第1讲++集合及其运算+课件-2027届高三数学一轮复习

第一章第1讲集合及其运算集合与常用逻辑用语、不等式1．(教材经典题改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是 (

)A．1∈A

B．{－1}⊆AC．∅⊆A

D．{－1,1}∉AD2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是

(

)A．A∪B＝B B．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}C．A∩B＝{x|1＜x≤2} D．(∁RB)∪(∁RA)＝RBC3．(教材经典题改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝_____．【解析】

因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A．当a＋2＝3，即

a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意．当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；a＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2．24．(教材经典题改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为_____________．【解析】

由B⊆A，利用数轴分析法(如图)，可知a≥2．[2，＋∞)1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：__________、__________、__________．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*或N＋ZQRC确定性互异性无序性2．集合间的基本关系关系定义记法相等集合A与B的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A

B注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有______个子集，________个真子集．2n2n－13．集合的基本运算

集合的并集A∪B集合的交集A∩B集合的补集∁UA图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}4．常见结论与等价关系(1)A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A．(2)(∁UA)∪A＝______；∁U(∁UA)＝______．(3)摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．UA目标1集合中元素的性质

(1)(多选)下列关于集合相等的说法正确的有 (

)1【解析】【答案】AC【解析】10【解析】1

(3)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．若A中只有一个元素，则a＝________；若A中至少有一个元素，则a的取值范围为____________．0或1(－∞，1](1)集合中的元素最重要的性质是互异性．变式1已知集合A＝{1，m，n}，B＝{m2，m，mn}．若A＝B，则m2026·n2027＝

(

)A．－1

B．0 C．1

D．2【解析】B目标2集合间的关系

(1)(2025·南阳期末)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{y|y＝x2－x－6，x∈M}，则集合N的真子集个数为 (

)A．7

B．8C．15

D．16(2)(2025·赣州一模)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|3x－a＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 (

)A．(9，＋∞)

B．[9，＋∞)C．(－∞，－3)

D．(－∞，－3]2ABA．M＝N⊆P

B．M⊆N＝PC．M＝P⊆N

D．N⊆P⊆M【解析】B判断集合间关系的三种方法(1)列举法；(2)数轴法；(3)结构法：从元素的结构特点入手，化简变形后找差异．变式2已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是

(

)【解析】

因为B⊆A，所以①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．【答案】A目标3集合间的运算视角1

集合的基本运算

(1)(多选)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，集合A＝{x∈Z|x2－x＜6}，B＝{－2，0，1，3}，则下列方式中可表示图中阴影部分的是

(

)A．{－1,2}

B．∁(A∪B)BC．A∩(∁UB)

D．(∁UA)∩(∁UB)【解析】3－1ABC【解析】

根据题意画出韦恩图如图所示，由图可知A＝{1,2,3,4}．3－1D(1)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(2)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．D视角2

利用集合运算求参数3－2【解析】【解析】

当a≤1时，A＝∅，满足A∩B＝∅．当a＞1时，A≠∅，由A∩B＝∅，可知1＜a≤2．综上，a≤2．DA．(－∞，1)

B．(－∞，2)C．(－∞，1]

D．(－∞，2]目标4集合新定义问题

(多选)设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x－x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则下列集合中以0为聚点的是 (

)4【解析】对于D，对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x－0|＝0或者|x－0|≥1，也就是说不可能0＜|x－0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点．【答案】BC此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的方法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断．A．数域必含有0,1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域D．数域中有无限多个元素【解析】【答案】AD1．(2025·广州一模)

已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 (

)A．(0,2)

B．(0,2]C．(2，＋∞)

D．[2，＋∞)DA．∁U(M∩N)

B．∁U(M∪N)C．M∪(∁UN)

D．N∪(∁UM)【解析】B3．(2025·漳州三模)已知集合A＝{x|2x－1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则 (

)C．A∪(∁RB)＝R D．B∪(∁RA)＝R【解析】【答案】D4．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有_____人．【解析】

设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4人．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝(9－x)人．画出Venn图如图所示，因为总参加人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，解得x＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人．7一、单项选择题1．(2025·全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素个数为

(

)A．0

B．3C．5

D．8C2．(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(

)A．{0,1,2}

B．{1,2,8}C．{2,8}

D．{0,1}DC4．(2025·南京、盐城一模)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是 (

)A．(－∞，2)

B．(－∞，2]C．(－∞，－2)

D．(－∞，－2]【解析】

由x2－4≤0可得A＝[－2,2]，由x＋a≤0可得B＝(－∞，－a]，又A⊆B，所以2≤－a，即a≤－2．D【解析】【答案】B【解析】D7．已知全集U＝{x∈N*|－2＜x＜9}，M＝{3,4,5}，P＝{1,3,6}，则(∁UM)∩(∁UP)是

(

)A．{2,7,8}

B．{2,3,4,5,7,8}C．{1,2,4,5,6,7,8}

D．{1,2,3,6,7,8}【解析】

由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，则∁UM＝{1，2，6，7，8}，∁UP＝{2，3，4，5，7，8}，所以(∁UM)∩(∁UP)＝{2，7，8}．A8．(2025·保定二模)若集合A＝{(x，y)|y＝(x－1)(x－5)}，B＝{(x，y)|y2＝4x}，则A∩B的真子集的个数为

(

)A．3

B．4C．7

D．15【解析】DA．{1，3，4}为“权集” B．{1，2，3，6}为“权集”C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1【解析】由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误；易知{2,3,6}是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误．B10．某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1500米比赛，100米和400米都参加的有4人，100米和1500米都参加的有3人，400米和1500米都参加的有3人，则下列说法不正确的是

(

)A．三项比赛都参加的有2人

B．只参加100米比赛的有3人C．只参加400米比赛的有3人

D．只参加1500米比赛的有1人【解答】

根据题意，设A＝{x|x是参加100米比赛的同学}，B＝{x|x是参加400米比赛的同学}，C＝{x|x是参加1500米比赛的同学}，则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人．【答案】C【解析】【答案】BCD12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则 (

)A．P⊆M

B．M∩P＝MC．N∪P＝P

D．M∩(∁PN)＝∅【解析】

由M∩N＝N得N⊆M．由M∪P＝P得M⊆P，推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误．BC13．我们知道，若集合A⊆S，那么A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B．例如：A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．下列说法正确的有 (

)A．若A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,5,6,8,9}，则B－A＝{3,7,8}B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁UB)D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4}【解析】

对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，知B－A＝{3,8}，故A错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}＝∅，知A⊆B，故B正确；对于C，由Venn图知B－A如图中阴影部分所示，则B－A＝B∩(∁UA)，故C错误；对于D，∁RB＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x＜－2或x≥4}，故D正确．【答案】BD14．设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有(x＋y)∈S，(x－y)∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”．下列命题正确的是 (

)A．若S为“完美集合”，则一定有0∈SB．“