2024年全国统一高考数学试卷(新高考ⅰ)

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2，3} C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}2．（5分）若＝1+i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．﹣ C． D．3m5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2π B．3π C．6π D．9π6．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞）7．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（）A．3 B．4 C．6 D．88．（5分）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（）A．f（10）＞100 B．f（20）＞1000 C．f（10）＜1000 D．f（20）＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5 C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8（多选）10．（6分）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点 B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0 D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）11．（6分）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2 B．点（2，0）在C上 C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1 D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．（5分）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为．13．（5分）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝．14．（5分）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为．四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝cosB，a2+b2﹣c2＝．（1）求B；（2）若△ABC的面积为3+，求c．16．（15分）已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上两点．（1）求C的离心率；（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝．（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为，求AD．18．（17分）已知函数f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3．（1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值；（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．19．（17分）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分数列．（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分数列；（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞．

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2，3} C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}【考点】交集及其运算．【答案】A【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，（﹣3）3＝﹣27，（﹣1）3＝﹣1，03＝0，23＝8，33＝27，则A∩B＝{﹣1，0}．故选：A．2．（5分）若＝1+i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【考点】复数的运算．【答案】C【分析】观察等式，化简可得，由此容易得解．【解答】解：由于＝1+i，则，即，可得z＝1﹣i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】D【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：＝（0，1），＝（2，x），则，⊥（），则2×2+x（x﹣4）＝（x﹣2）2＝0，解得x＝2．故选：D．4．（5分）已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．﹣ C． D．3m【考点】两角和与差的三角函数．【答案】A【分析】由已知结合同角基本关系及两角和与差的余弦公式即可求解．【解答】解：因为cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝m，由tanαtanβ＝＝2，可得sinαsinβ＝2cosαcosβ，所以cosαcosβ＝﹣m，sinαsinβ＝﹣2m，则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣3m．