考研数学二分类模拟211

考研数学二分类模拟211

一、选择题

1a00

-12-aa0

0-23-aa

100—34—a

JL♦

A.22

B.23

C.24

D.25

正确答案：C

［解析］第一行加到第二行，然后第二行加到第三行,最后第三行再加到第四

1a00

02ao

9

003a

行，得到上对角线行列式0004故该行列式值为24。故选C。

2.四阶行列式

a\00

0。2d0

0bza30

b\00a\

的值等于

A.a】a12a3a「bib2b3b4

B.a】a2a3a4+bib2b3b4

C.（aia2-bib2）（a3a,「bsb）

D.（a2a3-b2b3）（a】a「bib，

正确答案：D

［解析］方法一：根据行列式的按k行（列）展开法则，将此行列式第二、三行

（列）展开，得

仇b\

a2.(_213

D==(a2a3—b2b)(aja4-b、b\)o

b\。!

故选Do

方法二:交换该行列式的第二行与第四行，再将第二列与第四列交换，即

©"00

b,a,00

原式=

00a?b&

00。2a2

由拉普拉斯展开定理可知，原式二(aa-bb)(a2a3」b2b：)。故选D。

0ab0

a00b

行列式

0cd0

3.c00c/

A.(ad-be)?

B.-(ad-bc)2

C.a2d2-b2C2

D.b2c2-a2d2

正确答案：B

［考点］本题要计算四阶行列式。

［解析］方法一：由行列式的展开定理按第一列展开

0ab0

ab0ab0

a00b

=­accl0-c006

0cd0

006/cd0

c00cl

=ad(ad.—be)Ilx{ad—be)=-(ad—be)0

故选B。

方法二：利用拉普拉斯展开式，即

0a1)0c00dcd00

a00ba00bab00

0cd00cd000clc

c00d0ab000ba

==_kad-6c)~o

abba

故选B。

通过观察行列式中元素的特点，发现该行列式中零比较多，所以有两种方

法可以解决：第一种是利用行列式按行(列)展开定理；第二种是利用拉普拉斯

展开定理。

4.设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a,则D=

A.0

B.a2

C.-a2

D.na2

正确答案：A

［解析］按这一列展开，D刊jAij+a2jA2j+…+a2njA2nj=aAij+aA2j+…+aA2nj,并注意到这

一列元素的代数余子式中有n个为a,n个为-a,从而行列式的值为零。故选

Ao

a”aai32alia*a11-〃12

A=«2l022“23=2。21。23021—〃22♦

5.设2431Q：；3+。32_且|A|二m,则

|B|二______

A.m

B.-8m

C.2m

D.~2m

正确答案：D

［解析］方法一:

D.n-m

正确答案：D

［解析］由行列式运算法则,|。3,a2,aj,(Pi+P2)|=|a3,a2,auB1|+|

a3，a2,a”B2I，且

a

|a3,a2,a,,P21=-1(1a2,a3,P2|=|1,。2,P2,。

31二|B|二n,

故可得

Ia3,a2,a1,(PP2)I—~IAI+IBI——m+iio

故选D。

8.aHa2,a3,B”B2均为四维列向量，A=(a”a2,a3,［3J,B=(a

3,ana2,p2),且|A|二1,|B|=2,则|A+B|=

A.9

B.6

C.3

D.1

正确答案：B

［解析］方法一：由矩阵加法公式,得A+B=(ai+a3,a2+a1,a3+a2,B1+B

2),结合行列式的性质有

G

|A+B|:|ai+a3,<12+1,。3+。2,31+P2|

—12(aj+a2+a3),a2+a1,a3+a2,B1+B21

=2Ia1+a2+a3,a"a”a3+a2,Pi+p2|

二2|。1+。2+。3，-Q3，一。1，Bi+Bzl

二2|。2，—。3，—。1，B1+B2I

=2|QI,a2,a3,81+B2I

=2(|A|+|B|)=6O

方法二：

'1100

o110

|A+B|=|«i+a3,a2+。|,。3+4I=（%,%，03，A+良）

i010

.0001

1100

0110...,

=|«i，距,a3m+艮］=2(A|+B|)=6°

010

0001

故选B。

如果行列式是由抽象向量形式所表示，则可将每个向量视为行列式的一

列，结合行列式的常用性质求得结果。

9.设A二(a”a2,aJ是三阶矩阵，则|A|二

A.|Q厂a2，Q2-Q3,Q3一。11

B.［a］+Q2,a2+a3，a3+aJ

C.Iai+2a2,a3,a2|

D.Ia,,a2+a3,a2|

正确答案：C

101

a：+2%,覆3,a+a?j=|«i,a2：201=|A|o

［解析］010

故选Co

10.设n阶矩阵A=(Q”a2,•••,an),B=(an,a】，…，an-i),若|A|二1,

则IA-B|=

A.O

B.2

C.1+(-1严

D.l+(-l)n

正确答案：A

［解析］对于行列式|A-B|,将第2〜n列都加到第一列上，即

|A-B|二|a「Qn，a2-a1,…，二|0，&2一&”…，a,-an-J=Oo

故选Ao

1020”

0-200

A=

-10i0

11.设矩阵-°°°1矩阵B满足AB+B+A+2E=0,则

IB+E|二

A.-6

B.6

1

C.12

1

D.12

正确答案：C

［解析］化简矩阵方程，构造B+E,用因式分解法，则有

A(B+E)+(B+E)=-E,即(A+E)(B+E)=-E,

两边取行列式，由行列式乘法公式得

|A+E|•|B+E|=1,

又有

2020

202

-100

|A+E|=_=2()-10=-12,

020

-102

0002

|B+K|=一匕

故12故选c。

12.设A为三阶矩阵，।IA।I=-3,则|4A-(3A*)T=

1

A.T

B.3

C.6

D.9

正确答案：D

［解析］|4A-(3A*)-l|=|4A-(3|A|A-l)-1|=|4A-A|=|3A|=9o故选D°

二、填空题

JCyX+y

行列式y

1十)1y

正确答案：

-2(x-V)

［解析］将后两列加到第一列上

y1+丁2i+2丁yi+y1yi+y

—

yi+32.r+2yx+yz=2(1+y)1i+丁J

jy2i+2yiy1iy

15

1

=2(1+丁)0x=2(.r+y)

0x-y

=-2(?+y)0

00

0b\0仇

行列式

c0Q0

2.0dy0clI

正确答案：

(aiC2-a2Ci)(bid2-b2di)

［解析］根据行列式按行(列)展开法则，按照第一行展开，有

Q|0〃20

060加

〃心彷跖一出4)—a2cl仆&-1)24)=(41Q—。2仃)(6)。一％/i)°

C'I0c20

0404

9876

1223242

行列式—

1233343

3.1234

正确答案:

120

［解析］将行列式第四行的各元素加到第行相应元素上后，提出公因子10,然

后将第四行逐行换至第二行，即

11111111

12?3?421234

原式=10=10

12333431223242

12341233，4,

=10(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1203

210-

A=120,

4.设矩阵L001J矩阵B满足ABA*=2BV+E,其中A*为A的伴随矩

阵，E是单位矩阵，则|B|=o

正确答案：

9"

