2027届新高三数学热点突破复习 基本不等式

2027届新高三数学热点突破复习基本不等式五年高考考点1利用基本不等式求最值1.★★(2025北京,6,4分)已知a>0,b>0,则

()A.a2+b2>2ab

B.

+

≥

C.a+b>

D.

+

≤

C

解析对于A,取a=1,b=1,则a2+b2=2ab,故A错误;对于B,取a=

,b=

,则

+

<

,故B错误;对于C,因为a>0,b>0,所以a+b≥2

且

>0,所以2

>

,故a+b>

,故C正确;对于D,取a=2,b=1,则

+

>

,故D错误.故选C.2.★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则

(

)A.x+y≤1

B.x+y≥-2C.x2+y2≤2

D.x2+y2≥1

BC

解析因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤

,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-

(x+y)2=

(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤

得1=x2+y2-xy≥x2+y2-

,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立,故C正确,D错误,故选BC.3.★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则

(

)A.a2+b2≥

B.2a-b>

C.log2a+log2b≥-2

D.

+

≤

ABD

解析由a>0,b>0,a+b=1,得

≥

=

,即a2+b2≥

,当且仅当a=b=

时取等号,故A正确;由a>0,b>0,a+b=1,得a-b=2a-1>-1,故2a-b>

,故B正确;log2a+log2b=log2(ab)≤log2

=log2

=-2,当且仅当a=b=

时,等号成立,故C错误;(

+

)2=a+b+2

=1+2

≤1+a+b=2,得

+

≤

,当且仅当a=b=

时,等号成立,故D正确.4.★★(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是__________.解析由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=

,∴x2+y2=

+y2=

=

+

≥2

=

,当且仅当

=

,即y2=

,x2=

时取“=”.故x2+y2的最小值为

.解题导引根据题设条件可得x2=

,消去x,可得x2+y2=

+y2=

+

,利用基本不等式即可求解.5.★★★(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则

+

+

的最小值为__________.

4

解析

+

+

=

+

=

+

≥2

=4,当且仅当

=

,即(a+b)2=16,亦即a+b=4时取等号.又∵ab=1,∴

或

时取等号,∴

+

+

的最小值为4.三年模拟1.★★(2026届山东多校联考,3)

的最小值为

()A.-6

B.-4

C.2

D.16

B

解析

=x2+

-10≥2

-10=-4,当且仅当x2=

,即x=±

时,等号成立.所以

的最小值为-4.故选B.2.★★(2026届江西赣州二十四校期中联考,4)已知a>0,b>0且4a·8b=4,则

+

的最小值为

()A.2

B.

+

C.3

D.3+

B

解析由4a·8b=4得22a·23b=22,则2a+3b=2,又a>0,b>0,因此

+

=

=

+

+

≥

+

,当且仅当

=

时等号成立,因此

+

的最小值为

+

.故选B.3.★★(2026届广东湛江调研,6)已知正数a,b满足a+b=1,则a+

+

的最小值为

(

)A.

B.1

C.2

D.

C解析由题意可得a+

+

=

+

=

+

≥2

=2,当且仅当

=

,即a=b=

时,等号成立,所以a+

+

的最小值为2.故选C.4.★★(2026届重庆一中月考,6)已知a>0,且a2-2ab+6=0,则b+

的最小值为

()A.

B.

C.2

D.3

D

解析因为a>0,所以b=

=

+

,故b+

=

+

+

=

+

≥2

=3,当且仅当

=

,即a=2时取等,所以b+

的最小值为3.故选D.5.★★(2026届河南省部分学校联考,5)若|x|+|y|=1(xy≠0),则

+

的最小值为

(

)A.8

B.6+2

C.10

D.5+2

B解析由题意|x|>0,|y|>0,|x|+|y|=1,故

+

=

(|x|+|y|)=5+1+

+

≥6+2

=6+2

,当且仅当

=

且|x|+|y|=1,即|x|=

,|y|=

时等号成立,所以

+

的最小值为6+2

.故选B.6.★★(2025届安徽合肥三模,5)已知正数a,b满足

+

=1,则a+2b的最小值为

()A.4

B.6

C.8

D.9

D

解析由题意得a+2b=(a+2b)·

=1+

+

+4≥5+2

=9,当且仅当

即a=3,b=3时等号成立,故a+2b的最小值为9.故选D.7.★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,5)已知x>0,y>0,2x+y=2,则

的最大值为

()A.

