2026年大一轮复习数学练习第二章2.2函数的单调性与最值（附答案）

§2.2函数的单调性与最值课标要求1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M(1)∀x∈D,都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2),则f(x)在[－3,2]上单调递增.(×)(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3).(×)(3)若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(√)(4)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).(×2.下列函数中,在区间(0,＋∞)上单调递增的是()A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2C.y＝|lnx| D.y＝x答案D解析y＝－x＋1在(0,＋∞)上单调递减,不符合题意；y＝(x－1)2在(0,＋∞)上不单调,不符合题意；因为y＝|lnx|＝-lnx,0<x<1,lnx,x≥1,则y＝|lnx|y＝x在(0,＋∞)上单调递增,符合题意.3.函数y＝－1x＋1在区间[1,2]上的最大值为A.－13 B.－C.－1 D.不存在答案A解析y＝－1x＋1在(－1,＋∞)上单调递增,则y＝－1x＋1在区间[所以ymax＝－12＋14.函数f(x)是定义在[0,＋∞)上的减函数,则满足f(2x－1)>f

13的x的取值范围是答案1解析∵f(x)的定义域是[0,＋∞),∴2x－1≥0,即x≥1又∵f(x)是定义在[0,＋∞)上的减函数,∴2x－1<13,即x则x的取值范围为121.熟记与函数单调性有关的常用结论(1)若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则①f(x1)-f(x2)x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x②f(x1)-f(x2)x1-x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x(2)y＝x＋1x的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和(0,1(3)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.2.解题时谨防以下易误点(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域.(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M.题型一确定函数的单调性命题点1函数单调性的判断例1(多选)下列说法中,正确的是()A.函数y＝e－x－1x2在(－∞,0B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函数C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1]D.函数f(x)＝2-x2＋2x＋答案ABC解析在(－∞,0)上函数y＝e－x与y＝－1x2都单调递减,所以y＝e－x－1x2在(－∞,0)上单调递减两增函数的和为增函数,故B正确；作出函数y＝2|x＋1|的图象,如图所示,由图象可知,函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1],故C正确；由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞,1],故D错误.命题点2利用定义证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)＝axx-1(a≠0)在(－1,1)解方法一定义法设－1<x1<x2<1,因为f(x)＝a·x-1＋1所以f(x1)－f(x2)＝a1＋1x由于－1<x1<x2<1,所以x2－x1>0,x1－1<0,x2－1<0,故当a>0时,f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时,f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递增.方法二导数法f'(x)＝(ax)'故当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(－1,1)上单调递增.思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.跟踪训练1(1)下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)＝|x| B.f(x)＝xC.f(x)＝－x2＋2x D.f(x)＝ex答案B解析对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,f(x)＝|x|在(0,＋∞)上单调递增,故A错误；f(x)＝x-13在(0,＋∞)上单调递减,f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(0,＋∞)上不单调,故C错误；f(x)＝ex在(0,＋∞)上单调递增,故D错误.(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝log12(2x2－3x－2)的单调递增区间为答案-解析令2x2－3x－2>0,解得x>2或x<－1则f(x)的定义域为-∞,-12∪(2,由y＝log12x在(0,＋∞)上单调递减,y＝2x2－3x－2在-∞,-12上单调递减,在(2根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间为-∞题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有f(x1)-f(A.f(－2)<f(3)<f(4)B.f(－2)>f(3)>f(4)C.f(3)<f(4)<f(－2)D.f(4)<f(－2)<f(3)答案A解析因为对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有f(x所以f(x)在(－∞,0]上单调递减,又f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增,则f(2)<f(3)<f(4),又f(－2)＝f(2),所以f(－2)<f(3)<f(4).命题点2求函数的最值例4函数y＝1x-1－1＋x(x≥3)的最小值为答案5解析设t＝x－1,t≥2,则y＝1x-1－1＋x＝t＋1t(t≥又函数y＝t＋1t在[2,＋∞)上单调递增所以当t＝2,即x＝3时,函数有最小值2＋12求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.典例(多选)下列函数中，值域正确的是()A.当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6)B.函数y＝2x＋C.函数y＝2x－x-1的值域为D.函数y＝x＋1＋x-1的值域为[答案ACD解析对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).对于B，(分离常数法)y＝2x＋1x-3＝2(x-3)＋7x-3＝故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).对于C，(换元法)设t＝x-1，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2t由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝x＋1与y＝x-1在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝x＋1＋x-1∴当x＝1时，ymin＝2，即函数的值域为[2，＋∞).