数学北师大版必修五学案第三章43简单线性规划的应用

4.3简单线性规划的应用

:学

:习1.准确利用线性规划知识求解II标函数的最值.（数学建模）

；目2.掌握线性规划实际问题中的两种常见类型.（数学建模、数学抽象）

\标

、

关键能力•合作学习

类型一费用最少问题（数学建模）

题组训练，

1.（2020•大同高一检测）某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫

困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最

多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3

次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元.若需要一天内把

180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆,运送这批水果的费用

最少为（）

A.2400元B.2560元C.2816元D.4576元

2.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙

型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每

辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,

则该厂所花的最少运输费用为（）

A.2000元B.2200元

C.2400元D.2800元

3.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水

化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg

碳水化合物,0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元;而1kg食物B

含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.

为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食

用食物A和食物B各多少千克？

将已知数据列成下表：

食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kg

A0.1050.070.14

B0.1050.140.07

【解析】1.选B.设甲型车x辆，乙型车y辆，运送这批水果的费用为z

0<x<8,

0<y<4,

目标函数z=320x+504y,作出不等式组

24x+30y>180,

{xGN,yGN,

(0<x<8,

jO<y<4,所表示的平面区域，如图所示的阴影部分:

(24x+30y>180

作直线320x+504y=0,并平移，分析可得当直线过点(8,0)时，z取得最小

值,

即zmi=8X320+0X504=2560元.

2.选B.设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元,

20x+lOy>100,

0<x<4,xGN,

0<y<8,yGyV.

求线性目标函数z=400x+300y的最小值,

可行域如图阴影部分（含边1界）所示,

解得当3=2时，z有最小值，故zmin=2200（元）.

3.设每天食用xkg食物A,vkg食物B,总成本为z,那么

0.105x+0.105y>0.075,（7x+7y>5t

0.07x+0.14y>0.06,7x+14y>6,

0.14x+0.07y>0.06,=><14x+7y>6,

x>0,x>0,

y>otly>o.

1目标函数为z=28x+21y.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,

把目标函数z=28x+21y变形为x+—,

321

它表示斜率为-二且随z变化的一组平行直线,

3

（是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小.如图可见，当直线

z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小.

解方程组5］得M点的坐标为（1,f）.

（14x+7y=6,\7i）

所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同

时食用食物A工kg,食物B，kg.

77

♦解整略

解答线性规划实际应用题的基本思路

⑴模型建立:正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建

立数学模型.

⑵模型求解:画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行

域中的特殊点作为最优解.

⑶模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的

方案.

类型二获利最大问题（数学建模）

【典例】（2020•绵阳高一检测）某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B

两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如表

所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3力元、4力元，则该企业

每天可获得的最大利润为（）

甲乙每天原料的可用总量

A/吨3212

B/吨128

A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元

四步内容

理解

设甲、乙产品每天的产量分别为x,y,则可表示出每天利润表达式.

题意

思路根据条件列约束条件与目标函数，作出对应可行域,结合图像确定

探求最大值取法，即得结果.

选D.设每天甲、乙产品的产量分别为x吨,y吨.由已知可得

产+2y<12,

)^>0^目标函数z二3x+4y,作出约束条件表示的可行域

(y>0：

书写如图中阴影部分所示,

表达

可得目标函数在点P处取得最大值,

得P(2,3),则z-3X2+4X3=18(万元).

线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注

意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画目标函数所对应的直

题后

线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、

反思

一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界

上取得.

解答线性规划应用题的一般步骤

⑴审题一一仔细阅卖对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确

有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的

量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系有时可借助表格来理顺.

⑵转化一一设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为

数学上的线性规划问题.

⑶求解一一解这个纯数学的线性规划问题.

⑷作答一一就应用题提出的问题作出回答.

跟踪训练、

某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1吨，需矿石4吨，煤

3吨;生产乙种产品1吨,需矿石5吨,煤10吨.每1吨甲种产品的利润

是16万元,每1吨乙种产品的利润是12万元.工厂在生产这两种产品

的计划中，要求消耗矿石不超过20吨，煤不超过30吨，则甲、乙两种产

品应各生产多少,才能使利润总额达到最大?最大利润是多少？

【解析】设甲乙两种产品分别生产x吨,y吨，利润为z万元，

Ax+5y<20,

则线性约束条件为3x+10y<30,

x>0,y>0.

