2023-2024学年天津市河北区高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年天津市河北区高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列命题中，正确的是（）A．|a→|＝1⇒a→=±1 B．|a→|＝|b→|且aC．a→=b→⇒a→∥b→ D．a2．（4分）以3i−2的虚部为实部，以3i2+2A．3﹣3i B．3+i C．−2+2i 3．（4分）直线a不平行于平面α，且直线a⊄α，则下列结论成立的是（）A．α内的所有直线与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内存在唯一的直线与a平行 D．α内的直线与a都相交4．（4分）如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是如图中的（）A． B． C． D．5．（4分）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3A．6πm2 B．63πm2 C．336．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=29，b＝3，c=22，则A．π6 B．π4 C．237．（4分）如图，在复平面内，复数Z1，Z2对应的向量分别是OA→，OB→，则|Z1﹣ZA．2 B．3 C．22 D．338．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2cosAsinB＝b2sinAcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形9．（4分）点M，N，P在△ABC所在平面内，满足MA→+MB→+MC→=0→，|NA→|＝|NB→|＝|NC→|，且PA→•A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心 C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心10．（4分）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD＝1km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则AB两点距离是（）A．33km B．10−22km C．15−二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上.11．（4分）已知i是虚数单位，化简5(4+i)22+i12．（4分）一个正方体的表面积为96，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是．13．（4分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝2，B=π3，cosA=13，则14．（4分）已知向量a→=(m，2)且m≠0，b→=(3，1)，若向量a→与向量b→的夹角是120°，则m的值是15．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为，四棱锥M﹣EFGH的表面积是．三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（8分）设x，y∈R，向量a→=(x，3)，b→=(6，y)，c→（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）求(a→+（Ⅲ）已知点A（1，﹣2），若向量AB与a→共线，|AB→17．（10分）已知复数z＝（a2+a﹣2）+（a2﹣7a+6）i，其中a∈R．（Ⅰ）若z∈R，求a的值；（Ⅱ）若z是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若z=18+6i，求a（Ⅳ）若z对应的点在第一象限，求a的取值范围．18．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝5，∠BAD＝60°，点M为BD的中点，点N为AD边上的动点，AM，BN相交于点P，设AD→=a（Ⅰ）若点N为AD边上的中点，（i）用a→，b→表示AM→（ii）求AM→⋅BN→，|AM（Ⅱ）求BN→19．（12分）已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＞b，a＝5，c＝6，△ABC的面积是9．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinA的值；（Ⅲ）求cos(2A−π

2023-2024学年天津市河北区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列命题中，正确的是（）A．|a→|＝1⇒a→=±1 B．|a→|＝|b→|且aC．a→=b→⇒a→∥b→ D．a【考点】平面向量的概念与平面向量的模．【答案】C【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、由向量模的定义可得A错误；对于B、由向量模的定义以及向量平行的性质可得B错误；对于C、由向量相等的定义分析可得C正确；对于D、由0→的性质，分析可得D【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、|a→|＝1，即向量a→的大小为1，a→对于B、|a→|＝|b→|且a→∥b→，说明向量a→、b→平行且模相等，则对于C、a→=b→，即向量a→、b→相等，其方向相同，必有对于D、a→∥0→，0→与任何向量共线，不能推出|a故选：C．