命题点3解函数不等式例5(2025·湖州模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x,则使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是()A.(－1,0) B.(－1,＋∞)C.(－1,1) D.(1,＋∞)答案C解析函数y＝ex为增函数,函数y＝e－x为减函数,所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数,所以f(|x|)<f(－3x2＋4)⇔|x|<－3x2＋4,即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1,解得－1<x<1,所以实数x的取值范围为(－1,1).命题点4求参数的值(范围)例6(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝-x2-2ax-a,x<0,eA.(－∞,0] B.[－1,0]C.[－1,1] D.[0,＋∞)答案B解析因为f(x)在R上单调递增,且x≥0时,f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增,则需满足-解得－1≤a≤0,即a的取值范围是[－1,0].思维升华(1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.跟踪训练2(1)若函数f(x)＝x＋a-3x-1在(a,＋∞)上单调递增,则实数答案[1,2)解析f(x)＝x＋a-3x∵f(x)在(a,＋∞)上单调递增,∴a-2<0,a≥1⇒1(2)(多选)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),下列结论正确的是()A.函数f(x)是减函数B.f(－5)<f(0)<f(1)C.f(0)＝0D.不等式f(2x－1)<f(3－x)的解集为-答案BD解析由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,因此f(x)是增函数,A错误；由－5<0<1,得f(－5)<f(0)<f(1),B正确；不一定有f(0)＝0,如f(x)＝2x在R上为增函数,f(0)＝1,C错误；由f(2x－1)<f(3－x),得2x－1<3－x,解得x<43,D课时精练[分值：100分]一、单项选择题(每小题5分,共30分)1.下列函数中,在(0,＋∞)上单调递减的是()A.y＝x B.y＝－1C.y＝12x＋1 D.y答案C解析y＝x＝x12,因为12>0,所以y＝x在(0,＋∞因为y＝1x在(0,＋∞)上单调递减,所以y＝－1x在(0,＋∞)上单调递增,故因为0<12<1,所以y＝12x＋1在(0,＋∞)因为2>1,所以y＝log2x在(0,＋∞)上单调递增,故D错误.2.已知f(x)＝2x＋x,则“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为函数y＝2x,y＝x在R上为增函数,则函数f(x)＝2x＋x在R上为增函数,则“f(x1)＝f(x2)”可以推出“x1＝x2”,“x1＝x2”也可推出“f(x1)＝f(x2)”,故“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的充要条件.3.函数f(x)＝|x|(x－1)的单调递减区间是()A.(－∞,0) B.0,C.12,1 D.(1,＋答案B解析f(x)＝x作出图象,如图所示,可以得到函数f(x)的单调递减区间是0,14.已知函数f(x)＝2xx-1,则f(x)在区间[2,6]A.125 B.3 C.4 D.答案C解析∵f(x)＝2xx-1＝2＋2x-1在[2∴f(x)max＝f(2)＝4.5.已知函数f(x)＝(a-2)x-1,x≤1,logax,x>1满足对任意x1≠xA.(1,2) B.(2,3)C.(2,3] D.(2,＋∞)答案C解析函数f(x)＝(a-2)x由对任意x1≠x2,都有f(x得函数f(x)在R上为增函数,于是a-2>0,a>1,a-3≤所以实数a的取值范围为(2,3].6.已知函数y＝f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2A.y＝f(x)＋x是增函数B.y＝f(x)＋x是减函数C.y＝f(x)是增函数D.y＝f(x)是减函数答案A解析不妨令x1<x2,∴x1－x2<0,∵f(x1)-f(x2)x1-x2>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1令g(x)＝f(x)＋x,∴g(x1)<g(x2),又x1<x2,∴g(x)＝f(x)＋x是增函数.二、多项选择题(每小题6分,共12分)7.已知函数f(x)＝2x-12x＋A.f(－x)＝f(x)B.函数f(x)的值域为[－1,1]C.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,有f(D.∀x∈R,“a≥1”是“f(a2)≥f(sinx)”的充分不必要条件答案CD解析f(－x)＝2-x-12-x＋1＝由f(x)＝2x-12x＋1＝1－22x＋1,因为22x＋由f(x)＝2x-12x＋1＝1－22x＋1,对于∀x1,x则f(x2)－f(x1)＝1－22x2＋因为x1<x2,所以2x2>2x1又因为(2x1＋1)(2x2＋所以f(x2)－f(x1)>0,所以函数f(x)在其定义域R上为增函数,所以∀x1,x2∈R且x1≠x2,有f(x2)-f充分性：当a≥1时,因为－1≤sinx≤1,由f(x)为增函数,所以f(a2)≥f(sinx),故充分性成立；必要性：由f(x)为增函数,当f(a2)≥f(sinx)恒成立时,因为－1≤sinx≤1,所以a2≥1,解得a≥1或a≤－1,故必要性不成立,综上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sinx)”的充分不必要条件,故D正确.8.已知函数f(x)的定义域为R,对任意a,b∈R,都有f(a)f(b)＝f(a＋b),f(0)≠0且当x>0时,0<f(x)<1,则()A.∀x∈R,都有f(x)＝－1B.当x<0时,f(x)>1C.f(x)是减函数D.若f(3)＝12,则不等式f(2t2－5t)>1答案BCD解析令a＝0,b＝1,则f(0)f(1)＝f(1),易知0<f(1)<1,所以f(0)＝1.当x<0时,－x>0,所以0<f(－x)<1,又f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1,所以f(x)＝1f(-x),即f(x)>1,设x1<x2,且x1,x2∈R,则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)f(x2)－f(x2)＝f(x2)[f(x1－x2)－1],又x1<x2,所以x1－x2<0,所以f(x1－x2)>1,又当x<0时,f(x)>1,当x>0时,0<f(x)<1,f(0)＝1,所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)是减函数,C正确；因为f(3)＝1所以f(12)＝f(6)f(6)＝[f(3)]4＝1所以f(2t2－5t)>1即f(2t2－5t)>f(12),又f(x)是减函数,所以2t2－5t<12,解得－32<t<4所以不等式f(2t2－5t)>f(12)的解集为-32,4三、填空题(每小题5分,共10分)9.函数f(x)＝4x-32x答案-解析f(x)＝4x-32x由2x＋3≠0,得x≠－3当x∈-∞,-32时,yf(x)单调递增；当x∈-32,＋∞时,f(x)单调递增,所以f(x)的单调递增区间为-∞10.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数.

