专题02 整式及其因式分解-中考数学重难点突破训练

专题02整式及其因式分解—中考数学重难点突破训练一、选择题1．2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“BMI”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为BMI=mh2BMI范围BMI<18.518.5≤BMI<2424≤BMI<28BMI≥28胖瘦程度偏瘦正常偏胖肥胖已知某位成年人身高1.6米，体重64公斤，则该成年人胖瘦程度为（）A．偏瘦 B．正常 C．偏胖 D．肥胖2．观察下列单项式：﹣xy，x2y3，﹣x3y5，x4y7，⋯，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（）A．﹣x15y27 B．﹣x15y29 C．x13y27 D．x13y293．下列计算正确的是（）A．a+b2=a2+b4．已知a=215,b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a5．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是（）A．205 B．250 C．502 D．5206．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）A．a+baC．a−b7．下列因式分解正确的是（）A．ax+ay=a(x+y)+1 B．3a+3b=3(a+b)C．a2+4a+4=(a+4)8．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋2)(x－3)，则a，b的值分别是（）A．a＝1，b＝6 B．a＝－1，b＝－6C．a＝－1，b＝6 D．a＝1，b＝－69．与3952A．395−52 B．395+5395−5 C．395+5210．对任意整数n，2n+12A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除二、填空题11．因式分解：4a3-16a2+16a=12．若x=−a−1,则x13．如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c，d，e分别表示其中的一个数，则a+b−c−d−e的值为．ab0−23cde114．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为14和134，则正方形A，B的面积之和为15．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律(如图)，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)"(n=0，1，2，3，4，…)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序).请依据上述规律，写出a+15展开式中第三项的系数是16．数学家高斯在小的时候就发现：1+100=101，2+99=101…，从而得到1+2+3+…+100=101×50=5050．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作a1=1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2=5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3=9三、解答题17．先化简，再求值：(1−318．(1)先化简，再求值：[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x).其中x=100，y=25.(2)已知3a＝2b，求代数式[(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b)的值．19．下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．（1）计算：(2a−3b)(2a+3b)．解：原式=(2a)（2）计算：(2a−3b)(a+3b)．解：原式=2a任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．任务三：计算：(2a−3b)220．如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片有4张，边长分别为a,b的矩形卡片有12张，边长为b的正方形卡片有9张．（1）取甲、乙卡片各一张，其面积和为______；（2）用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含a,b的代数式表示）（3）取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为a2+nab+8b21．阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：①=x=②==③==根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：（1）分解因式：x5（2）分解因式：a222．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差N是否能被8整除”的问题．（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：N能否被8整除3能5能7能9能11能……按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）132（ⅱ）若n是正整数，请用含n的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论；（2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差N不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下：假设相邻两个偶数的平方差N能被8整除．令一个偶数为2n（n为正整数），则相邻的一个偶数可表示为2n+2，则(2n+2)2−(2n)2=8k（k为正整数）．因为(2n+2)2−阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容．23．综合与实践有趣的“乘法运算”小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究。【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘。【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．例：14×94=100×(（1）26×86=100×(2×8+6)+6（2）【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果。25×85==，（3）【推理算法】记两位数分别是ac和bc，且a+b=10，其中ac请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明。24．综合与探究【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A−B的值，若A−B>0，则A>B；若A−B=0，则A=B；若A−B<0，则A<B．【知识运用】（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“＞、＝、＜”填空）：①3−24−22；②x−1（2）试比较与6x2+2x+1（3）【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2a(a>0)得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为S2．请先判断S125．《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想，如图①，借助四边形ABCD的面积说明了等式（a+b)c=ac+bc成立.（1）观察图②，③，找出可以推出的等式：等式A：（a+b)（a-b)=a2-b2：等式B：（a+b)2=a2+2ab+b2：可知，图②对应等式；图③对应等式.（2）如图④，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是边BC上一点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，过A作BC的平行线交直线EG于点H.分别记△ABD，△BEF，△EGC，△AGH的面积为S1，S2，S3，S4.求S1

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵某位成年人身高1.6米，体重64公斤，BMI=m∴24<BMI=25<28，∴该成年人胖瘦程度为偏胖；故答案为：C．