线性目标函数为z=16x+12y,作出可行域，如图（包括坐标轴）,

令z=0,得直线Io：y-,

3

平移直线I。到直线时此时经过点A（5,0）.

将该点的坐标代入目标函数得zma=80（万元）.

所以当甲种产品生产5吨，乙种产品生产。吨，才能使利涧总额达到最

大，最大利润是80万元.

【补偿训练】

某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲

的投资不小于对项目乙投资的%,且对每个项目的投资不能低于5万

3

元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1

万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上

共可获得的最大利润为（）

A.36万元万元

万元D.24万元

【解析】选B.设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为

X+y<60,

x~3y,z=0,4x+0.6y.

X>5,

(y>5,

由图像知，目标函数z=0.4x+0.6y在A点取得最大值.

所以zmax=0.4X24+0.6X36=31.2（万元）.

类型三线性规划中的整数解问题（数学建模、数学抽象）

【典例】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格,每张钢板可同

时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：

规格类型A规格B规格C规格

第一种钢板211

第二种钢板123

今需A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块，问各截这两种钢板多

少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

【思路导引】先设出变量x,y,z,再找山线性约束条件以及目标函数，

利用线性规划求出最值,最后得出实际问题的结论.

【解析】设需第一种钢板x张，第二种钢板v张，钢板总数z张，

2x+y>15,

x+2y>18,

则目标函数z=x+y.

x+3y>27,

x,ye/v,

作出可行域如图所示，作出直线x+y=0.作出一族平行直线x+y=t(其中

t为参数).

'15

~o'、5\10152^25'30x+3y=27

2x+y=\5x+2y=18

经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x+3y=27

和直线2x+y=15的交点A(F，直线方程为x+y=^7.

由于丁和丁都不是自然数，而最优解(x,y)中，x,y必须都是自然数，所

55

以，可行域内点(蓝,二)不是最优解.

经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点距离最

近的直线是x+y=12,得

…代入时露’

(2x-x+12>15,

得哨£9

lx+3(-x+12)>27,

所以3WxW4.5,由于x£N,则x=3或x=4,此时y=9,y=8,故经过的整点

是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.

所以要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方

法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种

截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种

钢板共12张.

♦解题重略

线性规划中最优解为整数的三种解法

⑴平移找解法:先打网格,描整点,平移直线1,最先经过或最后经过的

整点便是最优整点解,这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合

精确作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时一可逐个将整

点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.

⑵小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代

入目标函数,直接求出目标函数的最大（小）值.

⑶调整优值法:先利用平行线组经过关键点时的直线方程的可行解作

为参照值，根据图形信息进行“微调”估值得最优整数值,再代入线性

约束条件中的相关二元一次不等式求解,直到取得最优解,这是既容易

操作又十分简捷有效的解题方法.

跟踪训练

1.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每

件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙商品每件卖出去

后可赚1.8元.若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的

件数应分别为()

A.7件,3件B.9件,2件

C.4件,5件D.2件,6件

【解析】选D.设甲、乙各买x,y件，总利泗为z元.则目标函数为

4x+7y<50,

z=x+1.8y,约束条件为X>0,y>0,

作出可行域为如图所示阴影部分对应的整点,

由z=x+1.8y,得y=--x+^,斜率为、>二

9997

所以，由图可知直线过点A0,时,z取得最大值.又x,y£N,所以点

A不是最优解，点(7,3),(2,6),(9,2)都在可行域内,

逐一验证可得，当x=2,y=6时，z取得最大值.

2.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过

54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表：

每亩年产量每亩年种植成本每吨售价

黄瓜4吨1.2万元0.55万元

韭菜6吨0.9万元0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润二总销售收入-总种植成本）最大,那么

黄瓜和韭菜的种植面积（单位:亩）分别为（）

A.50,0B.30,20

C.20,30D.0,50

【解析】选B.设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩,y亩，

则总利润z=4X0.55x+6X0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.

x+y<50,

此时x,y满足条件1.2x+0.9y<54,

Jr>0,y>0.