B.

C.1

D.

D

解析因为x>0,y>0,2x+y=2,

=

=

=

≤

=

,当且仅当x=y=

时等号成立,则

的最大值为

.故选D.8.★★★(2026届安徽六校测试,7)已知a>1,b>1且ab3=8,则loga4+logb2的最小值为

(

)A.5+2

B.7+2

C.

(5+2

)

D.

(7+2

)

C解析由已知得log2a+3log2b=3,令m=log2a,n=log2b,则m+3n=3,m>0,n>0,所以loga4+logb2

=

+

=

+

=

(m+3n)

=

≥

=

(5+2

),当且仅当m=3

-6,n=3-

时取等,则loga4+logb2的最小值为

(5+2

),故选C.9.★★★(2026届安徽皖豫名校联盟月考,8)已知实数a,b,c满足5a2+b2+c2=4,则a(2b+c)的

最大值为

()A.1

B.2

C.4

D.8

B

解析由重要不等式可得a(2b+c)=2ab+ac≤

+

=

=2,当且仅当2a=b,a=c,即a=c=

,b=

时等号成立,所以a(2b+c)的最大值为2.故选B.10.★★(多选)(2026届河南联考质量检测,9)设a,b均为正数,满足a+2b=2,则

()A.ab≤

B.a2+4b2≥4C.3a+9b≥9

D.a2+b2≥

AD

解析由基本不等式得

≤

≤

,当且仅当a=1,b=

时取等,把a+2b=2代入,解得ab≤

,a2+4b2≥2,A正确,B错误;3a+9b≥2

=2

=6,当且仅当a=1,b=

时取等,C错误;a2+b2=(2-2b)2+b2=5

+

≥

,D正确.故选AD.11.★★★★(2026届河北衡水调研,14)已知ab>0,满足2a-b+

-

=1,则2a-b的取值范围是______________.

[-1,2]

解析由题意知1-(2a-b)=

-

,故(2a-b)-(2a-b)2=(2a-b)[1-(2a-b)]=(2a-b)

=

+

-10,因为ab>0,故

>0,

>0,故

+

≥2

=8,当且仅当

=

,即a=

,b=2或a=-1,b=-4时等号成立,故

+

-10≥-2,即(2a-b)-(2a-b)2≥-2,解得-1≤2a-b≤2,当a=

,b=2时,2a-b=-1;当a=-1,b=-4时,2a-b=2,故2a-b的取值范围是[-1,2].考点2基本不等式的综合应用三年模拟1.★★(2026届湖南九校联盟联考,2)已知x>0,y>0,x,a,b,y依次成等差数列,x,c,d,y依次成

等比数列,则

的最小值是

()A.2

B.2

C.4

D.8

A

解析∵x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,∴a+b=x+y,cd=xy,则

=

≥

=2,当且仅当x=y时取“=”.故

的最小值是2.2.★★(2026届广东广州花都调研,4)已知实数a,b,若b是a,1的等差中项,则eb-a+eb+1的最小

值为

()A.2e2

B.2e

C.2

D.2

B

解析因为b是a,1的等差中项,所以2b=a+1,得b-a=1-b,则eb-a+eb+1=e1-b+eb+1≥2

=2e,当且仅当e1-b=eb+1,即b=0,a=-1时取等,则eb-a+eb+1的最小值为2e,故选B.3.★★(数学文化)(2025届贵州遵义适应考(一),4)如图所示的“大方图”称为赵爽

弦图,它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时给

出的一种几何平面图.用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,b,斜边

为c(a,b,c均为正数),则(a+b)2=4ab+(b-a)2,(a+b)2=2c2-(b-a)2”.某同学读到此书中的“赵

爽弦图”时,出于好奇,想用软钢丝制作此图,他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度

(制作其他边长的软钢丝足够用),请你给他算一算,他能制作出来的“赵爽弦图”的最

小面积为

()

B

A.9cm2

B.18cm2

C.27cm2

D.36cm2

解析由题可知a+b=6,a>0,b>0,则a+b≥2

,即6≥2

,所以ab≤9,当且仅当a=b=3时,等号成立.又“赵爽弦图”的面积为c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=36-2ab≥36-2×9=18,所以当

a=b=3时,“赵爽弦图”的面积最小,为18cm2.故选B.4.★★★(2026届江苏镇江一中开学考,6)已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,

且

=x

+y

-

(x>0,y>0),若M,A,B,C四点共面,O不在该平面上,则

+

的最小值为

()A.4

B.5

C.