【分析】根据衡量人体胖瘦程度的标准的计算公式“BMI=mh22．【答案】B【解析】【解答】解：第1个单项式：-xy=-1·x·y，

第2个单项式：x2y3=（-1）2·x2·y1+2，

第3个单项式：-x3y5=（-1）3·x3·y1+2×2=（-1）3·x3·y1+2×（3-1），

第4个单项式：x4y7=（-1）4·x4·y1+2×3=（-1）4·x4·y1+2×（4-1），

……

由以上规律可知，第n个单项式：（-1）n·xn·y1+2×（n-1）=（-1）nxny2n-1，

∴第15个单项式：（-1）15·x15·y2×15-1=-x15y29，

故答案为：B.

【分析】观察给出的单项式，找出系数，x的次数、y的次数的变化规律，即可得出答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：A.(a+b)2=a2+2ab+b2，A错误；

B.(x故答案为：D【分析】根据完全平方公式、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的知识，对每个选项逐一进行分析判断。4．【答案】C【解析】【解答】解：∵a=2∴a=2∵7<8<9，∴b>a>c，故选：C．【分析】由幂的乘方的逆运算法则可把三个幂转化为同指数幂，再对底数进行大小比较即可，即a=85．【答案】D【解析】【解答】解：设两个连续奇数中的较小一个奇数为x，则另一个奇数为x+2由这两个奇数得到的“幸福数”为(x+2)观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4即520÷4=130故答案为：D.【分析】设两个连续奇数中的较小一个奇数为x，则另一个奇数为x+2，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为4(x+1)，再看四个选项中，能够整除4的即为答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：由甲可得阴影部分的面积为a2-b2，

由乙可得阴影部分的面积为（a+b）(a-b)，

则a2-b2=（a+b）(a-b).

故答案为：A.

【分析】根据两种方法计算阴影部分的面积，即可得出答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：A、ax+ay=a（x+y），故A不符合题意；

B、3a+3b=3（a+b），故B符合题意；

C、a2+4a+4=（a+2）2，故C不符合题意；

D、a2+b不能分解因式，故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用提公因式法，就是各项中都有的因式，就是公因式，可对A，B，D作出判断；利用完全平方公式，可对C作出判断.8．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得：x2＋ax＋b=(x＋2)(x－3)，

∴x2＋ax＋b=x2-x-6，

∴a=-1,b=-6.

故答案为：B.

【分析】根据题意列等式，再将右边展开，比较各项系数，即可得出a、b值.9．【答案】C【解析】【解答】解：3952故答案为：C．【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可求解.10．【答案】B【解析】【解答】解：2n+12−25=4n2+1+4n−25=4n2+4n−24=4(n211．【答案】4a(a-2)2【解析】【解答】解：4a3-16a2+16a

=4a（a2-4a+4）

=4a（a-2）2；

故答案为：4a(a-2)2.

【分析】先提取公因式4a，再运用公式法进行因式分解即可求解.12．【答案】-1【解析】【解答】解：x=-a-1，则a=-x-1，

∴a=(-x-1)2=x2+2x+1，

原式=x5+2x4-ax3-x2+(a+1)x-a

=x5+2x4-(x2+2x+1)x3-x2+(x2+2x+1+1）x-(x2+2x+1)

=x5+2x4-x5-2x4-x3-x2+x3+2x2+2x-x2-2x-1

=-1，

故答案为：-1.

【分析】利用已知等式，可得到a=(-x-1)2=x2+2x+1，再将a代入原式，先去括号，再合并同类项即可.13．【答案】−7​​​​​​​【解析】【解答】解：由题意得，a+b+0=a+3+1，a−2+d=d+3+0，d+3+0=d+e+1∴b=4，a=5，e=2∵a+3+1=0+c+1，∴5+3+1=0+c+1，∴c=8，∵d+3+0=0+c+1，∴d+3+0=0+8+1∴d=6，∴a+b−c−d−e=5+4−8−6−2=−7，故答案为：−7．【分析】利用九宫格中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等这一性质，通过列方程求解出各个未知数的值，进而计算a=b-c-d-e的值即可．14．【答案】7【解析】【解答】解：设正方形A，B的边长分别为a,b，则图①中阴影部分面积为a图②中阴影部分面积为(a+b)∴a∴2ab=∴a2故答案为：7【分析】设正方形A，B的边长分别为a,b，由几何图形得，a2−b15．【答案】10【解析】【解答】解：由题知，a+15所以a+15故答案为：10.【分析】根据题意，得出“杨辉三角”中数是其肩上的两数之和(最外侧的数除外)，据此可解决问题.16．【答案】2n【解析】【解答】解：解：依题意得：a1=1，a2=5，a3∴故答案为：2n【分析】先寻找图形递变规律，由于n=1时有1个三角形，即a1=4×1−3；