故选：A．5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2π B．3π C．6π D．9π【考点】圆锥的体积．【答案】B【分析】设出底面半径，通过高结合侧面积相等，求解底面半径，然后求解圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为：r，圆锥的母线长为：，圆柱和圆锥的侧面积相等，可得2πr＝，解得r＝3，圆锥的体积为：＝3π．故选：B．6．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞）【考点】分段函数的应用．【答案】B【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可．【解答】解：函数为f（x）＝在R上单调递增，可知：，可得a∈[﹣1，0]．故选：B．7．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】正弦函数的图象．【答案】C【分析】作出两函数在[0，2π]上的图象，结合图象即可得出答案．【解答】解：在同一坐标系中，作出函数y＝sinx与y＝2sin（3x﹣）在[0，2π]上的图象如下，由图象可知，当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为6个．故选：C．8．（5分）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（）A．f（10）＞100 B．f（20）＞1000 C．f（10）＜1000 D．f（20）＜10000【考点】抽象函数的周期性．【答案】B【分析】设an＝f（n），n∈N，则a1＝1，a2＝2，an＞an﹣1+an﹣2（n≥3），观察数列{an}的前16项即可得出答案．【解答】解：设an＝f（n），n∈N，则a1＝1，a2＝2，an＞an﹣1+an﹣2（n≥3），故a3＞3，a4＞a3+a2＞5，a5＞a4+a3＞5+3＝8，观察可知，a6＞13，a7＞21，a8＞34，a9＞55，a10＞89，a11＞144，a12＞233，a13＞377，a14＞610，a15＞987，a16＞1597，则a20＞1000，即f（20）＞1000．故选：B．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5 C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】BC【分析】易知X～N（1.8，0.12），Y～N（2.1，0.12），由此逐项分析判断即可．【解答】解：依题意，X～N（1.8，0.12），Y～N（2.1，0.12），对于X～N（1.8，0.12），由于2＝1.8+2×0.1＝μ+2σ，则P（X＞2）＝P（X＞μ+2σ）＜P（X＞μ+σ）＝1﹣0.8413＝0.1587，A错；P（X＞2）＜P（X＞1.8）＝0.5，B对；对于Y～N（2.1，0.12），由于2＝2.1﹣0.1＝μ﹣σ，则P（Y＞2）＞P（Y＞2.1）＝0.5，C对；P（Y＞2）＝P（Y＞μ﹣σ）＝P（Y＜μ+σ）＝0.8413＞0.8，D错．故选：BC．（多选）10．（6分）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点 B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0 D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】ACD【分析】对于A，对函数f（x）求导，判断其单调性，进而得到极值情况，可判断；对于B，由0＜x2＜x＜1，结合单调性，可判断；对于C，直接计算f（2x﹣1）以及f（2x﹣1）+4与0的关系，可判断；对于D，利用作差法，可判断．【解答】解：对于A，f′（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝3（x﹣1）（x﹣3），易知当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（1，3）上单调递减，当x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，选项A正确；对于B，当0＜x＜1时，0＜x2＜1，且x2＜x，又f（x）在（0，1）上单调递增，则f（x2）＜f（x），选项B错误；对于C，由于1＜x＜2，一方面，f（2x﹣1）＝（2x﹣2）2（2x﹣5）＝4（x﹣1）2（2x﹣5）＜0，另一方面，f（2x﹣1）+4＝4（x﹣1）2（2x﹣5）+4＝4[（x﹣1）2（2x﹣5）+1]＝4（x﹣2）2（2x﹣1）＞0，则﹣4＜f（2x﹣1）＜0，选项C正确；对于D，由于﹣1＜x＜0，则f（2﹣x）﹣f（x）＝（x﹣1）2（﹣2﹣x）﹣（x﹣1）2（x﹣4）＝（x﹣1）2（2﹣2x）＝﹣2（x﹣1）3＞0，即f（2﹣x）＞f（x），选项D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2 B．点（2，0）在C上 C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1 D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤【考点】点到直线的距离公式．【答案】ABD【分析】结合题中新定义的曲线的性质对选项一一判断即可．【解答】解：A对，因为O在曲线上，所以O到x＝a的距离为﹣a，而OF＝2，所以有﹣a•2＝4，a＝﹣2，那么曲线的方程为，B对，因为代入知满足方程；C错，因为，求导得，那么有f（2）＝1，，于是在x＝2的左侧必存在一小区间（2﹣s，2）（s可以取无限小的数）上满足f（x）＞1，因此最大值一定大于1；D对，曲线的方程为，可化为（x﹣2）2+y2＝，即y2＝﹣（x﹣2）2，因为．