2．（4分）以3i−2的虚部为实部，以3i2+2A．3﹣3i B．3+i C．−2+2i 【考点】虚数单位i及其性质．【答案】A【分析】求出复数的实部与虚部，写出结果即可．【解答】解：3i−23i2+2i即﹣3+2所求复数为：3﹣3i．故选：A．3．（4分）直线a不平行于平面α，且直线a⊄α，则下列结论成立的是（）A．α内的所有直线与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内存在唯一的直线与a平行 D．α内的直线与a都相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】B【分析】由直线a不平行于平面α，且直线a⊄α，知α内的所有直线与a异面或相交，α内不存在与a平行的直线．【解答】解：∵直线a不平行于平面α，且直线a⊄α，∴直线a与平面α相交∴α内的所有直线与a异面或相交，故A与D不成立；α内不存在与a平行的直线，故B成立，C不成立．故选：B．4．（4分）如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是如图中的（）A． B． C． D．【考点】平面图形的直观图．【答案】C【分析】利用直观图根据斜二测画法的规则在直角坐标系作出原图，由此能求出结果．【解答】解：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点，再由平行于x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图可知选C．故选：C．5．（4分）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3A．6πm2 B．63πm2 C．33【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】B【分析】根据题意作出圆锥轴截面图象，根据图象求出圆锥底面半径r和母线l，根据侧面积公式πrl即可求解．【解答】解：作出该圆锥截面，如图，由题意，底面半径r＝3m，母线l=rsinπ3侧面积S＝πrl=π×3×23=63m故选：B．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=29，b＝3，c=22，则A．π6 B．π4 C．23【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】D【分析】由已知结合余弦定理可求出cosA，进而可求A．【解答】解：因为a=29，b＝3，c=2由余弦定理得，cosA=b由A为三角形的内角可得，A=3π故选：D．7．（4分）如图，在复平面内，复数Z1，Z2对应的向量分别是OA→，OB→，则|Z1﹣ZA．2 B．3 C．22 D．33【考点】平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则．【答案】C【分析】结合所给的图形可得Z1＝﹣2﹣i，Z2＝i，再利用两个复数代数形式的减法法则和向量的模的求法求得|Z1﹣Z2|的值．【解答】解：在复平面内，复数Z1，Z2对应的向量分别是OA→，OB→，结合所给的图形可得Z1＝﹣2﹣i，Z2＝则|Z1﹣Z2|＝|﹣2﹣2i|=(−2)2故选：C．8．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2cosAsinB＝b2sinAcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形【考点】正弦定理．【答案】C【分析】利用正弦定理化简，整理后得到sin2A＝sin2B，进而得到2A＝2B或2A+2B＝π，即可确定出三角形形状．【解答】解：已知等式利用正弦定理asinA=bsinB，化简得：ba2cosA＝ab整理得：acosA＝bcosB，即sinAcosA＝sinBcosB，∴2sinAcosA＝2sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B=π则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：C．9．（4分）点M，N，P在△ABC所在平面内，满足MA→+MB→+MC→=0→，|NA→|＝|NB→|＝|NC→|，且PA→•A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心 C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【解答】解：∵MA→+MB设AB的中点D，则MA→∴C，M，D三点共线，即M为△ABC的中线CD上的点，且MC＝2MD．∴M为△ABC的重心．∵|NA→|＝|NB→|＝|∴|NA|＝|NB|＝|NC|，∴N为△ABC的外心；∵PA→•PB→=∴PB→•（PA即PB→⋅CA→=同理可得：PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心；故选：B．10．（4分）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD＝1km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则AB两点距离是（）A．33km B．10−22km C．15−【考点】余弦定理．