10.6带电粒子在电场中的运动（解析版）高考一轮复习100考点100讲

2024年高考一轮复习100考点100讲第10章静电场第9.6讲带电粒子在电场中的运动【知识点精讲】一.带电粒子在电场中的加速带电粒子沿与电场线平行的方向进入电场，带电粒子将做加(减)速运动。有两种分析方法：(1)用动力学观点分析：a＝eq\f(qE,m)，E＝eq\f(U,d)，v2－veq\o\al(2,0)＝2ad。(2)用功能观点分析：粒子只受电场力作用，电场力做的功等于物体动能的变化，qU＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)。二、带电粒子在电场中的偏转1．条件分析：带电粒子垂直于电场方向进入匀强电场。2．运动性质：匀变速曲线运动。3．处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动。4．运动规律：(1)沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①能飞出电容器：t＝\f(l,v0)。,②不能飞出电容器：y＝\f(1,2)at2＝\f(qU,2md)t2，t＝\r(\f(2mdy,qU))。))(2)沿电场力方向，做匀加速直线运动。eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(加速度：a＝\f(F,m)＝\f(qE,m)＝\f(Uq,md)。,离开电场时的偏移量：y＝\f(1,2)at2＝\f(Uql2,2mdveq\o\al(2,0))。,离开电场时的偏转角：tanθ＝\f(vy,v0)＝\f(Uql,mdveq\o\al(2,0))。))【方法归纳】1.带电体在匀强电场中的直线运动问题分析的思维导图：2．带电粒子在电场中运动时重力的处理(1)微观粒子(如电子、质子、α粒子等)在电场中的运动，通常不必考虑其重力及运动中重力势能的变化。(2)普通的带电体(如油滴、尘埃、小球等)在电场中的运动，除题中说明外，必须考虑其重力及运动中重力势能的变化。二、带电粒子在电场中的偏转的推论(1)速度偏角正切值tanα是位移偏角正切值tanθ的2倍。(2)粒子经电场偏转后射出时，瞬时速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为eq\f(l,2)，如上图所示。4．功能关系当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02，其中Uy＝eq\f(U,d)y，指初、末位置间的电势差。三分析带电粒子在匀强电场中的偏转问题的关键1．条件分析：不计重力，且带电粒子的初速度v0与电场方向垂直，则带电粒子将在电场中只受电场力作用做类平抛运动。2．运动分析：一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动。【最新高考题精练】1．（15分）（2022·高考广东物理）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。图13是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率。不计空气浮力，重力加速度为g。求：（1）比例系数k；（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离电势能的变化量；（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。【命题意图】本题考查平衡条件，功能关系、动量守恒定律及其相关知识点，意在考查对物理过程分析、灵活运用知识和科学思维能力。【解题思路】（1）m0g=kmv1，v1t=h1，解得k=。（2）给两极板加上电压U，两极板之间产生竖直向下的匀强电场。A继续以原速率下落，说明A不带电；B匀速上升，说明B带负电荷。由平衡条件，qU/d=m0g+kmv2，v2t=h2，解得q=B上升h2距离，电场力做功W=qU/d·h2=由功能关系可得电势能减少了△E=W=（3）A、B合并，动量守恒，设竖直向下为正方向，由动量守恒定律，m0v1-m0v2=（m0+m0）v解得v=。新油滴的质量为2m0，新油滴所受电场力若，即可知新油滴速度方向向上，新油滴向上加速，设达到平衡时速度为v1，达到平衡时解得速度大小为，速度方向向上；若，即可知新油滴速度方向向下，新油滴向下加速，设达到平衡时速度为v2，达到平衡时解得速度大小为，速度方向向下。2.（2022新高考江苏卷）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，边长为，边长为，质量为m、电荷量为的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为，入射角为，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。（1）当时，若粒子能从边射出，求该粒子通过电场的时间t；（2）当时，若粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，求入射角的范围；（3）当，粒子在为范围内均匀射入电场，求从边出射的粒子与入射粒子的数量之比。【参考答案】（1）；（2）或；（3）【命题意图】本题考查带电粒子在匀强电场中的运动及其相关知识点。