D.9

C

解析因为M,A,B,C四点共面,

=x

+y

-

(x>0,y>0),所以由空间向量基本定理可得x+y-1=1,即x+y=2,因为x>0,y>0,所以

+

=

(x+y)=

≥

5+2

=

,当且仅当

=

,即x=

,y=

时,等号成立,所以

+

的最小值为

.故选C.5.★★★(2026届福建龙岩期中,7)已知点A在线段BC上(不含端点),O为直线BC外一点,

且满足

-a

-2b

=0,若不等式

+

≥-x2+4x+12-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是()A.[6,+∞)

B.(-∞,6]

C.(-∞,7]

D.[7,+∞)

D

解析由已知可得a+2b=1,且a,b都是正数,所以

+

=(a+2b)

=5+

+

≥5+2

=9,当且仅当

=

,即a=b=

时,等号成立.因为不等式

+

≥-x2+4x+12-m对任意实数x恒成立,即

≥-x2+4x+12-m恒成立,所以9≥-x2+4x+12-m,即m≥-x2+4x+3对任意实数x恒成立.因为y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7≤7,

所以m≥7.6.★★★(2026届安徽六安月考,6)已知m>0,n>0,直线y=

+m+1与曲线y=lnx-n+3相切,则

+

的最小值为

()A.16

B.12

C.9

D.8

D

解析设切点为(t,lnt-n+3),则

=

⇒t=e⇒切点为(e,4-n),由切点在切线上得4-n=2+m⇒m+n=2,又m>0,n>0,所以

+

=

·

=5+

+

≥5+2

=8,当且仅当

=

,即n=3m时等号成立.故

+

的最小值为8.7.★★★(2026届安徽名校阶段检测,4)若f(x)=ln

(a>0,b>0)为奇函数,则

+

的最小值为

()A.2

-3

B.2

+3

C.

+3

D.

-3

B

解析由题意有:f(x)+f(-x)=ln

+ln

=ln

=0,所以

=1,所以a2=(1-b)2,又

>0,所以(x+a)(x+b-1)<0,由奇函数的定义域关于原点对称,得a=1-b,即a+b=1,因为a>0,b>0,所以

+

=

(a+b)=

+

+3≥2

+3,当且仅当

即

时,等号成立.故选B.8.★★★(2026届江苏镇江一中阶段测试,6)已知正实数x,y满足

+

≤1时,有x+y≥m恒成立,则m的最大值为

()A.14

B.15

C.16

D.17

C

解析因为正实数x,y满足

+

≤1,所以x+y=(x+y)×1≥(x+y)

=10+

+

≥10+2

=16,当且仅当

即x=4,y=12时,等号成立,因为正实数x,y满足

+

≤1时,有x+y≥m恒成立,所以(x+y)min≥m,即m≤16,所以m的最大值为16.故选C.9.★★★(2026届山东省实验中学期中,7)若两个正实数x,y满足x+y=1且不等式

+

<m2-3m有解,则实数m的取值范围是

()A.(-1,4)

B.(-∞,-4)∪(1,+∞)C.(-4,1)

D.(-∞,-1)∪(4,+∞)

D

解析因为正实数x,y满足x+y=1,所以

+

=(x+y)

=2+

+

≥2+2

=4,当且仅当

即

时,等号成立,故

+

的最小值为4.因为不等式

+

<m2-3m有解,所以m2-3m>4,即m2-3m-4>0,即(m-4)(m+1)>0,解得m<-1或m>4.故选D.10.★★(2026届上海位育中学期中,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+

(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_________.

4

解析设P

,x