2009年高考数学试卷（理）（天津）（解析卷）

2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

一、选择题（每小题5分）

5i

（1）i是虚数单位，=

2i

（A）1+2i（B）-1-2i（C）1-2i（D）-1+2i

xy3

（2）设变量x，y满足约束条件：xy1.则目标函数z=2x+3y的最小值为

2xy3

（A）6（B）7（C）8（D）23

（）命题“存在，x0”的否定是

3x0R20

（）不存在x0（）存在x0

Ax0R,2>0Bx0R,20

（C）对任意的xR,2x0（D）对任意的xR,2x>0

1

（4）设函数f(x)xlnx(x0),则yf(x)

3

1

A在区间(,1),(1,e)内均有零点。

e

1

B在区间(,1),(1,e)内均无零点。

e

1

C在区间(,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。

e

1

D在区间(,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点。

e

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（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=

A26B35C40D57

11

(6）设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为

ab

1

A8B4C1D

4

（7）已知函数f(x)sin(x)(xR,0)的最小正周期为，为了得到函数

4

g(x)cosx的图象，只要将yf(x)的图象

A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度

88

C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度

44

x24x,x0,

2

（8）已知函数f(x)4xx2,x0,若f(2a)f(a),则实数a的取值范围

是

A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)

（9）．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，

S

与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的成面积之比BCF=

SACF

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4241

（A）（B）（C）（D）

5372

（10）.0＜b＜1+a,若关于x的不等式(xb)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，则

（A）-1＜a＜0（B）0＜a＜1（C）1＜a＜3（D）3＜a＜6

二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）

（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调

查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取

一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，

B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。

（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则

a=_______

x1t

设直线的参数方程为（为参数），直线的方程

(13)l1tl2

y13t

为则与的距离为

y=3x+4l1l2_______

(14)若圆x2y24与圆x2y22ay60（a>0）的公共弦的长为23，

则a=___________

113

(15)在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），BABCBD，则

BABCBD

四边形ABCD的面积是

（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上

的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（满分12分）在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA

(I)求AB的值：

(II)求sin2A的值

4

（18）（满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10

件产品中任取3件，求：

（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；

（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

（19）（满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面

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1

ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD

2

(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；

(II)证明平面AMD平面CDE；

（III）求二面角A-CD-E的余弦值

（20）（满分12分）

已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),其中aR

（1）当a0时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率；

2

（2）当a时，求函数f(x)的单调区间与极值。

3

（21）（满分14分）

x2y2

以知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F(c,0)和F(c,0)(c0)，过点

a2b212

a2

E(,0)的直线与椭圆相交与A,B两点，且F1A//F2B,F1A2F2B。

c

（1）求椭圆的离心率

（2）求直线AB的斜率；

（）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在

3CAF2BH(m,n)(m0)

n

AFC的外接圆上，求的值

1m

（）（满分分）已知等差数列的公差为（），等比数列的公比为（）。

2214{an}dd0{bn}qq>1

设n1

sn=a1b1+a2b2…..+anbn,Tn=a1b1-a2b2+…..+(-1)anbn,nN

若，，，求的值；

(I)a1=b1=1d=2q=3S3

2n

2dq(1q)

(II)若b=1，证明（1-q）S-（1+q）T=，nN；

12n2n1q2

(Ⅲ若正数满足，设和是，，，n的两个不同的排列，

)n2nqk1,k2,...,knl1,l2,...,ln12...

cc

cabab...ab，cabab...ab证明12。

1k11k22knn2l11l22lnn

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

（1）D（2）B（3）D（4）D（5）C

（6）B（7）A（8）C（9）A（10）C

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。

310

（11）40（12）3（13）

5

（14）1（15）（16）324

三．解答题

（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余

弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。

ABBC

（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，

sinCsinA

sinC

于是AB=BC2BC25

sinA

AB2AC2BD225

（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=

2ABAC5

5

于是sinA=1cos2A

5

43

从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=

55

2

所以sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=

44410

(18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件

等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。

（Ⅰ）解：由于从件产品中任取件的结果为k，从件产品中任取件，其中恰有

103C3103

件一等品的结果数为k3k，那么从件产品中任取件，其中恰有件一等品的

kC3C7103k

k3k

概率为C3C7

P(X=k)=3,k=0,1,2,3.

C10

所以随机变量X的分布列是

X0123

P72173

244040120

721719

X的数学期望EX=0123

24404012010

（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1

件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出

3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而

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C1C2371

P(A)33,

13P(A2)=P(X=2)=40,P(A3)=P(X=3)=,

C1040120

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为

37131

P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=

4040120120

(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向

量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12

分.

