湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第二次联考数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第二次联考数学试题一、单选题1．设全集，集合，B={1，2，3}，则（）∩B=（

）A．{1} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}2．已知复数，则复数的虛部为（

）A． B． C． D．3．对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知常数满足.设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线，则和的离心率之比（

）A． B． C．1 D．6．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，(其中，，n!=1×2×3×…×n0!=1)，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（

）A． B． C． D．7．在计算机的C语言编译器中，一般对char（一种整数类型）读取后八个字节，如000100000000视为00000000即为0.故因此衍生出了补码，即当取值在10000000到11111111之间，视为负数处理.如果定义一个char类型变量，后输出的值为（

）A．0 B．128 C． D．8．某旅游景区有如图所示的A至H8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）ABCDEFGHA．288 B．336 C．576 D．1680二、多选题9．已知正数x，y，z满足，则（

）A． B． C． D．10．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（

）A．函数在区间（）上单调递增B．若函数，则的值域为C．若函数，则的值域为D．，11．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0<j<k时，，则称是的一个周期为k的周期点.若，下列各值是周期为1的周期点的有（

）A．0 B． C． D．112．在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（

）A．对于任意的，都有B．对于任意的，数列不可能为常数列C．若，则数列为递增数列D．若，则当时，三、双空题13．设展开式中各项系数和为的系数为，则；.四、填空题14．空间四面体中，，二面角的大小为，在平面内过点作的垂线，则与平面所成的最大角的正弦值.15．函数，其中a，b为实数，且.已知对任意，函数有两个不同零点，a的取值范围为.16．已知平面向量，和单位向量，满足，，，当变化时，的最小值为，则的最大值为.五、解答题17．现有下列三个条件：①函数的最小正周期为；②函数的图象可以由的图象平移得到；③函数的图象相邻两条对称轴之问的距离.从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量，，，函数.且满足.（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；（2）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，求的值.18．已知数列满足，.(1)若且.（ⅰ）当成等差数列时，求k的值；（ⅱ）当且，时，求及的通项公式.(2)若，，，.设是的前n项之和，求的最大值.19．已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.(1)若点是棱上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；(2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.20．某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．(1)若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？21．已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.(1)求抛物线E的标准方程；(2)（ⅰ）求证：直线过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.22．已知函数．(1)求函数的最小值；(2)若方程有两实数解，求证：．（其中为自然对数的底数）．