［解析］由于AA*=A*A=|A|E,且|A|二3,所以|A*HAg9。

由ABA*=2BA*+E可得ABA*-2BA*=E,即(A-2E)BA*=E,贝IJ

|A-2E||B||A*|=|E|=1,

叫|A-2E||Al1______________________1_____________1

010(-1)•(-1)3?-9

100|A2

00—1

如果题目中给出了矩阵的方程，要求某矩阵的行列式，一般的思路是先从

方程中将要计算行列式的矩阵作为公因子提出，再在等式两边同时取行列式。

5.设三阶行列式D：,的第二行元素分别为1,-2,3,对应的代数余子式分别

为-3,2,1,则Dko

正确答案：

~4

［解析］根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应代数

余子式乘积之和。故

——=-

D3=a21A21+a22A22+a23A23=1X(3)+(2)X2+3X14o

1234

3-33—3

D=

9876

6.设行列式1037则第四行元素余子式之和的值为

正确答案：

0

［解析］第四行余子式之和

1234

3-33-3

Mu+M42+M43+M44=-An+A.12-A+须==0

439876o

-11-11

2a123a

a11Q12a13

22|4。226az3=6,则。21口22a23

3“3i6a329a33

7.已知三阶行列式。32Q?3

正确答案：

1

T

［解析］结合行列式的性质：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到

行列式符号外面。即

2alz343即2alz3®3Qiia*a13

2%4〃226(例=2X3XU212a”3劭3=2X3X2X3Xa2l〃22二6,

3知6方29〃©a3l2。323(233“31a32033

所以

“11412^13

1

a2\a22々23—

6

。3】a32Q33

8.设A二(a”a2,a，,p),B=(a2,a3,a,,丫)，|A|二a,|B|二b,则

|A+B|=o

正确答案：

2(a+b)

［解析］由题意

A+B=(ai+aa2+a3,a3+aB+y),

即有

|A+B|=|ai+a2,a2+。3,03+。”B+YL

将该行列式的第一列的T倍加到第二列得

|A+B|二|ai+Q2,a3-at,a3+a,,B+y|,

再将新的行列式的第二列加到第三列可得

|A+B|=|ai+a2,a3-at,2a3,B+丫|=21Q什Q2,-a”a3,P+YI

二一2Ia1+a2,。1，。3,P+YI=-2|a2,a”a3,P+y|

a

=-2(|a2,aHa3,P|+l2,a”a3，YI),

其中

Ia2,a1,a3，B|二TA|二一a,|a2,a”a3,y|=-|B|=-b,

故

IA+BI=2(a+b)o

9.设A二（a”a2,aJ是三阶矩阵，且|A|二4。若B=（Q「3Q2+2Q3,Q2-2Q

3,2a2+a3),则；B|二。

正确答案：

20

［解析］方法一：利用行列式的性质

+

|B|=Iat-3a2+2a3,a2~2a3,5a3|=5|a-3a22a3,a2-2a3,a3|

二5|Q「3a2,a2,a3|=5|ai,a2,a3|=5|A|=20o

方法二：

100

B=(Q)—：ia2+2私.a?—2a,2a?+a.)=(%.a2,a3)—312

2-21

所以

100

|B|=|A|--312—-4X5—20o

2-21

10.设ai,a2,a3均为三维列向量，记矩阵A=(a”a2,a3),B=(a

2+a3,a1+2a2+4a3,a)+3a2+9a3),如果|A|=1,那么|B|=。

正确答案：

2

［解析］方法一：由题干可知，

If=(a】++«3，6+2a2+4a3,电+3a2+9a3)

111

—(aI,ot-)•(X3)123

149

于是，有

111

|B|=|A|.123=〕X2=2。

149

方法二：利用行列式性质（在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常

数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因

子行列式值不变）

B=Ia；a2+8・a】+2的+4a?,©+3a2+9处|

第2列一第1列

第3列一第1列।।

-------=[。]+Q/+,。2+3。3，2生TS(XiI

第3列一2X第2列(

一一””一a,+a2+%,电+3%.2a；|

=2|U\+a?+%,生+3a：,•(x,j|

第I列一第3列

第2列一3X第3列a.,第1列一第2列।।

——---------------21%+a.a.a|---------2|a(.a2a|,

又因为|八|二|。”a2，a3|=1,故|B|二21Al=2。

本题方法一中用到的矩阵按列分块时的运算性质很常用：设A二(%,a

2,…，a),假设B=(bij)为nXm矩阵,则

也1仇2…b[n~

621d2…b2m

AB--（a],a2，…，a”）•••

•••

=(6na+Ma?+…+仇|。八心仪+825+…+6Ma„，…,

仇〃,«i+bluia?'+〃械%),

对上述等式要从两个角度去把握，一方面，要会做这样的运算；另一方

面,看至I形如(b“Qi+b21a2+,・・+%。n,b12ai+b22a2+…+也2an,・・♦,biBa

2+…+bnm。n)的矩阵，也要想到用该公式进行变形。

1020'