故选：ABD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．（5分）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为．【考点】双曲线的几何特征．【答案】．【分析】由题意求出|F1A|，|F2A|，利用双曲线的定义求出a和b2、c，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意知，|F1A|＝13，|F2A|＝|AB|＝5，所以|F1A|﹣|F2A|＝2a＝8，解得a＝4；又x＝c时，y＝，即|F2A|＝＝5，所以b2＝5a＝20，所以c2＝a2+b2＝16+20＝36，所以c＝6，所以双曲线C的离心率为e＝＝．故答案为：．13．（5分）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ln2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】ln2．【分析】求解切线方程，利用已知条件，求解曲线y＝ln（x+1）+a的切点坐标，即可得到a的值．【解答】解：曲线y＝ex+x，可得y′＝ex+1，在点（0，1）处切线的斜率为：e0+1＝2，切线方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1．曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，设y＝ln（x+1）+a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为：＝2，可得x＝，x＝代入y＝2x+1，可得切点坐标为：（﹣，0），切点在曲线y＝ln（x+1）+a上，所以0＝ln（﹣+1）+a，解得a＝ln2．故答案为：ln2．14．（5分）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】．【分析】根据题意列出甲的总得分不小于2的基本事件，再由古典概型的概率公式得解．【解答】解：甲出1一定输，所以甲最多得3分，若得3分，就只有一种组合1﹣8、3﹣2、5﹣4、7﹣6；若得2分有三类，分别列举如下：①出3和出5的赢，其余输：1﹣6，3﹣2，5﹣4，7﹣8；②出3和出7的赢，其余输：1﹣4，3﹣2，5﹣8，7﹣6；1﹣8，3﹣2，5﹣6，7﹣4；1﹣6，3﹣2，5﹣8，7﹣4；③出5和出7的赢，其余输：1﹣2，3﹣8，5﹣4，7﹣6；1﹣4，3﹣8，5﹣2，7﹣6；1﹣8，3﹣4，5﹣2，7﹣6；1﹣6，3﹣8，5﹣2，7﹣4；1﹣8，3﹣6，5﹣2，7﹣4；1﹣6，3﹣8，5﹣4，7﹣2；1﹣8，3﹣6，5﹣4，7﹣2；共12种组合满足要求，而所有组合为种，所以甲得分不小于2的概率为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝cosB，a2+b2﹣c2＝．（1）求B；（2）若△ABC的面积为3+，求c．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用余弦定理化简a2+b2﹣c2＝，得到C＝，由此算出cosB＝，结合B∈（0，π），可得角B的大小；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由△ABC的面积为3+建立关于R的方程，解出R的值，进而利用正弦定理算出边c的值．【解答】解：（1）因为a2+b2﹣c2＝，所以cosC＝＝＝，结合C为三角形的内角，可得C＝．因为sinC＝cosB＝，所以cosB＝，结合B∈（0，π），得B＝；（2）由（1）可知A＝π﹣B﹣C＝，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得b＝2RsinB＝，c＝2RsinC＝，由S△ABC＝bcsinA＝，得•••sin＝，即•＝，解得R2＝4，所以R＝2（舍负），可得c＝＝．16．（15分）已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上两点．（1）求C的离心率；（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．【考点】直线与椭圆的综合．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）根据联立关于a，b的方程组，再利用离心率公式得解；（2）分直线l的斜率不存在及存在两种情况，结合△ABP的面积为9，可得答案．【解答】解：（1）依题意，，解得，则离心率；（2）由（1）可知，椭圆C的方程为，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，易知此时，点A到直线PB的距离为3，则，与已知矛盾；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，设P（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理可得，（4k2+3）x2﹣（24k2﹣12k）x+36k2﹣36k﹣27＝0，则，由弦长公式可得，＝＝，点A到直线l的距离为，则，解得或，则直线l的方程为或．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝．（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为，求AD．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】（1）证明详情见解答．（2）AD＝．