2025-2026学年11.3等腰三角形同步练习鲁教版（五四制）七年级下学期数学 含答案

/2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.3等腰三角形》自主达标测试题一、单选题（满分24分）1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（）A．两锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°C．有一个锐角大于45° D．两锐角都小于45°2．已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角的度数为（

）A．40° B．100° C．40°或100° D．70°3．如图，在△ABC中，若AB=AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD与CEA．∠ABD=∠ACE B．BD=CE 4．如图，在△ABC中，D，E分别是BC边上两点，连接AE，AD．若AB=BD，AC=CE，∠EAD=40°A．20° B．30° C．40° D．50°5．如图，上午8时一艘轮船从A地以25海里/时的速度向南偏西40°的方向行驶，上午10时到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶50海里到达C地，则A，C两地相距（

）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里6．直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，在△ABC中，AB=BC，∠A=30°，E是边AC上一点，连接BE并延长至点D，连接DC，若∠BCD=120°，ABA．2 B．53 C．328．如图，将一个等腰直角三角板ABC按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边AC在x轴上．将直线l:y=x−3沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被△ABC的边截得的线段长度为m，平移时间为t，A．点A的坐标为2,0B．△ABCC．边AB所在直线的表达式为y=−x+1D．二、填空题（满分24分）9．如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN过点O，若AB=14，AC10．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则11．如图，在△ABC中，∠C=60°，点D在△ABC内，且AD、BD分别平分∠BAC与∠ABC，延长AD交BC12．如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．若BC13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，点E、F分别在AB、BC上，把△BEF沿EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D14．如图，等腰△ABC中，AB=AC=12，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一个动点，连接15．如图，∠AOB是一钢架，∠AOB=13°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF,FG16．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△三、解答题（满分72分）17．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，连接AD，BE平分∠ABC交(1)若∠C=40°，求(2)过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=70°，∠BAC和∠ABC的角平分线AE、BF交于点O，AD⊥BC(1)求∠CAD和∠(2)求证：AG=19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC(1)求证：△AEN(2)求证：CN−20．（8分）按要求完成下列各题：(1)如图1，△ABC中，BD=CD(2)如图2，BD=CD，∠1=∠221．（8分）如图，∠MOA=90°，△OAB是等边三角形，点P在射线OM上，连接AP，以AP为边作等边三角形APC，边AC与边BO相交于点D(1)求证：AB⊥(2)连接OC，当△OBC是等腰三角形时，求∠22．（10分）如图△ABD，△ACE都是等边三角形，BE，CD交于点F，连接(1)求证：BE=(2)求∠BFC(3)求证：AF+23．（10分）如图，在△ABC中，点D为边AC上一点，连接BD，延长BD至点E，使得BE=AC(1)如图1，若AC=BC，∠A=80°，(2)如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于点F，若BD=CD，∠24．（12分）如图1，△ABC是等边三角形，点P、Q分别是边AB、BC所在直线上的动点（端点B、C除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M(1)试说明：△ABQ(2)当点P、Q分别在线段AB、BC上运动时，∠AMC(3)如图2，当点P、Q分别运动到B、C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠AMC答案1．解：由题意得需假设两锐角都大于45°．2．C【分析】分两种情况讨论计算．【详解】解：分两种情况讨论：情况1：若40°的角为顶角，则该等腰三角形的顶角为40°；情况2：若40°的角为底角，∴顶角=180°−2×40°=100°．综上，该等腰三角形顶角的度数为40°或100°．3．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质和角度大小比较是解题的关键．先由AB=AC得∠ABC=∠ACB，角平分线分得∠ABD=∠ACE，可判断选项A；再证△ABD≌△ACE得BD【详解】解：∵AB=∴∠ABC∵BD，CE分别平分∠ABC和∠∴∠ABD=1∴∠ABD在△ABD和△∠∴△ABD∴BD=CE，∵∠OCD=∠BCE=1∴∠ODC∵∠A∴∠ODC∴OC≠故选：C．4．B【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据“等边对等角”得∠AEC=65°，再根据三角形内角和定理求出∠ADE【详解】解：∵∠ACB∴∠AEC在△ADE中，∠∴∠ADE∵AB=∴∠ADB∴∠B故选：B．5．C【分析】本题主要考查了方向角、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得∠ABC=40°+20°=60°，【详解】解：连接AC，由题意得：∠ABC=40°+20°=60°，即AB=∴△ABC∴AC∴A、C两地相距50故选：C．6．C【分析】根据等腰三角形的三边关系，分三种情况讨论点C的位置，注意排除重合的点．【详解】解：∵直线y=x+1与x轴交于A，与y令y=0，解得x∴A−1,0令x=0，解得y∴B0,1由勾股定理得AB=设Cx当AB=x+1=2，解得x即C1−1+2当AB=x2+0−12=2，即∵x=−1时，C与A∴C3当AC=x+1=x展开得x2+2x∴C4综上，满足条件的点C共有2+1+1=4个．重点掌握等腰三角形的判定与一次函数的综合应用．7．B【分析】作BM⊥AC，垂足为M，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ACB=30°,AM=CM，根据含30度角的直角三角形的性质得出BM=12AB【详解】解：作BM⊥AC，垂足为M，则∵AB=BC，∴∠A=∠ACB∴BM∵AB∴BM∵∠BCD∴∠DCE∴∠BMC在△MEB和△∠BME∴△MEB∴ME设CE=x，则∵AM∴5−x∴x∴线段CE长为538．C【分析】由函数图象可知，当t=2时，直线l经过点A，得AM=2，可得A1,0，可判断A；由函数图象可知：当t=6时，直线l经过点C，OC=CM−OM=3，AC=4，得△ABC的面积：12AC⋅BC=12×4×4=8【详解】解：A、令直线l:解得：x=3∴点M的坐标为3,0，∴OM=3由函数图象可知：当t=2时，直线l经过点A∴AM=2∴OA点A的坐标为1,0，∴A错误；B、由函数图象可知：当t=6时，直线l经过点C∴CM=6∴OC=∴点C的坐标为−3,0，∴AC=4∴△ABC的面积：1∴B不正确；C、∵BC=∴B−3,4设直线AB的解析式为y=则k+解得k=−1∴y=−∴C正确；D、∵AC=∴∠BAC=45°，直线l和x轴正方向的夹角为∴l⊥∵AC=∴当l经过点C时，m=∴D6,2∴D不正确；故选：C.本题考查了一次函数与几何综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数的平移，等腰直角三角形性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图形性质是解题的关键．9．30【分析】由BO平分∠ABC得到∠ABO=∠OBC，由平行线的性质得到∠MOB=∠OBC，从而可得∠ABO=∠【详解】解：∵BO平分∠ABC∴∠ABO∵MN∥∴∠MOB∴∠ABO∴MB=同理可得，NC=∴C====14+16=30．利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形是求解此类问题常用的方法．10．45°/45度【分析】根据三角形高的定义，利用“AAS”先证得△HBD≌△CAD【详解】解：∵AD、BE是△ABC∴∠ADC∴∠C+∠CAD∴∠CAD在△HBD和△∠HBD∴△HBD∴BD=∵∠ADB∴∠ABC11．100°/100度【分析】延长AC，截取CF=BD，连接BF，根据三角形内角和定理及角平分线得出∠ADB=120°，再由边角边确定△BCF≌△BAD，得出AB=BF【详解】解：延长AC，截取CF=BD，连接∵∠C=60°，AD、BD分别平分∴∠BCF=120°，∴∠BCF∵CF=BD，∴△BCF∴AB=BF，∴∠设∠ABD∴∠BAD∴∠FAB∴120°−2x解得：x=40°∴∠ABD∴∠BAE∴∠AEC故100°．12．5【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．先利用等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再证明△BDC≌△【详解】解：∵AB=∴∠ABC∵BE⊥AC，∴∠CDB在△BDC和△∠∴△BDC∴BD=在Rt△BCE中，BC=13∴CE=∴BD=5故5．13．5或50【分析】求出BC=AB2−AC2=6，cosA=ACAB=45，分当DE=DA时，过点D作DG⊥【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴BC=∴cosA当DE=DA时，过点D作DG⊥则AE=2设BE=由折叠知，DE=∴AD=∴AG=∴AE=2×∵AE+∴85解得x=当ED=AE=BE∴x+∴x=5综上，BE=5013故5或5013本题考查了三角形折叠．