0-200

010

°01」矩阵B满足AB+B+A+2E=0,则

H.设0

IB+E|=

正确答案：

1

-12

［解析］由AB+B+A+2E=0可知A(B+E)+B+E=-E,即(A+E)(B+E)=-E。

取行列式可得

|A+E||B+E|=|-E|=1,

由于

2020

0-100

|A十K|==-12,

一1020

0002

12.设A为奇数阶矩阵，且AAXVA二E。若|A|>0,则|A-E|=。

正确答案：

0

TTT

［解析］|A-E|=|A-AA|=|A(E-A)|=|A|•|E-A|=|A|•|E-A|O

T

由AA,=AA=E,可知|A|2二L因为|A|>O,所以|A|二I,HP|A-E|=|E-A|O

又A为奇数阶矩阵，所以|E-A|=|-(A-E)|二-|A-E|二-|E-A|,故|A-E|二O。

13.已知A,B,C都是行列式值为2的三阶矩阵，则

正确答案：

27

T

［解析］根据行列式按行（列）展开法则,得

D=(-l严|-A|汐=2x(打击=/

14.已知A为三阶方阵，A2-A-2E=0,且0V|A|V5,贝IJ|A+2E|=。

正确答案：

4

［解析］设A的特征值入i对应的特征向量是XiGiWO,i=l,2,3）,则Ax尸人

XiC

由A,-A-2E=0可知,特征向量Xi满足(A,-A-2E)Xi=0,从而有人/〜入「

2=0,解得入LT或入i=2。再根据IA|二人1入2人3及0<|A|V5可得，入产入2二-

1,入3=2。

由Ax尸入Xi可得(A+2E)Xi=(入i+2)xi,即A+2E的特征值d(i=l,2,3)满

足以尸入i+2,

所以Ui二人2=1,u3=4,故|A+2E|=IX1X4=4。

15.设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知入尸1,入2二-1是方阵B的两

个特征值，则|A+2ABl=o

正确答案：

18

［解析］由|2E+A|=0,可得『2E-A|=0,即入=-2是A的一个特征值。

因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，入尸1,入2二-1也是

A的特征值，所以A,B的特征值均为人尸1,X2=-l,入3=-2,则E+2B的三个特

征值分别为3,-1,-3。从而可得|A|=人［入2入3=2,|E+2B|=3义(T)X(-3)=9,

故

|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|•|E+2B|=18。

16.已知A,B为三阶相似矩阵，入尸1,入2=2为A的两个特征值，行列式

(A+E尸O

-O

|B|=2,则行列式°(2B)”