方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补

角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连

//////

结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又

FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平

面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥

AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=2a，故∠

CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

（II）证明：因为DCDE且M为CE的中点，所以DMCE.连结MP，则MPCE.

又MPDMM，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.

（III）解：设Q为CD的中点，连结PQ，EQ.因为CEDE，所以EQCD.因为

PCPD，所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角.

62

由（I）可得，EPPQ，EQa，PQa.

22

PQ3

于是在RtEPQ中，cosEQP，w

EQ3

方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，

点A为坐标原点。设AB1，依题意得B1，0，0，C1，1，0，D0，2，0，E0，1，1，

F0，0，1，

11

M，1，.

22

（I）解：BF1，0，1，DE0，1，1，

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BFDE0011

于是cosBF，DE.

BFDE222

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为600.

11

（II）证明：由AM，1，，CE1，0，1，AD0，2，0，可得CEAM0，

22

CEAD0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，故CE平面AMD.

而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.

uCE0，

（III）解：设平面CDE的法向量为u(x，y，z)，则

uDE0.

xz0，

于是令x1，可得u(1，1，1）.

yz0.

又由题设，平面ACD的一个法向量为v(0，0，1).

uv0013

所以，cosu，v.

uv313

（20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等

基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。

（I）解：当a0时，f(x)x2ex，f'(x)(x22x)ex，故f'(1)3e.

所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.

（II）解：f'(x)x2(a2)x2a24aex.

2

令f'(x)0，解得x2a，或xa2.由a知，2aa2.

3

以下分两种情况讨论。

2

（1）若a＞，则2a＜a2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

3

x，2a2a2a，a2a2a2，

+0—0+

↗极大值↘极小值↗

所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数.

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函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.

函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

2

（2）若a＜，则2a＞a2，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

3

x，a2a2a2，2a2a2a，

+0—0+

↗极大值↘极小值↗

所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数。

函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.

（21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考

查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14

分

a2

c

EF2F2B1c1

（I）解：由FA//FB且FA2FB，得，从而

1212EFFA2a22

11c

c

c3

整理，得a23c2，故离心率e

a3

解：由（I）得b2a2c22c2，所以椭圆的方程可写为2x23y26c2

a2

设直线AB的方程为ykx，即yk(x3c).

c

yk(x3c)

由已知设，则它们的坐标满足方程组

A(x1,y1),B(x2,y2)222

2x3y6c

消去y整理，得(23k2)x218k2cx27k2c26c20.

33

依题意，48c2(13k2)0，得k

33

18k2c

而xx①

1223k2

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27k2c26cc

xx②

1223k2

由题设知，点B为线段AE的中点，所以

③

x13c2x2

9k2c2c9k2c2c

联立①③解得x，x

123k2223k2

2

将x,x代入②中，解得k.

123

3c

(III)解法一：由（II）可知x0,x

122

2

当k时，得A(0,2c)，由已知得C(0,2c).

3

22c

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴

AF1ycx

222

22

ccc

的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为2

,0AF1Cxyc.

222

直线的方程为，于是点（，）的坐标满足方程组

F2By2(xc)Hmn

225

c29cmc

mn3n22

24，由m0,解得故

22m5

n2(mc)nc

3

2n22

当k时，同理可得

3m5

3c

解法二：由（II）可知x0,x

122

2

当k时，得A(0,2c),由已知得C(0,2c)

3

由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点（，）在的外接圆上，

BF2CHmnAF1C

且，所以四边形为等腰梯形

F1A//F2BAF1CH.

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由直线的方程为知点的坐标为

F2By2(xc),H(m,2m2c).

2225

因为AHCF1，所以m(2m2c2c)a，解得m=c（舍），或mc.

3

22n22

则nc，所以.

3m5

2n22

当k时同理可得

3m5

（22）本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知

识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。

n1*

（Ⅰ）解：由题设，可得an2n1,bn3,nN

所以，

S3a1b1a2b2a3b311335955

n1

（Ⅱ）证明：由题设可得bnq则

22n1

S2na1a2qa3q.....a2nq,①

Taaqaq2aq3.....aq2n1,

2n12342n②

32n1

S2nT2n2(a2qa4q...a2nq)

1式减去②式，得

1式加上②式，得

22n2

S2nT2n2(a1a3q....a2n1q)③

2式两边同乘q，得

32n1

q(S2nT2n)2(a1qa3q....a2n1q)

所以，

(1q)S2n(1q)T2n(S2nT2n)q(S2nT2n)

2d(qq3q2n1)

2dq(1q2n)