熟练掌握折叠性质，等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键．14．12【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接BP，证明△ABP≌△ACPSAS，即可得到CP=BP，得PD+PC=PD+PB，再根据当B，【详解】解：如图，连接BP，∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，则∠又∵AB=AC，∴△ABP∴BP=∴PD+∴当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段又∵△ABD是等边三角形，AB∴PD+故12．15．6【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出第一个等腰三角形底角的度数，再依次求出，并根据底角度数不能超过直角判断即可．【详解】解：根据题意，得OE∵∠AOB∴∠EOF∵∠FEG是△∴∠FEG则△EFG是第二个等腰三角形，且∠同理△FGH是第三个等腰三角形，∠第四个等腰三角形的底角为39°+13°=52°；第五个是65°；第六个是78°；第七个是91°，这样就不存在了．所以一共有6根钢管．16．①②④【分析】利用SAS证明△ABD≌△EBC；根据∠【详解】解：∵BD为△ABC∴∠ABD在△ABD和△∵EB∴△故①正确；∵△ABD≌△EBC∴∠BDA=∠BCE∵∠BDA∴∠BCE故②正确；∵BD为△ABC∴∠ABD∴∠BEA∵BD=BC，∴∠BEA=∠BAE∴∠BEA∵∠ADE∴∠BEA∴AD=∵△ABD∴AD=∴AD=∵EF⊥∴AD=故③错误；④正确.17．(1)50°(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠C=∠ABC，AD（2）根据角平分线的性质得∠ABE=∠EBC．由平行线的性质得∠EBC=∠BEF，则【详解】（1）解：∵AB=∴∠C∵AB=AC，D为∴AD⊥∴∠BDA∴∠BAD（2）证明：∵BE平分∠ABC∴∠ABE又∵EF∥∴∠EBC∴∠EBF∴BF=∴△BEF18．(1)∠CAD=20°(2)见解析【分析】（1）首先，根据三角形的内角和定理及垂直的定义求出∠BAC=50°，∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD（2）首先，根据垂直的定义及三角形的内角和求出∠BAD=30°，然后，再由（1）知∠ABF【详解】（1）解：在△ADC中，∠ABC=60°∴∠BAC∵AD⊥∴∠ADC∴∠CAD∵AE平分∠BAC∴∠BAE∵BF平分∠ABC∴∠ABF∵∠BOE为△∴∠BOE（2）证明：在△ABD中，∠ABC=60°∴∠BAD由（1）知∠ABF∴∠BAD∴AG=19．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线定义得∠BAF=∠CAF=45°，再根据（2）延长ED到M，使DM=DE，连接CM，先证△DCM和△DBE全等得∠M=∠AEN=45°,BE【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AF平分∴∠BAF∵ED∥∴∠AEN∴∠AEN∴△AEN（2）证明：延长ED到M，使DM=DE，连接由（1）知：∠AEN∴∠CND在△DCM和△DBE中，∴△DCM∴∠M∴∠M∴CM=∴CN=∴CN−在Rt△ABC中，∴AB=∴CN−20．(1)见解析；(2)成立，见解析．【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的知识，合理作出辅助线证明三角形全等是关键，（1）延长AD至E，使ED=AD，连接BE证明△ADC≌△EDB（2）延长AD至F，使FD=AD，连接BF，证明△ADC≌△FDB【详解】（1）证明：延长AD至E，使ED=AD，连接∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC∴AC=∵∠1=∠2，∴∠E∴AB=∴AC=（2）解：EB=延长AD至F，使FD=AD，连接∵在△ADC和△FDB中，∴△ADC∴AC=∵∠1=∠2，∴∠F∴BF=∴EB=21．(1)见解析(2)∠ODC的度数为75°或【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到∠PAC=∠OAB=60°，AP=AC，（2）首先求出∠OBC【详解】（1）解：∵△APC，△∴∠PAC=∠OAB=60°∴∠∴△∴∠∴AB⊥（2）解：∵△OAB∴∠ABO=60°∵∠∴∠∵△OBC∴①如图，当BO=∴AB∴∠∴∠ODC②如图，当BO=∴∠∴∠∴∠∴点O在AC上，即点O和点D重合，不存在∠ODC③如图，当CO=∵OA∴AC垂直平分OB∴∠综上，∠ODC的度数为75°或90°22．(1)见解析(2)120°(3)见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解；（2）利用△ADC≌△ABE，得到∠（3）在DF上截取DH=BF，连接AH，通过SAS证明△ADH≌△ABF，则HA【详解】（1）证明：∵△ABD和△∴∠DAB=60°，∴∠DAB+∠BAC∵△ABD和△∴AD=AB，在△ADC与△AD=∴△ADC∴BE=（2）解：令AB、DC交于点P，AC、BE交于点G，如下图所示：由（1）知，△ADC∴∠ABE∴∠