正确答案：

64

T

［解析］设入3为A的另一特征值。由A与B相似知,|A|=|B|=2,且人口2人

3=|A|=2,则有入3=1，从而A,_B有相同的特征值入I=1,入2=2,13=1。

于是有

1

|A+E|二(入|+1)(入2+1)(入3+1)=12,I(A+E)'=12,

I(2B)*|=|22B*|=431B*|=431B12=256o

故有

(A+E)T0

=|A+E|T|(2B).|=学

O(2B)M3

17.设A为三阶矩阵，|A|=3,A"为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2

行得矩阵B,则|BA*|二o

正确答案：

-27

［解析］|BA*|=|B|•|A*|,其中|B|二-|A|=-3,|A*|=|A|3-1=9,因此|BA*|=27。

抽象矩阵行列式的计算一般会用到方阵的行列式的相关公式，常用的公式

可分为三部分，分别是：①矩阵的运算：若A,B均为n阶矩阵，则|A'|二|A|,

|AB|=|A||B|,|kA|=kn|A|；②逆矩阵与伴随矩阵，若A为n阶矩阵，则

|A*|二|A—若A为n阶可逆矩阵,则|A、二|A|T；③分块矩阵，若A,B分别为

n阶及m阶方阵，则

ACA0CB0B

|A||B|,=（一1严|A||B|。

0B~DBA0AC

三、解答题

abhb

bab•••b

bba•••b

■

■■■■

.•*■•

••♦

1.计算行列式bbba

正确答案：

解：把第一行的T倍分别加至其余各行，然后将第2〜n列依次加至第一列，得

r•••

abbbClbI)b

bab…1)b-aa-b3…0

b1)a…1)b-a0a-b…0

•••■■■■■

•••■■*■•■*

bbb…ab—a00…a-b

a+(〃-1)3hb•••I)

0a.b0•••0

00a-b•••0:[a+(〃-1%二(a—)一

*■■■

*■■•■

000・・・l—I)

1229992

222••♦2

D”?23♦♦♦2o

■■■■

■•■*•■•

•・•

2.计算行列式222n

正彳曲答案：

解：把第二行的T倍分别加至其余•各行，再把第一行的2彳音加至第二行,得

-100-0-100…0

222…2022…2

Dn=001…0001…0――2S—2)!

•«••■•・•

••♦••♦*••••

000…〃一2000…〃-2

223•••n

143•••n

•••

126no

■••■■•.

■■■■

2•••

3.计算行列式132n

止确答案：

解：把第一行的-1倍分别加至其余各行，得

n

L2…n223Iln+123…n

143…〃-120…0020…0

——

126…n-103…0003…0=（n-H）!a

**••••**■*•*

•■•♦▲■•*■■*■.*■■•■

1232n-100•••fl000n

4.计算行列式

•♦・

；口册一】

1+Qa}a21

2+谒•••

a2〃”一1a2a„

■•.■

—***•

a■•■・

必-必•・•（〃一D+a3a—a”

“必2■♦♦a“a〃-]〃+a：

正确答案：

解：利用行列式的性质，得

1+/u他…43“1狐1+fli内的…①如"a

a2al2+1•••a2az。2“|?

。2时'+/…am”a2an

••••

*••*■*•••

D=■,••+■•••

*由心仙,M（〃T）+a35iiQ曲…（〃-1尸必|3%

00…0II。的

1+fli。|。2…“1%

。必

2+1•••一%

••*•

••■•

=nDz+a„••••

3©%即•**(fl-D+««-

a\a?•••“I%

10-00

02-00

••••

••♦•

=wDr-i+心••••

00L10

山。2"I%

=M)i+(〃-1)!三

同理可得。一=(〃-1)DT+(7?—2)HT所以

Q=g必+(L2)!心］+(L1)!屋—2+生3+3

依次递推可得

&=〃仙+克+・•・+.心+亭』!(1+―+暴+...+吉心+木)

D.)tl-

5.计算行列式其中未写出的元素都

是Oo

正确答案：

解：该行列式只有两条对角线上元素不为0,可以按其中一行展开，找出递推关

系式。

仇

D?”=

di

按第一行展开，得

a]045

仇—册C\d+(-1产力Cl小

将以上两个行列式分别按最后一行展开,

30Qi0

D=ad0'0+(-1严。30

2nnrlC\击

,•

•・•♦

Ci0diC„

=a„d„Dzu-i-—jD2M2o

由此得递推公式D=(ad-bc)D-按递推公式逐层代入得

n2nntln2n20

ag)L>2，

D2II=

，=2

又由

。】伍

Q,

D2==a\d\一仇

Qdi

n

=JI(a4

D2fl一〃£)。

因此原行列式-i

6.

