013  机械振动和机械波-（核心知识查漏）（教师版）

核心知识查漏013机械振动与机械波一、机械振动1．振动类型与简谐性的判定（1）简谐运动的受力特点（回复力随位移的变化关系）：F＝－kx。（2）简谐运动的位移特点（位移随时间的变化关系）：x＝Asinωt（振动图像为正弦曲线）。（3）简谐运动的速度特点（速度随时间的变化关系）：v＝vmsinωt（速度图像为正弦曲线）。（求振动速度的两种方法：①位移求导法；②机械能守恒法）2．简谐运动统一的周期公式及其等时性（1）所有简谐运动统一的周期公式：（其中）。（2）简谐运动的周期与振幅无关（单摆做简谐运动的周期还与质量无关）。3．单摆简谐运动的几个近似关系及周期公式（1）当角θ（弧度数）很小（即θ→0）时：sinθ≈tanθ≈θ（弧度数）≈≈。（2）单摆做简谐运动的周期：。4．简谐运动的强弱与能量做简谐运动的物体总能量守恒（以下结论中取平衡位置总势能为零）（1）振动的最大势能（如果有多种势能，则指总势能）。（2）振动的最大动能。二、波的特性1．机械波的形成条件和特点（1）条件：有发生机械振动的波源；有传播介质，如空气、水等。（2）传播特点：机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移；介质中各质点的振幅相同，振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同；一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零。2．波长、波速、频率及其关系（1）波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离，与波源和介质都有关。（2）波速v：机械波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。（3）频率f：等于波源的振动频率，由波源决定。（4）波长、波速和频率的关系：v＝λf＝eq\f(λ,T)。3．波特有的现象（1）波的干涉中振动加强点和减弱点的判断某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。当两波源振动步调一致时若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动加强；若Δr＝（2n＋1）eq\f(λ,2)（n＝0，1，2，…），则振动减弱。当两波源振动步调相反时若Δr＝（2n＋1）eq\f(λ,2)（n＝0，1，2，…），则振动加强；若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动减弱。（2）波的衍射现象：波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。（3）多普勒效应的成因分析：接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数．当波以速度v通过观察者时，时间t内通过的完全波的个数为N＝eq\f(vt,λ)，因而单位时间内通过观察者的完全波的个数即接收频率；当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。三、振动图像与波动图像振动图象波动图象研究对象一振动质点沿波传播方向的所有质点研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律图象物理意义表示同一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移图象信息（1）质点振动周期（2）质点振幅（3）某一质点在各时刻的位移（4）各时刻速度、加速度的方向（1）波长、振幅（2）任意一质点在该时刻的位移（3）任意一质点在该时刻的加速度方向（4）传播方向、振动方向的互判图象变化随时间推移，图象延续，但已有形状不变随时间推移，波形沿传播方向平移一完整曲线占横坐标的距离表示一个周期表示一个波长1．（2025静安一模·四·第2题）如图为两波源S1、S2在水槽中产生的波形，其中实线表示波峰，虚线表示波谷。为使两波在相遇区域能发生干涉，应（）SS2S1A．增大S1与S2的间距 B．降低S1的振动周期C．将槽中的水换成油 D．增大S2的振动频率【答案】B2．（2025嘉定一模·三·第4题）为了研究物体A的振动，如图(a)所示，在A上固定一支激光笔，水平向右发射出的激光照射到有感光涂层的圆筒表面可以留下痕迹，圆筒以0.1r/s的转速绕轴转动，圆筒半径为10cm。将A从平衡位置竖直向下拉开2cm后由静止释放，某段时间内在圆筒表面获得的图像如图(b)所示。22-20x/cmy/cm369P(b)0.04kA(a)(1)A振动的频率约为______Hz。A．0.17 B．0.70 C．1.05 D．2.09(2)图(b)中P点位置对应物体A处于______状态。A．失重 B．超重(3)在物体A相邻两次达到最大速率的过程中，重力的______。A．冲量和做功均为零 B．冲量不为零，做功为零C．冲量和做功均不为零 D．冲量为零，做功不为零【答案】(1)B(2)A(3)B【解析】(1)由圆筒转速可知，线速度v=0.1×2πr由图像(b)可知波长λ=9cm，所以f=v/λ=0.7Hz所以B正确。(2)P点加速度向下，处于失重状态，故A正确。(3)质点在相邻两次到最大速度，即平衡位置的过程中，时间不为0，所以重力的冲量不为0，位移为0，所以重力做功为0，故B正确。青蛙的后腿肌肉非常发达，其长腿和身体结构在跳跃时能够保存更多的机械能量，增加跳跃的力量和距离。3．（2025闵行一模·一·第1题）如图（a），青蛙在平静的水面上持续鸣叫引起水面持续振动，形成的水面波近似为简谐横波，如图（b）所示，O处为波源，实线圆、虚线圆表示相邻的波峰和波谷，波源垂直xOy平面振动。质点A的振动图像如图（c）所示。（1）水面波的传播速度大小为m/s；（2）如图（d），波遇到固定在水面的挡板后继续传播，但靠近挡板浮在水面的一片树叶没有明显振动，下列改变有可能使树叶振动起来的是()A．增加板长