【解题思路】（1）电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图所示粒子在水平方向的速度为根据可知解得（2）粒子进入电场时的初动能粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，则要求解得所以入射角的范围为或（3）设粒子入射角为时，粒子恰好从D点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向反复做加速相同的减速运动，加速运动。粒子的速度运动时间为粒子在沿电场方向，反复做加速相同的减速运动，加速运动，则则则粒子在分层电场中运动时间相等，设为，则且代入数据化简可得即解得（舍去）或解得则从边出射的粒子与入射粒子的数量之比3．（20分）（2020高考全国理综I）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。（1）求电场强度的大小；（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？【名师解析】：（1）粒子初速度为零，由C点射出电场，故电场方向与AC平行，由A指向C。由几何关系和电场强度的定义知AC=R①F=qE②由动能定理有F·AC=③联立①②③式得④（2）如图，由几何关系知AC⊥BC，故电场中的等势线与BC平行。作与BC平行的直线与圆相切于D点，与AC的延长线交于P点，则自D点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大。由几何关系知∠PAD=30°，AP=R，DP=⑤设粒子以速度v1进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为t1。粒子在AC方向做加速度为a的匀加速运动，运动的距离等于AP；在垂直于AC的方向上做匀速运动，运动的距离等于DP。由牛顿第二定律和运动学公式有F=ma⑥⑦DP=v1t1⑧联立②④⑤⑥⑦⑧式得⑨（3）设粒子以速度v进入电场时，在电场中运动的时间为t。以A为原点，粒子进入电场的方向为x轴正方向，电场方向为y轴正方向建立直角坐标系。由运动学公式有⑩x=vt eq\o\ac(○,11)粒子离开电场的位置在圆周上，有 eq\o\ac(○,12)粒子在电场中运动时，其x方向的动量不变，y方向的初始动量为零。设穿过电场前后动量变化量的大小为mv0的粒子，离开电场时其y方向的速度分量为v2，由题给条件及运动学公式有mv2=mv0=mat eq\o\ac(○,13)联立②④⑥⑩eq\o\ac(○,11)eq\o\ac(○,12)eq\o\ac(○,13)式得v=0 eq\o\ac(○,14)和 eq\o\ac(○,15)另解：由题意知，初速为0时，动量增量的大小为mv0，此即问题的一个解。自A点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，沿y方向位移相等时，所用时间都相同。因此，不同粒子运动到线段CB上时，动量变化都相同，自B点射出电场的粒子，其动量变化也为mv0，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率。4．（18分）（2020高考天津卷）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。（1）求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间；（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；（3）已知质量为的离子总飞行时间为，待测离子的总飞行时间为，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量。【名师解析】．（18分）（1）设离子经加速电场加速后的速度大小为v，有 ①离子在漂移管中做匀速直线运动，则 ②联立①②式，得 ③（2）根据动能定理，有 ④得 ⑤（3）离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，设其为，有 ⑥通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为，在无场区的总路程设为，根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为v，设离子的总飞行时间为。有 ⑦联立①⑥⑦式，得 ⑧可见，离子从A到B的总飞行时间与成正比。由题意可得可得 ⑨5．(2020·浙江7月选考)如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从MN连线上的P点水平向右射入大小为E、方向竖直向下的匀强电场中。已知MN与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达MN连线上的某点时()A．所用时间为eq\f(mv0,qE)B．速度大小为3v0C．与P点的距离为eq\f(2\r(2)mv02,qE)D．速度方向与竖直方向的夹角为30°【参考答案】C【名师解析】粒子从P点垂直电场方向出发到达MN连线上某点时，由几何知识得沿水平方向和竖直方向的位移大小相等，即v0t＝eq\f(1,2)at2，其中a＝eq\f(Eq,m)，联立解得t＝eq\f(2mv0,qE)，A项错误；粒子在MN连线上某点时，粒子沿电场方向的速度v＝at＝2v0，所以合速度大小v＝eq\r(（2v0）2＋v02)＝eq\r(5)v0，B项错误；该点到P点的距离s＝eq\r(2)x＝eq\r(2)v0t＝eq\f(2\r(2)mv02,qE)，C项正确；由平行四边形定则可知，在该点速度方向与竖直方向夹角的正切值tanθ＝eq\f(v0,2v0)＝eq\f(1,2)，则θ≠30°，D项错误。