云南大理下关一中教育集团2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页云南大理下关一中教育集团2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=21+i的共轭复数为(

)A.2+2i B.2−2i C.1+i D.1−i2.集合M=x∣y=lnx−1，集合N=y∣y=eA.2,+∞ B.1,+∞ C.1,2 D.R3.已知非零向量a，b满足a=2b，且a−b⊥b，则aA.22 B.32 C.4.函数fx=sin2x+3A.2 B.1 C.3 D.5.不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为23、712、12，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为A.23 B.712 C.126.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bcA.等腰且非等边三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形7.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0虚轴的两个端点分别为B1，A.233 B.43 C.8.已知实数a，b，c满足1.5a+a=logA.a<b<c B.a=b<c C.b<a=c D.b<a<c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列各叙述正确的为(

)A.数据1，3，5，7，9的第40百分位数为4

B.甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种

C.若随机变量X∼B3,13，则E2X+1=3，D2X+1=83

D.已知函数f10.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于P，Q两点，其中M为PQ的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的为A.若直线l的方程为y=x−12，则M32,1

B.PF+QFPFQF11.已知数列an是首项为1的正项数列，前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有an+1≤KSn，则称an是“A.若an是公差为2的等差数列，则an是“3数列”

B.若an是“2数列”，则不存在正整数n≥2，满足an>2⋅3n−2

C.若an是“K数列”，且an=122n−1+5n−1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.2+x2(1−x)4的展开式中x2的系数为

13.已知函数fx=mex+ne−x14.在直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点P为其内切圆上一点，则PA2+PB2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)设an是等差数列，bn是公比大于0的等比数列，已知a1=b(1)求an和b(2)设cn=an+bn，求数列16.(本小题15分)某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．(1)求该考生恰好选到2所985高校的概率；(2)若该考生选到985高校的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17.(本小题15分)

如图1在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2．

(1)求证：AD⊥平面BDM；

(2)若点E是线段DB上的一动点，且DE=tDB(0<t<1)，当二面角E−AM−D的正弦值为255时，求t18.(本小题17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点(M、N都不在坐标轴上)，若∠MPF=∠NPF，求直线l的方程．19.(本小题17分)已知函数fx=e(1)求函数fx的图象在点0,f(2)若存在x∈−π3,0，使得(3)设方程fx−gx=0在区间2nπ+π3,2nπ+π2,n∈1,2,3,⋯⋯,2026,2027内的根从小到大依次为x1，x21.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABC

12.【答案】13

13.【答案】−6

14.【答案】[18, 22]

15.【答案】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，且依题意得2q=2+d2q2=6+d，解得2q又因为q>0，所以q=2，解得q=2d=2，故an=2n(2)因为cn=a则Tn

16.【答案】解：(1)从10所高校中，任取4所，共有C104=210种取法，

恰有2所985高校的取法为：C32C72=63，

该考生恰好选到2所985高校的概率为P=63210=310；

(2)设X为该考生选到985高校的个数，则X的取值为0，1，2，3．X0123P1131数学期望为：E(X)=0×1617.【答案】证明见解析；

t=1218.【答案】解：(1)令F(−c,0)，由e=ca=22，得由直线FB过点P(1,2)，得直线FB的方程为y=x+1，因此b=c=1,a=所以椭圆C的标准方程为x2(2)设∠MPF=∠NPF=θ，直线MP的倾斜角为β，直线NP的倾斜角为α，由直线FP的斜率k=1知直线FP的倾斜角为π4于是α=π4+θ,π4=β+θ，即有则tanαtanβ=sinα由题设知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my−1,m≠1，由x=my−1x2+2y2=2，消去设M(x1,由kMP⋅kNP=1则(my1−2)(m即−m2−1m2+2−所以直线l的方程为x=−15y−1

19.【答案】解：(1)f(0)=e0cos0=1×1=1，即切点为(0,1)．

f′(x)=excosx−exsinx=ex(cosx−sinx)，

f′(0)=e0(cos0−sin0)=1×(1−0)=1，即切线斜率k=1，

得切线方程为y−1=(x−0)，整理为y=x+1．

(2)由题意知，存在x∈[−π3,0]，使得excosx−t(sinx+1)≥0成立，因为