【分析】（1）由PA⊥面ABCD，结合线面垂直的性质定理可得PA⊥AD，又AD⊥PB，结合线面垂直的判定定理可得AD⊥面PAB，则AD⊥AB，推出AD∥BC，结合线面平行的判定定理，即可得出答案．（2）以DA，DC为x，y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz，令AD＝t，则DC＝，C（0，，0），求出平面ACP的法向量＝（x1，y1，z1），平面CPD的法向量为＝（x2，y2，z2），则＝|cos＜，＞|＝|，解得t，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：因为PA⊥面ABCD，AD⊂面ABCD，所以PA⊥AD，又因为AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂面PAB，所以AD⊥面PAB，又AB⊂面PAB，所以AD⊥AB，在△ABC中，AB2+BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因为A，B，C，D四点共面，所以AD∥BC，又因为BC⊂面PBC，AD⊄面PBC，所以AD∥面PBC．（2）以DA，DC为x，y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz：令AD＝t，则A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），DC＝，C（0，，0），设平面ACP的法向量＝（x1，y1，z1），所以，设x1＝，则y1＝t，z1＝0，所以＝（，t，0），设平面CPD的法向量为＝（x2，y2，z2），所以，设z2＝t，则x2＝﹣2，y2＝0，所以＝（﹣2，0，t），因为二面角A﹣CP﹣D的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，所以＝|cos＜，＞|＝|＝，所以t＝，所以AD＝．18．（17分）已知函数f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3．（1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值；（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）﹣2．（2）[﹣，+∞）．【分析】（1）由，解得函数f（x）的定义域，当b＝0时，，求导，结合基本不等式，即可得出答案．（2）计算f（2﹣x）+f（x），即可得出答案．（3）根据题意可得f（1）≥﹣2，又f（1）＝a，得a≥﹣2，分析x∈（1，2）时，f（x）＞﹣2恒成立的必要性和充分性，即可得出答案．【解答】解：（1）由，解得0＜x＜2，所以函数f（x）的定义域为（0，2），当b＝0时，，所以，对∀0＜x＜2恒成立，又，当且仅当x＝1时取“＝”，所以只需2+a≥0，即a≥﹣2，所以a的最小值为﹣2．（2）证明：x∈（0，2），f（2﹣x）+f（x）＝，所以f（x）关于点（1，a）中心对称．（3）因为f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，因为f（x）是连续的，所以f（1）≥﹣2，又f（1）＝a，解得a≥﹣2，因为f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3，f（1）＝a≥﹣2，端点恒成立：①x∈（1，2）时，f（x）＞﹣2恒成立的必要条件为，在x＝1处，f（x）≥﹣2成立，所以f（1）≥﹣2，又f（1）＝a≥﹣2恒成立，所以f′（1）≥0，因为f′（x）＝++a+3b（x﹣1）2，又f′（1）＝2+a≥0恒成立，所以f″（1）≥0，因为f″（x）＝﹣++6b（x﹣1），又f″（1）＝0恒成立，所以f″′（1）≥0，因为f″′（x）＝﹣+6b，所以f″′（1）＝﹣+6b＝4+6b≥0，解得b≥﹣，所以b≥﹣为x∈（1，2）时，f（x）＞﹣2恒成立的必要条件，②下面证明b≥﹣的充分性：思路1：因为f′（x）＝++a+3b（x﹣1）2＞+﹣2﹣2（x﹣1）2＝﹣2﹣2（x﹣1）2＝﹣2﹣2（x﹣1）2，令t＝（x﹣1）2∈（0，1），则上式＝﹣2﹣2t＝2[﹣（1+t）]＝2×＝＞0，思路2：因为f″′（x）＝﹣+6b＝2[﹣]+6b，令t＝x﹣1∈（0，1），则﹣＝﹣＝﹣2×，令m＝t2﹣1∈（﹣1，0），则﹣2×＝﹣2×＝﹣2（+）＝﹣2h（m），因为h′（m）＝﹣﹣＝﹣（m+2），又因为m∈（﹣1，0），所以h′（m）＜0，则h（m）在（﹣1，0）上单调递减，h（m）＜h（﹣1）＝﹣1，则﹣＝﹣2×＝﹣2h（m）＞2，又因为b≥﹣，所以f″′（x）＝2[﹣+6b＞4+6b≥0，所以f″（x）在（1，2）上单调递增，则f″（x）＞f″（1）＝0，所以f′（x）在（1，2）上单调递增，则f′（x）＞f′（1）＝2+a≥0，所以f（x）在（1，2）上单调递增，即x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）＝a≥﹣2恒成立，所以b≥﹣为x∈（1，2）时，f（x）＞﹣2恒成立的充分条件，综上所述，b≥﹣为x∈（1，2）时，f（x）＞﹣2恒成立的充要条件，所以b的取值范围为[﹣，+∞）．19．（17分）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分数列．（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分数列；（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞．【考点】数列的应用．【答案】（1）（i，j）可以为（1，2），（1，6），（5，6）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）直接根据（i，j）——可分数列的定义写出所有的（i，j）即可；