追及问题练习题

追及问题练习题追及问题，作为行程问题中的一个重要分支，不仅是数学学习中的经典内容，也常常在我们的日常生活中以各种形式出现。它考察的不仅仅是对速度、时间、路程三者关系的理解，更考验我们分析运动过程、寻找等量关系、建立数学模型的能力。掌握追及问题的解题思路，对于培养逻辑思维和解决实际问题的能力至关重要。本文将从追及问题的核心概念出发，通过不同层次的练习题，帮助读者逐步深化理解，提升解题技巧。一、追及问题的核心概念与公式在探讨具体题目之前，我们首先需要明确追及问题的本质：两个物体在同一直线上同向运动，由于速度不同，速度快的物体逐渐追上速度慢的物体。解决追及问题的关键在于抓住一个核心公式，并理解其背后的物理意义：*追及时间=路程差÷速度差这里的“路程差”指的是在追及开始的瞬间，两个物体之间的距离。如果两个物体不是同时出发，那么“路程差”可能需要考虑其中一个物体先行的距离。“速度差”则是快的速度减去慢的速度，它反映了单位时间内两者距离缩短的量。二、解题策略与步骤面对追及问题，建议遵循以下解题步骤，以确保思路清晰，避免疏漏：1.明确研究对象：确定哪两个（或多个）物体在运动，谁是追及者，谁是被追及者。2.分析运动状态：判断物体的运动方向（是否同向）、运动速度（是否匀速，是否有变化）、出发时间（是否同时）、出发地点（是否同一地点，或初始距离是多少）。3.找出路程差：这是解决问题的关键。路程差可能是初始时两者的距离，也可能是由于出发时间不同而产生的距离。4.确定速度差：在同向运动中，速度差为追及者速度减去被追及者速度。5.运用核心公式：根据“追及时间=路程差÷速度差”求解未知量。必要时，可结合“路程=速度×时间”进行辅助计算。6.验证与反思：解出结果后，可代入原题情境中进行检验，确保逻辑通顺，答案合理。三、分层练习题与解析（一）基础型：公式的直接应用例题1：甲、乙两人在同一条直线上同向跑步，甲在前，乙在后。甲的速度为每分钟60米，乙的速度为每分钟80米。如果两人相距100米，那么乙需要多少分钟才能追上甲？分析与解答：此题为最基本的追及问题。*路程差=100米（初始距离）*速度差=乙的速度-甲的速度=80米/分钟-60米/分钟=20米/分钟*根据公式：追及时间=路程差÷速度差=100÷20=5（分钟）*答：乙需要5分钟才能追上甲。例题2：一辆慢车以每小时40千米的速度从A地出发，1小时后，一辆快车以每小时60千米的速度从同一地点A地出发追赶慢车。问快车出发后几小时能追上慢车？分析与解答：此题中，慢车先行1小时，因此存在初始路程差。*慢车先行的路程=慢车速度×先行时间=40千米/小时×1小时=40千米（此即为路程差）*速度差=快车速度-慢车速度=60千米/小时-40千米/小时=20千米/小时*追及时间=路程差÷速度差=40÷20=2（小时）*答：快车出发后2小时能追上慢车。（二）进阶型：情境的变化与综合例题3：小明骑自行车去上学，每分钟行200米。骑出5分钟后，爸爸发现他忘带了文具盒，立即骑摩托车去追，每分钟行700米。爸爸出发后几分钟能追上小明？追上时，小明已经走了多少米？分析与解答：小明先行5分钟，产生路程差。问题不仅要求追及时间，还要求追上时小明的总路程。*小明先行路程=200米/分钟×5分钟=1000米（路程差）*速度差=700米/分钟-200米/分钟=500米/分钟*追及时间=1000÷500=2（分钟）*此时小明一共走了：先行的5分钟+被追及的2分钟=7分钟*小明总路程=200米/分钟×7分钟=1400米（或：先行1000米+后2分钟行的200×2=400米=1400米）*答：爸爸出发后2分钟能追上小明，追上时小明已经走了1400米。例题4：在一条笔直的公路上，有一辆客车和一辆货车同向行驶。客车长200米，每秒行20米；货车长150米，每秒行15米。客车从追上货车到完全超过货车需要多少时间？分析与解答：此题为“车过桥/车追车”类型的追及问题，路程差为两辆车的长度之和。*客车要完全超过货车，需要比货车多行驶客车自身长度与货车长度之和。*路程差=客车长+货车长=200米+150米=350米*速度差=20米/秒-15米/秒=5米/秒*追及时间=350÷5=70（秒）*答：客车从追上货车到完全超过货车需要70秒。例题5：环形跑道周长400米，甲、乙两人同时同地同向出发。甲每分钟跑300米，乙每分钟跑250米。问经过多少分钟甲第一次追上乙？如果甲追上乙后立即转身沿相反方向跑，那么再经过多少分钟甲与乙再次相遇？分析与解答：第一问是环形跑道上的追及问题，甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈。第二问则变为相遇问题。*第一问（追及）：路程差=跑道周长=400米速度差=300米/分钟-250米/分钟=50米/分钟追及时间=400÷50=8（分钟）*第二问（相遇）：甲追上乙后立即反向，此时两人同地出发，反向而行，变为相遇问题。相遇路程=跑道周长=400米速度和=300米/分钟+250米/分钟=550米/分钟相遇时间=400÷550=8/11≈0.73（分钟）（或表示为分数8/11分钟）*答：经过8分钟甲第一次追上乙；甲转身反向后，再经过8/11分钟与乙再次相遇。（三）挑战型：隐含条件与多变量例题6：甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙。求甲、乙两人的速度各是多少？分析与解答：此题含有两个情境，需要从中提取信息，建立方程组求解。*设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒。*情境一：乙先跑10米（路程差10米），甲5秒追上。根据追及公式：路程差=速度差×追及时间10=(x-y)×5→方程1：x-y=2*情境二：乙先跑2秒（路程差为y×2=2y米），甲4秒追上。路程差=速度差×追及时间2y=(x-y)×4→方程2：2y=4(x-y)*由方程1可知x-y=2，代入方程2：2y=4×2→2y=8→y=4则x=y+2=6*答：甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒。四、拓展思考与总结追及问题的形式多种多样，但万变不离其宗，核心始终围绕“路程差”、“速度差”和“追及时间”三者的关系。在解决复杂问题时，建议：1.画图辅助：画出示意图，清晰表示物体的运动轨迹、初始位置、方向和关键节点，有助于直观理解题意。2.明确变量：找出题目中的已知量和未知量，特别是隐藏的路程差（如环形跑道的周长、车长之和等）。3.灵活运用公式：