,nN*

1q2

(Ⅲ)证明：cc(aa)b(aa)b(aa)b

12k1l11k2l22knlnn

n1

(k1l1)db1(k2l2)db1q(knln)db1q

因为所以

d0,b10,

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cc

12n1

(k1l1)(k2l2)q(knln)q

db1

（1）若，取i=n

knln

（）若，取i满足且

2knlnkilikjlj,i1jn

由（1）,(2)及题设知，1in且

cc

12i2i1

(k1l1)(k2l2)q(ki1li1)q(kili)q

db1

1当时，得由，得

kilikili1,qnkiliq1,i1,2,3.....i1

即，…，i2i2

k1l1q1(k2l2)qq(q1)(ki1li1)qq(q1)

i1i1

又(kili)qq,所以

cc1qi1

12(q1)(q1)q(q1)qi2qi1(q1)

db11q

因此即

c1c20,c1c2

cc

2当同理可得12，因此

kili1c1c2

db1

综上，

c1c2

选择填空解析

2008年天津市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2008•天津）i是虚数单位，=（）

A．﹣1B．1C．﹣iD．i

【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有

【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．

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【解答】解：，

故选A．

【点评】本题考查复数的代数形式的运算，i的幂的运算，是基础题．

2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最

大值为（）

A．2B．3C．4D．5

【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出

可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y

的最小值．

【解答】解：满足约束条件的可行域如图，

由图象可知：

目标函数z=5x+y过点A（1，0）时

z取得最大值，zmax=5，

故选D．

【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可

行域②求出可行域各个角点的坐标③将坐标逐一代入目标函数④验证，求出最优

解．

⇒⇒⇒

3．（5分）（2008•天津）设函数，

则函数f（x）是（）

A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数

第12页|共18页

C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数

【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．菁优网版权所有

【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx

的性质得出相应的结论．

【解答】解：f（x）=

=﹣

=﹣sin2x

所以T=π，且为奇函数．

故选A．

【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数y=Asinωx的性质．

4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件

是（）

A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥βD．aα，b∥β，α⊥β

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有

⊂⊂

【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．

【解答】解：A、B、D的反例如图．

故选C．

【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含

义及空间想象能力．

5．（5分）（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，

到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）

A．6B．2C．D．

【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的

对应关系．

【解答】解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，

椭圆方程为

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所以d=2，故选B

【点评】本题考查了椭圆的第一定义以及第二定义的应用

6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取

值范围是（）

A．﹣3＜a＜﹣1B．﹣3≤a≤﹣1C．a≤﹣3或a≥﹣1D．a＜﹣3或a＞﹣1

【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有

【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式组，解可得答

案．

【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，

又有S∪T=R，

所以，

故选A．

【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应注意不等式的正确求解，并结合数轴判

断集合间的关系．

﹣

7．（5分）（2008•天津）设函数的反函数为f1（x），则

（）

﹣

A．f1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1

﹣

B．f1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0

﹣

C．f1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1

﹣

D．f1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0

【考点】反函数．菁优网版权所有

【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．

【解答】解：∵为减函数，

由复合函数单调性知f（x）为增函数，

﹣

∴f1（x）单调递增，排除B、C；

﹣

又f1（x）的值域为f（x）的定义域，

﹣

∴f1（x）最小值为0

故选D

【点评】本题很好的利用了排除法，显得小巧灵活，如果求出反函数再去研究，就会麻烦多

了，可以比较一下感受感受，所以筛选法、排除法、验证法都是很好的解题方法，平时要用．

8．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）

≤1的解集是（）

A．B．{x|x≤1}C．

D．

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有

【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．

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【解答】解：依题意得

所以

故选：C．

【点评】本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．

9．（5分）（2008•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上

是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）

A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c

【考点】偶函数；不等式比较大小．菁优网版权所有

【专题】压轴题．

【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较a、b、c的大小．

【解答】解：，

因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，

所以，所以b＜a＜c，

故选A

【点评】本题属于单调性与增减性的综合应用，解决此类题型要注意：

（1）通过周期性、对称性、奇偶性等性质将自变量调整到同一单调区间内，再比较大小．

（2）培养数形结合的思想方法．

10．（5分）（2008•天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出

6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排

法共有（）

A．1344种B．1248种C．1056种D．960种

【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，然后确定其

余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由乘

法原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的

12

数字只能为1，4或2，3，共有C2A2=4种排法，

4

然后确定其余4个数字，其排法总数为A6=360，

其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，

2

余下两个数字有A4=12种排法，

所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法；

由乘法原理可知共有4×312=1248种不同的排法，

故选B．

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【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意特殊方法的使用，如排除法．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．（4分）（2008•天津）的二项展开式中，x2的系数是40（用数字作

答）．

【考点】二项式定理．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2