参考答案1．【答案】C【分析】先计算出，再计算即可.【详解】.故选：C.2．【答案】A【分析】先由复数的运算求出，再求出虚部即可.【详解】，故虚部为.故选：A.3．【答案】C【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答.【详解】依题意，，令，，则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，因此，，，而，则，所以实数的取值范围是.故选：C4．【答案】C【分析】依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.【详解】因为在上单调，所以，则，由此可得.因为当，即时，函数取得极值，欲满足在上存在极值点，因为周期，故在上有且只有一个极值，故第一个极值点，得，又第二个极值点，要使在上单调，必须，得.综上可得，的取值范围是.故选：C5．【答案】C【分析】由题可以判断中心为点，且为实轴在直线上的双曲线，为实轴在直线上的双曲线，可以用表示离心率，继而求出离心率之比.【详解】由题意知双曲线的中心为点，由两双曲线过原点可知为实轴在直线上的双曲线，所以，，为实轴在直线上的双曲线，所以，，因此.故选：C.6．【答案】B【分析】求出后代入得cos1=sin可得答案，即与最接近.【详解】所以cos1==sin=sin，由于与最接近，故选：B7．【答案】D【分析】根据题中所给算法进行计算即可.【详解】因为取值在10000000到11111111之间，视为负数处理，所以换算为10进制，即128-255之间的数用负数处理，又因为处理为，处理为，处理为，……以此类推，处理为.故选：D8．【答案】B【解析】第一步:只停白车,第一行选一个位置,有4种选法，则第二行有三个位置可选,由于两辆白车是不相同的,故白车的停法有4×3×第二步,再停黑车,若白车选AF,则黑车有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择,由于两辆黑车是不相同的,故黑车的停法有2×7=根据分步乘法计数原理,共有24×14=336（种）停车方法9．【答案】ABD【分析】设，，求出，根据对数的运算性质及换底公式计算即可判断A；利用作商法即可判断B；利用作差法即可判断D；再根据AD即可判断C.【详解】解：设，，则，，，所以，A正确；因为，则，因为，则，所以，B正确；因为，则，D正确.因为，则，所以，C错误.故选：ABD.10．【答案】AC【分析】求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断B，D；变形函数式，分析计算判断C作答.【详解】对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；对于B，，则，B不正确；对于C，，当时，，，有，当时，，，有，的值域为，C正确；对于D，当时，，有，D不正确.故选：AC11．【答案】AC【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当、、、时的函数周期，进而得出结果.【详解】A：时，，周期为1，故A正确；B：时，，所以不是的周期点.故B错误；C：时，，周期为1，故C正确；D：时，，不是周期为1的周期点，故D错误.故选：AC.12．【答案】ACD【分析】A由递推式有上，结合恒成立，即可判断：B反证法：假设为常数列，根据递推式求判断是否符合，即可判断；C、D由上，讨论、研究数列单调性，即可判断.【详解】A：由，对有，则，即任意都有，正确；B：由，若为常数列且，则满足，错误；C：由且，当时，此时且，数列递增；当时，此时，数列递减；所以时数列为递增数列，正确；D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.故选：ACD13．【答案】1024；5400【分析】令，即可得到展开式各项系数和，从而求出，再由，写出展开式的通项，再令，求出、，再代入计算可得；【详解】解：依题意令得，所以；又，所以展开式的通项为令，解得，所以，故的系数；故答案为：；；14．【答案】##【分析】通过空间想象确定与平面所成角最大时平面ABC与平面的关系，从而得到所求角和的关系，然后设棱长，利用二面角和直接计算可得.【详解】记过点B作的垂线l，垂足为E，过点E作垂直于直线CE的平面，交平面于直线BF，则当平面ABC时，与平面所成角最大，且与互余.此时，因为平面ACB，平面所以平面ACB平面，则由点E向平面作垂线，垂足H在CB上，过H作CD垂线HG，垂足为G，连接EG.由题知，，记，则在中，又，所以在中，，在中，记此时与平面所成角为，则.故答案为：15．【答案】【分析】将函数有两个不同零点转化为方程有两个不等实根；再将方程变形构造新函数，求导并研究新函数的单调性，求其最小值，得到，再由已知条件求得即可.【详解】因为有两个不同零点有两个不相等的实根即有两个不相等的实根；所以，令，则，显然不为零，所以，因为，，所以，所以；令，则；令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增；所以，所以；又，所以，所以即，，又，所以；故答案为：.16．【答案】【分析】不妨设，，则由题知，由已知条件得，，将用坐标表示，并求模，代入及，整理得，构造函数，求出最小值，表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可.【详解】不妨设，，则由题知又，所以整理得①，所以又，所以而将①代入整理得：令，，有最小值，又，当且仅当时等号成立所以，当时有最大值.故答案为：.17．【答案】（1）不能选②，，或或；（2）.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求得，根据其性质，可以判断不可能选②，结合①③的条件，可以求得，得到函数解析式，根据三角函数值以及角的范围，确定出方程的解；（2）结合（1），求得，根据正弦定理以及题中条件，求得，根据平方关系求得，结合诱导公式以及三角形内角和，求得的值.【详解】（1）因为，，所以.若满足条件①：，所以，故.因为，无法由的图象经过平移得到的图象，因此不能选②.若满足条件③：因为，所以，故，即.综上，无论选条件①或③，所求.因为，所以.又，所以，所以或或，即或或.所以方程在闭区间上的解为或或.（2）由（1）知，所以，，即，.因为，所以，，.又，由正弦定理，得，整理得.因为，所以，所以.又，得，所以.18．【答案】(1)（ⅰ），（ⅰⅰ），；(2).【分析】（1）根据等差数列的定义以及等差中项的性质即可求的值；由题可得是首项为，公比为2的等比数列，进而可得数列的通项，再利用累乘法即可求的通项公式；（2）利用分组求和可得，结合，，求出利用基本不等式求最大值，即可求出的最大值.【详解】（1）（ⅰ）因为成等差数列，所以，所以，又所以；（ⅱ）因为，所以，，所以，所以，因为，又由，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，∴所以；（2）由可得，所以，因为，所以，即，因为，，，所以即，，因为，，所以，因为，所以，所以，可得，所以，令，设，，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，所以时取得最大值，故最大值为，所以最大值为.19．【答案】(1)②，证明见解析(2)存在，【分析】（1）先连接、交于，确定是的几等分点，再确定是的几等分点．（2）建立空间直角坐标系，平面垂直，对应法向量垂直，数量积为，列出方程求解．【详解】（1）条件②可以推断平面.如图，连接，相交于点，连EM.在梯形中，有，，.又因为，所以，故，又平面，平面，所以平面.故当时，平面.（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，则A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，设，则对于平面ADN，设其法向量，满足，即，故取对于平面BDN，设其法向量，满足，即，故取，若平面ADN平面BDN，则，即，解得，此时N为PC的中点，.20．【答案】(1)分布列见解析，(2)7次【分析】（1）由题意分析的所有可能取值为0，1，2，3.分别求概率，写出分布列，求出数学期望；（2）记第次亮灯时，亮起红灯的概率为，得到，能证明出是首项为，公比为的等比数列.求出，根据题意建立不等式，求出n的最大值.【详解】（1）据题意，的所有可能取值为0，1，2，3.当时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则当时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则当时，前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”，则当时，前3次亮灯的颜色为“红红红”，则所以的分布列为：0123（2）记第次亮灯时，亮起红灯的概率为，由题设，则因为则，所以是首项为，公比为的等比数列.则，所以由，得，所以为奇数.由，得因为为奇数，则，即，则.当时，，9，11，13，15，17，19.因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌.21．【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）根据点在抛物线的准线上可得，即可求出抛物线方