6(2019·全国卷Ⅱ)如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为φ(φ>0)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。(1)求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；(2)若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？【名师解析】：(1)PG、QG间场强大小相等，均为E。粒子在PG间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有E＝eq\f(2φ,d)①F＝qE＝ma②设粒子第一次到达G时动能为Ek，由动能定理有qEh＝Ek－eq\f(1,2)mv02③设粒子第一次到达G时所用的时间为t，粒子在水平方向的位移大小为l，则有h＝eq\f(1,2)at2④l＝v0t⑤联立①②③④⑤式解得Ek＝eq\f(1,2)mv02＋eq\f(2φ,d)qh⑥l＝v0eq\r(\f(mdh,qφ))。⑦(2)若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短。由对称性知，此时金属板的长度L为L＝2l＝2v0eq\r(\f(mdh,qφ))。⑧答案：(1)eq\f(1,2)mv02＋eq\f(2φ,d)qhv0eq\r(\f(mdh,qφ))(2)2v0eq\r(\f(mdh,qφ))7.（2010天津理综）质谱分析技术已广泛应用于各前沿科学领域。汤姆孙发现电子的质谱装置示意如图，M、N为两块水平放置的平行金属极板，板长为L，板右端到屏的距离为D，且D远大于L，O’O为垂直于屏的中心轴线，不计离子重力和离子在板间偏离O’O的距离。以屏中心O为原点建立xOy直角坐标系，其中x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。（1）设一个质量为m0、电荷量为q0的正离子以速度v0沿O’O的方向从O’点射入，板间不加电场和磁场时，离子打在屏上O点。若在两极板间加一沿+y方向场强为E的匀强电场，求离子射到屏上时偏离O点的距离y0。(2)假设你利用该装置探究未知离子，试依照以下实验结果计算未知离子的质量数。上述装置中，保留原电场，再在板间加沿-y方向的匀强磁场。现有电荷量相同的两种正离子组成的离子流，仍从O’点沿O’O方向射入，屏上出现两条亮线。在两线上取y坐标相同的两个光点，对应的x坐标分别为3.24mm和3.00mm，其中x坐标大的光点是碳12离子击中屏产生的，另一光点是未知离子产生的。尽管入射离子速度不完全相同，但入射速度都很大，且在板间运动时O’O方向的分速度总是远大于x方向和y方向的分速度。【名师解析】：（1）离子在电场中受到的电场力Fy=q0E ①离子获得的加速度ay=Fy/m0 ②离子在板间运动的时间 ③ 到达极板右边缘时，离子在方向的分速度 vy=ayt0 ④ 离子从板右端到达屏上所需时间 ⑤离子射到屏上时偏离点的距离 y0=vyt0’由上述各式，得 ⑥（2）设离子电荷量为q，质量为m，入射时速度为v，磁场的磁感应强度为B，磁场对离子的洛伦兹力Fx=qvB ⑦已知离子的入射速度都很大，因而离子在磁场中运动时间甚短，所经过的圆弧与圆周相比甚小，且在板间运动时，O’O方向的分速度总是远大于在方向和方向的分速度，洛伦兹力变化甚微，故可作恒力处理，洛伦兹力产生的加速度 ⑧ ax是离子在方向的加速度，离子在方向的运动可视为初速度为零的匀加速直线运动，到达极板右端时，离子在方向的分速度 ⑨ 离子飞出极板到达屏时，在方向上偏离点的距离 ⑩当离子的初速度为任意值时，离子到达屏上时的位置在方向上偏离点的距离为，考虑到⑥式，得 eq\o\ac(○,11)由⑩、eq\o\ac(○,11)两式得 eq\o\ac(○,12)其中 上式表明，是与离子进入板间初速度无关的定值，对两种离子均相同，由题设条件知，x坐标3.24mm的光点对应的是碳12离子，其质量为m1=12u，x坐标3.00mm的光点对应的是未知离子，设其质量为m2，由eq\o\ac(○,12)式代入数据可得m2≈14u。故该未知离子的质量数为14。【最新模拟题精练】1.（2023北京166中学高考适应性考试）如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOyQUOTExOy的第一象限存在着方向平行于y轴的匀强电场，场强大小为5×103N/C。一个可视为质点的带电小球在t=0时刻从y轴上的a点以沿x轴正方向的初速度进入电场，图中的b、c、d是从t=0时刻开始每隔0.1s记录到的小球位置，已知重力加速度的大小是10m/s2。则以下说法正确的是（）A.小球从a运动到d的过程中，电势能一定减小B.小球从a运动到d的过程中，机械能一定增大C.小球的初速度是60m/sD.小球的比荷（）是1×10-3C/kg【参考答案】D【名师解析】在竖直方向上，由Δy=a得a=说明电场力方向竖直向上，小球从a运动到d的过程中，电场力做负功，则其电势能一定增大，电场力做负功，则小球的机械能一定减小，故AB错误；在水平方向上，小球做匀速直线运动，则有v0=xT由牛顿第二定律得ma=mg-qE，得qm=2.