1-10-00

01—1…00

•••••

证明•••••♦=a,,1"+…+4]/+”0。

000•，•x—1

劭“1a2…即一］七

正确答案：

证明：本题可利用递推法证明。

1—1…00

记D=，则

oo…J:-1

©劭…3册

—10…0

1…o

3>,

左边=7几+(-1)底一期..，=jDn+(-1)=aD„+al10

•••

0x—I

显然》=a”，根据上面的结论有：

左边二xD“+a()=x(xD-i+ai)+%=x'Dri+xai+ao=…

nn_1nn-1

=xDi+an-iX+---+aix+ao=anx+an-iX+---+aix+afl=>6"ii,

所以，命题成立V

「2。1

Y2a•・.

A=

1

2a」证明行列式|A|=(n+l)a。。

7.设n阶矩阵Ld

正确答案：

证明：方法一：数学归纳法。

2a1

a'2a1

a?2a1

D”=|A|=.

••，

・■♦•

a22a1

记2a„以下用数学归纳法

证明以二(11+1)4°

当n=l时，Di=2a,结论成立。

2a1

r)2=—3公，

Y2a

当n=2时，结论成立c

假设结论对小于n的情况成立，将以按第一行展开，则有

91

02a1

/2a1

=2aDu-i-..=2aDi-a"小

a22a1

Q22a

nl

=2ajia~—Q-(7i—1)a"=(n+l)a",

故|A|=(n+l)］。

方法二：消元法。

2a1

a12a1

a22a1

•••

••••••

J2a1

a:2a

〃+l

0

a+Ba0♦♦・00

Ba+Ra••・00

03a+/?•••00

■■•■■■■

•*■*■

000•••a-rpa

000•♦•

8.计算n阶行列式Ba+S其中QW

3o

正确答案：

a-r§a0•••00

Baa••♦00

0Ba+/9•••00.

D”=*•■•

■*•■■*•*

000•••a+8a

・•・

解：令000Ba+8则将该行列式按

第一行展开得

Ba…00

0a+0…00

•♦•・♦•

Drl=(a+/?)DW.]—a•♦・•

00…a+/Ja

00…Ra+R(rr-l)X(w-l)

再将上式中后面的n-1阶行列式按照第一列展开得M(Q+B)De-aBD-

2,则

==-=—Q

DnaDn-1P(Dn-1。Dn-2)3~(Dn-2Dn-3)=…二B"(。2-。Dj)

=pn-2[(a2+a0+p2)-a(a+p)]=pn,

即

n

D-aDn-1=6(1)

类似地

n

D-PDn-Fa,(2)

D=.fyr\I一—_zrII

（1）XB-（2）XQ可得（B-Q）D“二8田_。田，所以B—a。

（其中上式还可以进一步化简为

Q?+l__rr+1"

D=P二=g+什1。+用「，2+…+阿I十a”=，沪a，

p-a,=o）

［解析］上面几个题目的高阶行列式的计算均用到了数学归纳法，常用的数学归

纳法有两种类型。其步骤分别如下：

第一种数学归纳法：（1）验证n=l时，行列式的表达式。正确；（2）设n=k

时，行列式的表达式。正确；（3）证明n=k+1时，行列式的表达式九正确。

第二种数学归纳法：（1）验证n=l和n=2时，行列式的表达式丸正确；（2）

设nVk时，行列式的表达式。正确；（3）证明n=k时\行列式的表达式。正

确。

1+为？11+11)2…1+11乂

11+12丁2…1+12%

9.计算行列式1+、W21+

正确答案:

解：方法一:将第一行的-1倍加到其余各行可得

1+才1%

1+101

(12-4)了2（2”一）?”

D”—

(2、―#]

)yn

当n23时，上述行列式第2到n行是成比例的，故D「0。

当n=2时，有

l十%】yi1+为％

=（^|—①2）（»2）

Dtt=一丁。

1+及311+^2^2

当n=