B．减小板长C．当青蛙发出更低沉的鸣叫

D．当青蛙发出更尖锐的鸣叫【答案】0.25BC【解析】（1）[1]由图可知波长为m，周期为s，则波速为（2）[2]根据波发生明显衍射的条件为波长大于等于障碍物尺寸可知，能使树叶振动起来的是减小板长或增大波长，即减小频率。故选BC。4．（2025静安一模·四·第1题）如图所示，利用发波水槽形成的水波向四周传播，S是波源，质点M、Q与S在同一条直线上，若波源沿直线MQ向Q匀速移动，则M、Q两点接收到的水波频率的大小关系是fM______fQ。SSMQ【答案】<5．（2025嘉定一模·三·第3题）已知声波在空气和水中的传播速度大小分别为340m/s和1500m/s。类比光的传播规律可知，当声波从______斜射入______中时可能发生全反射现象，临界角约为______°（保留3位有效数字）。【答案】空气水13.1°【解析】根据题意，声波在空气中的传播速度为340m/s，在水中的传播速度为1500m/s。类比光的全反射现象，声波从传播速度较慢的介质(空气)斜射入传播速度较快的介质(水)中时，可能发生全反射现象。临界角的计算公式为：则：C=13.1°6．（2025青浦一模·三·第9题）如图（a）所示，演员正在舞台上表演“水袖”，甩出水袖的波浪可简化为简谐横波，沿x轴正方向传播的某时刻部分波形图如图（b）所示（3-18m之间有多个完整波形图未画出）。若手抖动的频率是0.5Hz，袖子足够长且忽略横波传播时振幅的衰减，则图示时刻P点的振动方向为（填“沿y轴正方向”或“沿y轴负方向”），该简谐横波的波长为m，该简谐横波的传播速度为m/s【答案】沿y轴负方向7.53.75【解析】[1]波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知P点的振动方向为沿y轴负方向；[2]由波形图可知m，3-18m之间有多个完整波形图未画出，则有解得，m[3]根据波速与波长的关系有悬锤静候，因重力而兴舞；摆线轻牵，借周期以复回。动止有法，高低错落皆循理；往返有常，左右参差亦守规。7．（2025闵行一模·四·第13题）如图，用绝缘细线悬挂一个带电金属球，球心到悬点距离为L。左侧空间存在有界匀强磁场B，已知重力加速度为g，（1）在图示位置，由静止释放金属球，则其第一次到达最低点的速率为v1=。（2）若金属球第二次到达最低点时的速率为v2，则v1v2（选涂：A．>

B．<

C．=）8．（2025闵行一模·四·第14题）如图，在悬点正下方有一个能挡住摆线的钉子A，现将单摆向右拉开一个角度后无初速度释放。（1）若绳子碰到钉子前、后两个瞬间摆球角速度分别为ω1、ω2，则ω1ω2（选涂：A．>