（2023河南洛阳等4市三模）如图所示，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在一个沿y轴正方向的匀强电场。一个带正电荷的粒子（不计重力），以某一速度从坐标原点O开始沿x轴正方向进入电场（此时t=0）。则电场力对粒子做功的功率P与粒子在电场中运动时间t的关系图像，下列可能正确的是（）A. B.C. D.【参考答案】C【名师解析】粒子进度电场后做类平抛运动，x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动，，则电场力对粒子做功的功率P为，故，故选C。3.（2023湖南名校高二联考）如右下图所示，虚线下方的区域存在方向水平向右的匀强电场，该电场的电场强度大小。自该区域上方距电场边界距离为h的位置同时将质量为m、电荷量均为q（）的带电小球M、N同时以相反的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域。已知M在电场中做直线运动。不计空气阻力与两个小球间的初始距离，重力加速度大小为g，两个小球可视为质点，下列说法不正确的是（）A.M与N释放的初速度B.经过时间，两小球相距4hC.当N小球运动至电场进入点的正下方时，此时M、N两个小球的动能之比为9∶5D.当小球N运动至与小球M的电场轨迹线相距时，小球N的运动时间为【参考答案】D【名师解析】M在电场中做直线运动，则进入电场的速度方向与受到的合力方向相同，重力和电场力大小相等，可知竖直方向速度大小为，由，得，故A正确，不符合题意；当，，故B正确，不符合题意；N运动至正下方点时，水平方向结合竖直上抛运动知识，可得，水平方向速度大小为-，由于重力和电场力大小相等，所以这段时间内冲量大小相等，竖直方向和水平方向动量变化量大小相等，可知，竖直方向速度大小为3，则，则，C正确，不符合题意；N球进入电场时，受到的合外力与场强方向夹角为，速度方向与场强方向夹角为，做类平抛运动，N球进入电场时的速度为，M、N球进入电场时的两点间的距离为4h，由几何关系有，。进入电场前已运动的时间为故总时间为，故D错误，符合题意。4．（多选）平行金属板PQ、MN与电源和滑动变阻器如图所示连接，电源的电动势为，内阻不计；靠近金属板P的S处有一粒子源能够连续不断地产生质量为、电荷量为、初速度为零的粒子，粒子在PQ间的加速电场作用下穿过Q板的小孔，紧贴N板水平进入MN间的偏转电场；改变滑片P的位置可改变加速电场的电压和偏转电场的电压，且所有粒子都能够从间飞出，下列说法正确的是（）A．粒子的竖直偏转距离与成正比B．滑片P向左滑动，从偏转电场飞出的粒子的偏转角将减小C．飞出偏转电场的粒子的最大速率D．飞出偏转电场的粒子的最大速率【参考答案】BC【名师解析】带电粒子在加速电场中加速时有：，在偏转电场中，偏移量为，由于U1+U2=E，则；则粒子的竖直偏转距离y与U2不成正比关系，故A错误；从偏转电场飞出的粒子偏转角tanθ=，滑片P向右滑动的过程中U1增大，U2减小，则从偏转电场飞出的粒子的偏转角逐渐减小，故B正确；当粒子在加速电场中一直被加速时，飞出的偏转电场的速率最大，即当U1=E时，粒子的速率最大，根据动能定理可得，解得，故C正确，D错误。5．（2023河南三市名校联考）某带电粒子以不为零的初速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行，不计粒子重力。下列描绘粒子动量大小p、动能Ek、速度大小v分别与运动时间t的变化图像和速度大小v与沿y轴方向位移y的大小关系图像中，可能正确的为（）A. B. C. D.【参考答案】D【名师解析】带电粒子在x方向做匀速运动，在y方向做初速为零的匀加速直线运动，设其初速度为v0，电场力产生的y方向的加速度为a，经过时间t，则合速度①可以看出v与时间t不是一次函数关系，动量p=mv与t也不是一次函数关系，故AB错误；由y方向的分位移得带入①式中可得可见v与y是一种非线性递增关系，但v增加的比y增加的慢，斜率应逐渐减小，故C错误；动能可见Ek与t是一种非线性递增二次函数关系，斜率逐渐增大，故D可能正确。6.（2022广州培正中学三模）有一种测量电场强度的方法，其原理如图，竖直平面的虚线框内存在水平方向的匀强电场，虚线框高度为d。让质量为m、带电量为q的粒子从M点由静止释放，最终带电粒子在电场区域下边界的照相底片上打出一个感光点P，P点与M点的水平距离为0.5d，已知重力加速度为g，则电场强度E大小为（）A. B. C. D.【参考答案】A【名师解析】竖直方向满足水平方向满足，联立解得，故A正确，BCD错误。7..(2023北京海淀二模)如图1所示，两平行金属板A、B间电势差为U1，带电量为q、质量为m的带电粒子，由静止开始从极板A出发，经电场加速后射出，沿金属板C、D的中心轴线进入偏转电压为U2的偏转电场，最终从极板C的右边缘射出。偏转电场可看作匀强电场，板间距为d。忽略重力的影响。（1）求带电粒子进入偏转电场时速度的大小v。（2）求带电粒子离开偏转电场时动量的大小p。（3）以带电粒子进入偏转电场时的位置为原点、以平行于板面的中心轴线为x轴建立平面直角坐标系xOy，如图2所示。写出该带电粒子在偏转电场中的轨迹方程。【参考答案】（1）；（2）；（3）【名师解析】（1）对带电粒子从左极板由静止，经加速电场并进入偏转电场的过程中，运用动能