答案f(x)＝－x(答案不唯一)解析设f(x)＝－x,在R上单调递减.f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数.四、解答题(共27分)11.(13分)已知函数f(x)＝x＋1x(1)用定义证明函数f(x)在(1,＋∞)上单调递增；(7分)(2)求函数f(x)在区间[3,6]上的最大值和最小值.(6分)(1)证明任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2－1x2＝x1－x2＋x2-x1x因为x1,x2∈(1,＋∞)且x1<x2,可得x1－x2<0,x1x2>1,0<1x1则1－1x1所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1-1x即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(1,＋∞)上单调递增.(2)解由(1)知函数f(x)在[3,6]上单调递增,所以f(x)max＝f(6)＝376,f(x)min＝f(3)所以函数f(x)在区间[3,6]上的最大值为376,最小值为12.(13分)已知定义在(0,＋∞)上的函数f(x),满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x)>0.(1)求证：f

mn＝f(m)－f(n)；(5(2)若f(2)＝1,解不等式f(x＋2)－f(2x)>2.(9分)(1)证明f(m)＝f

mn·n＝f

mn＋f即f

mn＝f(m)－f(n(2)解任取x1,x2∈(0,＋∞),且x1<x2,则x2x由(1)得f(x2)－f(x1)＝f

x2即f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增,∵f(2)＝1,∴2＝f(2)＋f(2)＝f(4),f(x＋2)－f(2x)>2⇔f(x＋2)>f(2x)＋f(4)⇔f(x＋2)>f(8x),又f(x)在(0,＋∞)上单调递增,∴x＋2>8x,x故不等式f(x＋2)－f(2x)>2的解集为x0<13，14题每小题6分，15，16题每小题5分，共22分13.(多选)若函数f(x)在定义域内的某区间M上单调递增，且f(x)x在M上单调递减，则称函数f(x)在M上是“弱增函数”A.若f(x)=x2，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”B.若f(x)=x+1x，则存在区间M使f(x)为“弱增函数C.若f(x)=x+x3，则f(x)为R上的“弱增函数”D.若f(x)=x2+(4-a)x+a在区间(0，2］上是“弱增函数”，则a=4答案BD解析f(x)=x2在(0，+∞)上单调递增，y=f(x)x=x在(0，因此不存在区间M使f(x)=x2为“弱增函数”，A错误；由对勾函数的性质知，f(x)=x+1x在［1，+∞)上单调递增，y=f(x)x=1+x-2在［1因此存在区间［1，+∞)使f(x)=x+1x为“弱增函数”，B函数f(x)=x+x3在R上单调递增，y=f(x)x=1+x2，显然函数f(x)x在(0，+∞)因此函数f(x)=x+x3不是R上的“弱增函数”，C错误；若f(x)=x2+(4-a)x+a在区间(0，2］上是“弱增函数”，则f(x)=x2+(4-a)x+a在(0，2］上单调递增，有-4-a2≤0，解得a≤又y=f(x)x=x+(4-a)+ax在而当a≤0时，y=f(x)x=x+(4-a)+ax在于是a>0，又由对勾函数的单调性知，函数y=x+ax在(0，a因此a≥2，即a≥4，所以a=4，D正确.14.(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinhx=ex-e-x2,双曲余弦函数coshx=ex+e-x2,A.双曲正弦函数是增函数B.双曲余弦函数是增函数C.双曲正切函数是增函数D.tanh(x+y)=tanh答案ACD解析对于A,令f(x)=sinhx=ex则f'(x)=ex+e故双曲正