n=2时有5个三角形，即a2=4×2−3；

n=3时有9个三角形，即a3=4×3−3；

17．【答案】解：x=((1−=(==x−2当x=3时，原式=x−2【解析】【分析】先运算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，因式分解约分，再根据负指数幂求得x的值，将x的值代入计算即可．18．【答案】解：(1)[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x)=(9x2-4y2-5x2-8xy+4y2)÷(4x)=x-2y当x=100，y=25时.原式=100-25×2

=50；(2)[(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b)=（a2+2ab+b2－a2－b2＋4ab-4b2）÷(2b)=（6ab-4b2）÷(2b)=3a-2b因为3a＝2b，所以原式=0.【解析】【分析】根据整式的乘除法则和加减法则进行计算化简，再代入已知值计算.19．【答案】任务一：平方差公式；任务二：小华（2）的解答是不正确，(2a−3b)(a+3b)=2=2a任务三：(2a−3b)=4a【解析】【解答】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；故答案为：平方差公式；

【分析】任务一：根据所给运算过程判断①中运用的是的平方差公式；任务二：根据平方差公式的特征判断，并运用多项式乘多项式计算解题；任务三：根据完全平方公式计算解答即可．20．【答案】（1）a（2）解：∵这25张卡片拼成一个正方形面积为4a∴这个正方形的边长为4a（3）2【解析】【解答】解：（1）取甲、乙卡片各一张，其面积和为a故答案为：a2（3）∵拼成一个矩形面积为a∴a∵8=1×8或8=2×4∴当a2+nab+8b当a2+nab+8b∴n可能的整数值有2个．

故答案为：2.【分析】（1）先分别计算甲，乙的面积，再求其和即可；（2）先求出25个卡片的总面积，再求其算术平方根即可；（3）根据题意知a221．【答案】（1）解：x===x−1（2）解：a===a−b+1【解析】【分析】（1）仿照阅读理解中的①进行分解即可；（2）仿照阅读理解中的②③进行分解即可.（1）解：x===x−1（2）解：a===a−b+122．【答案】（1）（ⅰ）48（ⅱ）证明：∵(2n+1)又∵n是正整数，∴(2n+1)（2）42n+1或8n+4；【解析】【解答】解：（1）（ⅰ）132故答案为：48；（2）(2n+2)2∴k=2n+1故答案为：42n+1（或8n+4），2n+1【分析】（1）（ⅰ）利用平方差公式将两个数的平方差变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算有理数的乘法得出答案；

（ⅱ）利用平方差公式将两个数的平方差变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算单项式乘法得出结论；（2）利用平方差公式将(2n+2)2-(2n)2变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算单项式乘法得出第一空的答案，进而得出关于字母k的等式，变形用含n的式子表示出k即可.23．【答案】（1）22；36（2）100×(2×8+5）+52；2125（3）证明：(10a+c)(10b+c)

=100ab+10ac+10bc+c2

=100ab+10c(a+b)+c2

=100ab+100c+c2

=100(ab+c)+c2.【解析】【解答】解：（1）根据【算法介绍】可得前积是22，后积是36，

故答案为：22，36；

（2）25×85=100×(2×8+5)+52=2125，

故答案为：100×(2×8+5）+52，2125；

【分析】（1）根据【算法介绍】解答即可；

24．【答案】（1）＞；＜（2）解：6x理由如下：6=x∵(x−1)2≥0，∴(x−1)2+3>0（3）解：∵S1=4(4+2a)=16+8a，∴S1