画出可行域如图，得最优解为A（30,20）.

3.（2020•石家庄高一检测）某校“棋乐无穷”社团计划使用不超过500

元的资金购买单价分别为60元、70元的象棋和围棋.根据需要，象棋至

少买3盒，围棋至少买2盒，则不同的选购方式共有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

【解析】选C.设购买象棋x盒，围棋y盒.

60x+70y<500,r6x+7y<50,

x>3,lx>3,

由题意得

y>2,Jy>2,

Uyejv*,

32

①当x=3时，7yW32,yW一<5,因为y£N,且y22,

7

所以y二2或y二3或y=4,此时有3种选购方式.

26

②当x=4时，7yW26,yW一<4,因为y£N*,且y22,

7

所以y=2或y=3,此时有2种选购方式.

20

③当x=5时，yWJ<3,因为yeN,且y》2,所以y=2,此时有1种选购方

7

式.

④当x=6时，yW2,因为y£N*,且y22,所以y=2,此时有1种选购方式.

O

⑤当x=7时，yW-,因为y£N*,且y22,所以y无解；

7

因为y£N*,且y22,所以x27,xWN*时，y均无解；

所以共有7种选购方式.

【补偿训练】

配制A,B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲

料3mg,乙料5mg;配一剂B种药需甲料5mg,乙料4mg.今有甲料20mg,

乙料25mg,若A,B两种药至少各配一剂,共有配制方法（）

A.6种B.7种C.8种D.9种

【解析】选C.设A,B两种药分别配x剂、v剂（x,y£N）,

fx>l,

ly>1,

则卜无+5y420,不等式组的解集是以直线x=1,y=1,3x+5y=20及

\5x+4y<25,

5x+4y=25为边界(含边界)所围成的区域,

这个区域内的整点为点

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1).

所以，在A,B两种药至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法.

课堂检测•素养达标

1.某学校用800元购买A、B两种教学用品,A种教学用品每件100元,B

种教学用品每件160元,两种教学用品至少各买一件,要使剩下的钱最

少,A、B两种教学用品应各买的件数为()

A.2件,4件B.3件,3件

C.4件,2件D.不确定

［解析］选B.设买A种教学用品x件,B种教学用品y件，剩下的钱为z

100x+160y<800,

y>l：

{x,y£N+，

求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),

用图解法求得整数解为(3,3).

2.（2020•成都高一检测）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不

超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费

标准分别是500元/分钟和200元/分钟,假设甲、乙两个电视台为该公

司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元/分

钟，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获

得最大的收益是万元（）

A.72B.80C.84D.90

【解析】选B.设公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为x,y分钟,

总收益为z元，

+y<300,

则由题意可得卜00x+200yW90000,

G>0,y>0,

目标函数为z=4OOOx+2000y,化简得，

x+y<300,

5x+2y<900,在平面直角坐标系内，画出可行域，如图所示:

x>0,y>0,

作直线1:4OOOx+2000y=0,即2x+y=0,平行移动直线I,

当直线I过M点时，目标函数取得最大值，

联,立〔(%5工+y;2=y3=o9。o。,，解"得gxno°,y=2OO,

所以M点坐标为（100,200）,

因此目标函数最大值为ZE=4000X100+2000X200=800000.

3.（教材二次开发：习题改编）铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁

矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表：

ab/万吨c/百万元

A50%13

B70%0.56

某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁,若要求C02的排放量不超过2（万吨）,

则购买铁矿石的最少费用为（百万元）.

【解析】设购买铁矿石A为x万吨，购买铁矿石B为y万吨，购买铁矿

石的总费用为z百万元.

则根据题意得到约束条件为：

x>0,

x>0,y>0,

y>o,

即5x+7y>19,

0.5x+0.7y>1.9,

2x+y<4,

x+0.5y<2,

则z=3x+6y,作出可行域.如图,

5x