B．<

C．=）（2）若摆球在左、右两侧最大摆角处的加速度为a1、a2，则a1a2（选涂：A．>

B．<

C．=）9．（2025闵行一模·四·第15题）如图（a），某同学用单摆测当地重力加速度，绳子上端为力传感器，可测摆绳上的张力F。（1）图（b）为F随时间t变化的图像，在0~1s内，摆球在最低点的时刻为s，该单摆的周期T=s。（2）该同学测量了摆线长度L，通过改变L，测得6组对应的周期T。描点，作出T2–L图线，如图（c），图线的横、纵截距为−p和q。在图线上选取A、B两点，坐标为（LA，TA2）和（LB，TB2），则重力加速度g=；摆球的直径d=。【答案】7．A8．BA9．0.71.62p【解析】7．[1]由机械能守恒定律得解得[2]带电金属球在进入和离开磁场过程中，有感应电流，产生焦耳热，小球动能减小，故有，故选A。8．[1]若绳子碰到钉子前、后两个瞬间线速度大小不变，由于碰到钉子后半径减小，由故选B。[2]若摆球在左、右两侧最大摆角处与竖直方向的夹角分别为、，在左、右两侧最大摆角处的加速度分别为，由于机械能守恒，左、右两侧最大摆角处高度相等，有，故有故选A。9．[1]小球在最低点时绳子上的力最大，故在0~1s内，摆球在最低点的时刻为；[2]小球在最高点时绳子上的力最小，相连最高点和最低点的时间间隔得[3][4]由单摆周期公式有整理有所以图像的斜率为结合题图，整理有又由纵轴截距综合解得摆球的直径10．（2025松江一模·一·第1题）微风动柳生水波微风吹动岸边的垂柳，浸入湖面的柳枝上下振动，在湖面产生水波。(1)柳枝附近有一露出湖面的木桩。开始时，水波未明显绕过该木桩。某时刻起，水波明显绕过木桩，这可能是因为与之前相比，现在柳枝振动______。A．周期大B．周期小C．频率大D．频率小E．振幅小(2)以柳枝浸入点为坐标原点，沿波在湖面传播的某一方向建立x轴。从某一时刻开始计时，时x轴上部分波动图像如图（a）所示。在x轴上离坐标原点不远处有一片柳叶，图（b）为该柳叶振动图像的一部分。则

①柳叶平衡位置可能位于。A．M点

B．N点

C．P点

D．Q点②波从波源传到Q点需要的时间为s。(3)若观察到柳枝振动产生的水波图样如图所示，这可能是因为柳枝______。A．向左移动了B．振动频率增大了C．向右移动了D．振动频率减小了【答案】(1)AD(2)B0.3(3)A【解析】（1）发生明显衍射现象的条件是障碍物或孔的尺寸与波长相差不大，或者比波长小，根据波速有介质决定，水波明显绕过木桩，木桩尺寸不变，表明波长增大了，可知，这可能是因为与之前相比，现在柳枝振动频率减小了，即周期变大了。故选AD。（2）[1]根据图（b）可知，0.4s时刻，柳叶处于平衡位置向下振动，结合图（a），根据同侧法可知，柳叶平衡位置可能位于N点。故选B。[2]波速为，则波从波源传到Q点需要的时间为（3）水波图样左侧密集，右侧稀疏，这属于多普勒效应，当观察者与波源相对靠近时，观察到的频率增大，当相互远离时，观察到的频率减小，可知，这可能是因为柳枝向左移动了。故选A。图甲为海上的一种浮桶式波浪发电灯塔，其原理如图乙所示。浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上，水平方向产生辐向磁场。密闭浮桶的内置线圈与桶相对静止，可相对于磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中。浮桶在仅受浮力和重力作用下的振动为简谐运动，浮桶下部始终浸没在海水中，且上部始终没有进入海水中，其外侧圆周的横截面积（如图乙中阴影部分所示）为S，海水密度为ρ，重力加速度为g，忽略海水对浮桶的阻力。11．（2025青浦一模·六·第20题）浮桶做简谐运动的回复力满足F回=-kx，请选择合适的方法确定系数k的表达式应为下列选项中的（）A．ρgS B．ρgS2 C． D．ρg12．（2025青浦一模·六·第21题）若某次自由振动中的振幅为0.5m，周期为5s，且t=0时，浮桶位于振动的最高点，以向上为正方向。（1）这次振动过程的位移与时间的关系式x=（m）。（2）在下图中选取合适的刻度，作出浮桶的振动图像（至少画出一个周期）。13．（2025青浦一模·六·第22题）若海浪的周期始终为T=3.0s，浮桶实际随波浪上下运动可视为受迫振动。内置线圈的匝数N=200，固定磁体在线圈所处位置产生的辐向磁场的磁感应强度大小为B=0.20T，线圈直径D=0.40m，总电阻r=1.0Ω，该线圈与阻值R=15Ω的灯泡相连。取重力加速度g=10m/s2，且π2=10。（1）已知浮筒作简谐运动的固有周期公式为，其中m为振子质量，在国际单位制中k的数值为2×103。则当浮桶及线圈的总质量m=kg时，该浮桶式波浪发电机的发电功率达到最高；（2）若振动的速度随时间变化关系可表示为，求灯泡在6s内消耗的电能。【答案】11．A12．0.5sin（）见解析13．450kg288J【解析】11．根据题意，设浮桶及线圈的总质量为M，在水面平衡时，排开水的体积为V0，则有设浮桶及线圈相对平衡位置的位移是x，可得F回=-F+Mg==可得回复力系数故选A。12．[1]设振动方程为，其中振幅为0.5m，周期为5s，且t=0时，x=0.5m，代入解得0.5sin（）（m）[2]如图13．[1]简谐运动的周期，结合回复力系数，可得浮桶与线圈做简谐运动的固有周期，海浪的周期始终为T=3.0s，则二者周期相等时，波浪机械能转化为电能的效率最高，解得m=450kg[2]由速度与时间关系可知最大速度为0.8m/s，发电的最大电动势为电流的有效值为A消耗的电能为J14．（2025浦东新区一模·一·第1题）上海慧眼9月的中秋，台风“贝碧嘉”登陆上海。上海中心里的镇楼神器——“上海慧眼”在默默地守护着这座摩天大楼，如图（a）所示。“上海慧眼”是一个阻尼器，位于大楼的顶层。它由钢索悬吊起一个带有底盘的重物构成，如图（b）所示。当传感器探测到大楼受到风力晃动时，计算机系统会控制阻尼器朝着与大楼晃动的反方向运动。(1)钢索对阻尼器的拉力是由于（