【答案】C【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin∠CAD的值，根据正弦定理可求AC=CD⋅sin60°sin75°=32−62，在△BCD【解答】解：在△ACD中，∠CAD＝75°，sin75°＝sin（45°+30°）=2可得AC=CD⋅sin60°在△BCD中，∠CBD＝45°，BC=CD⋅sin30°在△ABC中，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos60°=5(4−23)4故选：C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上.11．（4分）已知i是虚数单位，化简5(4+i)22+i的结果为38+【考点】复数的除法运算．【答案】38+i．【分析】根据复数的乘法和除法进行运算即可．【解答】解：原式=5(16+8i−1)故答案为：38+i．12．（4分）一个正方体的表面积为96，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是323π【考点】球的体积和表面积．【答案】323【分析】由已知求解正方体的棱长，可得其内切球的半径，代入球的体积公式得答案．【解答】解：设正方体的棱长为a，由题意，6a2＝96，得a＝4．∴该正方体内切球的半径为2，则此球的体积是43故答案为：32313．（4分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝2，B=π3，cosA=13，则b＝【考点】正弦定理．【答案】36【分析】由已知先求出sinA，然后结合正弦定理即可求解．【解答】解：因为a＝2，B=π3，则sinA=2由正弦定理得，asinA则b=asinB故答案为：3614．（4分）已知向量a→=(m，2)且m≠0，b→=(3，1)，若向量a→与向量b→的夹角是120°，则m的值是−23【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】−23；(−【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：向量a→=(m，2)且m≠0，则a→⋅b→=故cos120°=a→⋅b→向量a→在向量b→上的投影向量的坐标是：故答案为：−23；(−15．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为112，四棱锥M﹣EFGH的表面积是3+1【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】112；3【分析】由正方体的结构特征可知，四棱锥M﹣EFGH是正四棱锥，其底正方形EFGH的边长为22，高为1【解答】解：由题意可知，EG＝1，四棱锥M﹣EFGH是正四棱锥，∴正四棱锥的底正方形EFGH的边长为22，高为1∴四棱锥M﹣EFGH的体积为：V=1又∵四棱锥M﹣EFGH的侧面是边长为22∴四棱锥M﹣EFGH的表面积是(2故答案为：112；3三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（8分）设x，y∈R，向量a→=(x，3)，b→=(6，y)，c→（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）求(a→+（Ⅲ）已知点A（1，﹣2），若向量AB与a→共线，|AB→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】（Ⅰ）x＝2，y＝﹣4；（Ⅱ）﹣26；（52，78）；（Ⅲ）（5，4）或（﹣3，﹣8）．【分析】（Ⅰ）根据向量平行与垂直的坐标表示，列方程求解即可；（Ⅱ）根据向量坐标，直接进行线性运算和数量积运算即可；（Ⅲ）根据向量共线及模长公式，列方程求解即可．【解答】解：（I）由a→⊥c得3x−6=03y+12=0，解得x=2（II）由（Ⅰ）知：a→=(2，3)，则a→+b所以(aa→（III）由题意可设AB→=λa因为|AB所以(2λ)解得λ＝2或λ＝﹣2，当λ＝2时，AB→=(4，6)，由点A（1，﹣2），得到当λ＝﹣2时，AB→=(−4，−6)，由点A（1，﹣2），得到17．（10分）已知复数z＝（a2+a﹣2）+（a2﹣7a+6）i，其中a∈R．（Ⅰ）若z∈R，求a的值；（Ⅱ）若z是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若z=18+6i，求a（Ⅳ）若z对应的点在第一象限，求a的取值范围．【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数．【答案】（Ⅰ）a＝1，或a＝6；（Ⅱ）a＝﹣2；（Ⅲ）a＝4；（Ⅳ）（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）．【分析】（Ⅰ）根据z∈R可得出z的虚部为0，然后解出a即可；（Ⅱ）由z是纯虚数得出z的实部为0，且虚部不为0，解出a即可；（Ⅲ）得出z＝18﹣6i，然后对应实部和虚部分别相等解出a即可；（Ⅳ）z对应的点在第一象限，得出实部和虚部都大于0，然后解出a的范围即可．【解答】解：（I）由z∈R，得a2﹣7a+6＝0，解得a＝1，或a＝6．（Ⅱ）由z是纯虚数，得a2解得a＝﹣2．（Ⅲ）由z=18+6i，可知z＝18﹣6i得到a2+a−2=18a（Ⅳ）由z对应的点在第一象限，得a2解得a＜−2或a＞1a＜1或a＞6所以a的取值范围为a∈（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）．18．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝5，∠BAD＝60°，点M为BD的中点，点N为AD边上的动点，AM，BN相交于点P，设AD→=a（Ⅰ）若点N为AD边上的中点，（i）用a→，b→表示AM→（ii）求AM→⋅BN→，|AM（Ⅱ）求BN→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理