2027届新高三数学热点突破复习导数的概念及其意义、导数的运算

2027届新高三数学热点突破复习导数的概念及其意义、导数的运算考点一

变化率及导数的概念[例1]

(多选)已知某物体运动时位移s与时间t之间的关系式为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则(

)A.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是28B.该物体在t=4时的瞬时速度是56C.该物体位移的最大值为43D.该物体在t=5时的瞬时速度是70ABD

方法总结

跟踪训练

B考点二

导数的运算

AC

-3方法总结1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.4.解析式形如f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数求值问题,解题思路:先求导数f'(x),然后令x=x0,解关于f'(x0)的方程,即可得到f'(x0)的值,进而得到f(x),f'(x),再进行求解.跟踪训练

ABD

3.已知函数f(x)=3ln(x-1)-x2f'(2),则f'(2)=

.

考点三

导数的几何意义角度1

求切线方程[例3]

(1)若函数f(x)=xlnx+2xf'(1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

.

[解析]

因为f(x)=xln

x+2xf'(1),所以f'(x)=ln

x+1+2f'(1),令x=1,得f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1,所以f(x)=xln

x-2x,则f(1)=-2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-2)=-1×(x-1),即y=-x-1.y=-x-1(2)已知函数f(x)=x-lnx,过原点作曲线y=f(x)的切线,则该切线的方程为

.

B

角度3

求与切线有关的参数值(范围)[例5]

(1)(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=

.

4[解析]

法一:对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1.因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,直线的斜率为2,所以y'=ex+1=2,即ex=1,解得x=0,将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,所以切点坐标为(0,5).因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上,所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4.

(2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

(-∞,-4)∪(0,+∞)方法总结求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点”的切线方程的不同.过点的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.跟踪训练

A

C

(-∞,-2]两曲线的公切线问题教材延展知识背景在教材中没有明确提到两条曲线的公切线问题,但在高考题中经常考查两条曲线的公切线问题.如2024·新课标Ⅰ卷T13.定义:若直线l与曲线C1,C2均相切,则称直线l是曲线C1与曲线C2的公切线.思路分析

(e2,e)

跟踪训练

2角度2

不共切点的公切线问题[例2]

(2026·广东广州模拟)已知曲线C1:f(x)=ex-1和曲线C2:g(x)=1+lnx,请写出曲线C