）的形变而产生的。A．钢索B．阻尼器(2)若把某段时间内阻尼器的运动看成水平方向的等幅振动，振幅为70cm，则一个周期内阻尼器经过的路程为cm。(3)台风时期，阻尼器的振动（

）受迫振动。A．是B．不是(4)设t0时刻阻尼器的机械能为E0，之后t1时刻阻尼器的机械能为E1，如图（c）所示。该过程中，控制系统对阻尼器（

）A．不做功B．做负功C．做正功【答案】(1)A(2)(3)A(4)C【详解】（1）根据弹力产生的本质可知，钢索对阻尼器的拉力是由于钢索的形变而产生的。故选A。（2）一个周期内阻尼器经过的路程为cm（3）台风时期，阻尼器在台风风力的作用下做受迫振动。故选A。（4）由图（c）所示，阻尼器的机械能增加，则控制系统对阻尼器做正功。故选C。15．（2025金山一模·一·第1题）（11分）地球上每年会发生500多万次地震。地震是地壳快速释放能量过程中造成的振动，以机械波的形式从震中向外传播。地震时震源同时发出纵波和横波，纵波和横波在地表附近被认为是匀速传播的。（1）震源发出的一列横波在一个周期内传播的距离是。A．一个振幅B．四个振幅C．一个波长D．四个波长（2）震源发出的横波波速为4km/s，纵波波速为7km/s，图为地震记录仪记录的某次地震情况。①先到达记录仪的a波是震源发出的波。②若两种波到达记录仪的时间相差Δt＝120s，则记录仪所处位置与震源间的距离为km。（3）某次地震使海水起伏形成海浪，可以近似将海浪看成横波。①已知海水越深，海浪的传播速度越大。则海水越深，海浪的波长。A．越大B．一样C．越小②甲、乙两艘渔船停泊在海边，当海浪经过时，两船随海面每分钟上下浮动20次。已知两船相距18m（两船连线与波的传播方向一致）。甲船处于海浪的波峰时，乙船在波谷，在两船之间还有一个波峰。则海浪的波长λ和海浪传播的速度大小v分别为。A．λ＝36m，v＝12m/sB．λ＝12m，v＝4m/sC．λ＝36m，v＝108m/sD．λ＝12m，v＝36m/s【答案】（1）C；（2）①纵；②1120；（3）①A；②B。【解析】（1）根据横波的传播规律，震源发出的一列横波在一个周期内传播的距离是等于一个波长，故C正确，ABD错误。故选C。（2）①因为纵波波速大于横波波速，在传播距离相同的情况下，纵波先达到记录仪所在的位置，故a波是纵波；②设记录仪所处位置与震源间的距离为x，横波的波速v1＝4km/s，纵波的波速v2＝7km/s，根据题意，有＝Δt，代入数据解得x＝1120km；（3）①海浪在海水中传播时，频率相同，根据公式v＝λf，可得海水传播速度越大，波长越大，故A正确，BC错误。故选A。②海浪的周期为，根据两船相距18m，甲船处于海浪的波峰时，乙船在波谷，在两船之间还有一个波峰的条件可得λ＝d＝18m，故波长λ＝12m，所以波速m/s＝4m/s，故B正确，ACD错误。故选B。16．（2025金山一模·四·第4题）（22分）在单摆摆动过程中，摆球在竖直平面内沿圆弧做往复运动。（1）单摆的摆动可能是一种。A．匀速运动B．匀变速运动C．简谐运动（2）某单摆的振动图像如图所示：①该单摆的摆长为m。（结果保留一位有效数字）②t＝2.0s时，摆球的运动方向为。（3）单摆在小角度范围内摆动过程中，下列图像中能正确反映摆球所受回复力F和位移x关系的是。（4）单摆摆动过程中动能和重力势能随时间变化的图像如图所示，其中虚线表示重力势能的变化。A、B两点分别在两条图线的最高点，则A、B两点分别对应摆球运动过程中的。A．最高点、最高点B．最低点、最高点C．最高点、最低点D．