题时，往往体现在作相邻两条半径使其与边分别构成等边三角形和等腰直角三角形.知2－练感悟新知

知2－练感悟新知2-1.如图，正方形ABCD是半径为R

的⊙

O

的内接四边形，R=6.求正方形ABCD

的边长和边心距.知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

感悟新知知3－讲知识点正多边形的画法3要作半径为R的正n

边形，只要把半径为R的圆n

等分，然后顺次连接各等分点即可.具体画法有以下两种：感悟新知知3－讲依据：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等画法一：用量角器画出一个圆心角，再用圆规顺次等分圆周如右图所示，

在半径为R

的圆中先用量角器画一个等于

的圆心角，这个角所对弧的长度就是圆周长的，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n

等分点，顺次连接各等分点，从而作出半径为R

的正n

边形感悟新知知3－讲依据：在同圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等画法二：仅用尺规等分圆周正四边形、正八边形的作法如右图①所示，在⊙

O

中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把⊙

O

四等分，顺次连接各等分点，从而作出正四边形；再用直尺和圆规分别作与正四边形相邻两边垂直的直径，就可以作出正八边形，如右图②所示感悟新知知3－讲依据：在同圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等画法二：仅用尺规等分圆周正六边形、正十二边形、正三角形的作法如右图①所示，先画⊙

O

的任意一条直径AB，再分别以点A，B为圆心，以⊙

O

的半径R

为半径画弧，与⊙O相交于点C，D和E，F，顺次连接点A，C，E，B，F，D，A，得正六边形ACEBFD；在正六边形的基础上可作正十二边形，如右图②所示；如右图③所示，在正六边形的基础上，连接BD，BC，CD，得正三角形O知3－讲感悟新知特别提醒1.画法一是一种简单且常用的方法，但当边数很大时，容易产生较大的误差.2.画法二是一种精确等分圆的方法，但有很大的局限性，它不能将圆任意等分，只限于一些特殊的正多边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正十二边形、正三角形等.感悟新知知3－练作一个正三角形，使其半径为0.9cm.例3

解题秘方：用量角器画时，应先求出中心角；用尺规画时，则先考虑等分圆.解：作法一

(1)作半径为0.9cm的⊙O；(2)用量角器画∠AOB=∠BOC=120°，其中A，B，C均为圆上的点；(3)连接

AB，BC，CA，则△ABC

为所求作的正三角形,如图30.3-3所示．知3－练感悟新知作法二

(1)作半径为0.9cm的⊙O；(2)作⊙O的任一直径AB；(3)以B为圆心，以0.9cm为半径作弧，交⊙O于点D，E；(4)连接AD，DE，EA，则△ADE为所求作的正三角形，如图30.3-4所示.知3－练感悟新知知3－练感悟新知3-1.如图，用等分圆周的方法作出⊙O

的内接正八边形.解：如图所示.作法如下：(1)画两条互相垂直的直径AB，CD;(2)连接AC，BC，过点O分别作AC和BC的垂线，分别交⊙O于点E，F，G，H;(3)顺次连接点A，E，C，G，B，F，D，H，A，得到的多边形AECGBFDH就是所求作的⊙O的内接正八边形.知3－练感悟新知正多边形与圆正多边形与圆中心正多边形的有关计算正多边形的画法正多边形的有关概念正多边形的有性质半径中心角边心距题型正多边形与圆的有关计算1

例4解题秘方：紧扣正多边形周长的计算公式，将正多边形问题转化为三角形问题是解题的关键.

解题策略正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个顶点构造直角三角形，再利用勾股定理求解.题型正多边形与圆的有关证明2[新考法

构造“隐圆”法]如图30.3-6，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.求证：AC∥ED.例5思路导引：

另解由正五边形的内角和可得，∠D=∠BCD=∠ABC=108°.∵AB=BC，∴∠ACB=36°，∴∠ACD=72°.∴∠ACD+∠D=180°.∴AC∥ED.题型多边形与圆的探究性题3[新考法

构造全等三角形法]如图30.3-7，点M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，内接正方形ABCD，内接正五边形ABCDE，…，内接正n边形ABCDEFGH…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON.例6思路导引:(1)求图30.3-7①中∠MON的度数；解：如图30.3-7①，连接OB，OC.易知OB=OC，∠BOC=120°，∠OBM=∠OCN=30°.又∵BM=CN，∴△OBM≌△OCN(SAS).∴∠BOM=∠CON.∴∠MON=∠BOC=120°.(2)图30.3-7②中∠MON的度数是_____，图30.3-7③中∠MON的度数是_____；90°72°

(3)试探究∠MON的度数与正n

边形的边数n

之间的关系.

解题通法解此题时，关键是对未知角先进行分析，再通过三角形全