最低点、最低点（5）在“用单摆测量重力加速度的大小”实验中，①测得摆长后，让小球做小角度摆动，测量小球多次全振动的时间。计时开始时刻，小球应处于。A．左侧最高点B．平衡位置C．右侧最高点②改变摆线的长度，重复几次实验。测得多组摆长l和周期T的数据，得到如图所示的图线，若直线的斜率为k，则当地的重力加速度大小为。③若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将。A．偏大B．偏小C．不变（6）（计算）某单摆摆长为l，平衡位置O离地高度为h，小球摆动到O点时细绳恰好断开，小球落地点到O的水平距离为x，当地重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：①小球在O点处时的速度大小v；②单摆的摆角θ。【答案】（1）C；（2）4；x轴负方向；（3）D；（4）B；（5）B；；C；（6）①；②arccos（1﹣）。【解析】（1）单摆的摆动是一种简谐运动，故C正确，AB错误；故选：C。（2）①根据图像可知周期T＝4s，单摆周期公式T＝2π代入数据可得L＝4m；②t＝2.0s时，摆球的运动方向为x轴负方向；（3）根据简谐振动的特点F＝﹣kx可知，回复力F和位移x关系为斜率为负的正比例函数，故D正确，ABC错误；故选D。（4）由图可知A点的动能最大，则速度最大，摆球在最低点，B点的重力势能最大，则位移最大，在最高点，故B正确，ACD错误；故选B。（5）①为方便计时，计时开始时刻，小球应处于平衡位置，故B正确，AC错误；故选B。②根据单摆周期公式解得T2＝l，则有k＝解得g＝③若将摆线长度L误认为摆长l，有，则得到的图线为T2＝L+，仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为，故得到的重力加速度值不变，故C正确，ABD错误。故选C。（6）①根据平抛运动规律有x＝vt解得②小球摆动过程，根据动能定理有mgl（1﹣cosθ）＝解得摆角θ＝arccos（1﹣）在2024年巴黎奥运会的艺术体操个人全能决赛中，中国选手王子露巧妙地将中国风融入舞蹈编排，最终获得总分第七，创造了我国历史最佳战绩。在带操比赛过程中，她挥舞彩带形成的波有时类似于水平方向传播的简谐横波，如图（a）所示，且波速约为v=3.0m/s。17．（2025奉贤一模·六·第14题）在某t=0时刻，彩带上的一段波形可简化为如图（b）所示的简谐横波，此时彩带上质点P的位移y=10cm，且沿y轴负方向振动。则该简谐横波的波长λ=m；彩带上位置坐标x=1.0m的质点偏离平衡位置的位移y与时间t的关系式可表示为y=，用T表示这列波的周期，则从图示时刻起，该质点的加速度a随时间t变化的图像可能为（）A．B．C．D．18．（2025奉贤一模·六·第15题）王子露在另一段时间内甩出的彩带波可简化为如图（c）所示的简谐横波，其中实线为t1时刻的波形图，虚线为t2时刻的波形图，已知Δt=t2−t1=0.75s，关于该简谐横波，下列说法正确的是（）A．可能沿x轴正方向传播B．t1时刻，x=1.5m处的质点速度大小等于3m/sC．若王子露的手振动加快，形成的简谐横波波速不变D．从t1时刻开始，为使x=0.75m处的质点位于波谷，需再经历时间t=0.5ns，n=1，2，3……19．（2025奉贤一模·六·第16题）为了记录王子露在比赛中的精彩瞬间，有人抓拍了很多照片，其中一张照片，由于拍摄视角的问题，有一部分彩带被前排观众挡住了。经过观察，发现该