2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末复习-阅读与思考

第1页（共1页）北师大版数学八下期末复习1．阅读与思考下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期六利用平行线探究角平分线分线段成比例今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：AB【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）：证明：过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E．∴BAAE=BDDC（依据），∠BAD＝∠E，∠∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠E＝∠ACE．∴AC＝AE．∴BAAC=BD【拓展探究】我有如下思考：如图2，在△ABC中，外角∠PAC的平分线与BC的延长线交于点D，那么能不能参照上述方法求出线段AB，AC，BD，DC之间的比例关系呢？…任务：（1）【自主探究】的证明过程中的“依据”是指．（2）如图3，在△ABC中，ABAC=12，请你作出边（3）求出【拓展探究】中，线段AB，AC，BD，DC之间的比例关系．2．阅读与思考下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．借助网格解几何题在课本中有一些利用网格求线段长或图形面积的题．通过做这些题和阅读杂志，我发现可以将网格作为数学工具，帮助我们解决一些几何问题．例如：如图1，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A是DE的中点，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连接CE，则CE的长为．直接解决本题较难，但是如果把它放到如图2所示的边长为1的正方形网格中就可以化难为易．但关键是要确定在网格中先画哪个三角形，由于△BDE的边长已知，所以应先画这个三角形，再画△ABC，连接CE，且让三角形的顶点都在网格的格点上，看上去与题目中图的方向有所不同，但图形与原图形是形状相同的，然后利用网格可以轻松得到CE的长．任务：（1）图2中，CE＝；（2）借助网格解决以下问题：如图3，△ABC中AC=10，AB=25，BC=34，点D是AB的中点，以CD为直角边作等腰直角△①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，并使各三角形的顶点在格点上；②直接写出线段AE的长；（3）反思：借助网格解几何题有一定的局限性，其局限性是什么？3．阅读与思考三角形的内角和小学时候我们就知道三角形内角和是180°．从古至今，无数数学家倾注心力，用不同的推理思路共同证实了——三角形内角之和恒为180度．下面是数学家普罗克拉斯的两种证明方法：如图1，已知：三角形ABC．求证：∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．方法一：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥BC，过点C作CF⊥BC．∵AD⊥BC，BE⊥BC，CF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EBC＝90°，∠FCB＝90°，∴∠ADC＝∠EBC＝90°．∴AD∥BE（依据一）．∴∠BAD＝∠ABE．又∵∠ADC+∠FCB＝90°+90°＝180°，∴AD∥CF．∴∠DAC＝∠FCA（依据二）．∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝∠BAD+∠DAC+∠ABC+∠ACB＝∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠FCB＝90°+90°＝180°．方法二：（将辅助线一般化）如图3，在边BC上任取一点G（不与B，C重合），连接AG．分别过点B，C作AG的平行线…任务一：材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是：依据一：；依据二：．任务二：材料中证法一的思路是用平行线的性质得到∠BAD＝∠ABE，∠CAD＝∠ACF，将三角形内角和问题转化为∠EBC与∠FCB的和，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是．A．函数思想B．分类思想C．转化思想任务三：请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母．4．阅读与思考阅读下列材料，完成后面提出的任务：2025年×月×日姓名：×××周末的一天，我在某阅览室的一本杂志上看到这样一个问题：如图1，已知AD是△ABC的角平分线，求证：AB•CD＝BD•AC．该杂志上的解答过程如下：如图2，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，过点A作AH⊥BC，垂足分别为E，F，H，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF（依据）．∵S△ABD=∴S△ABDS△ACD=12AB⋅DE12我们把这个性质称为三角形角平分线的性质，下面提出两个问题：【问题1】如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AD平分∠CAB，则CD＝▲．【问题2】如图4，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD垂直平分BE于点D，EF垂直平分AC于点F，求证：CE2＝2DE•AC．下面是问题2的部分证明过程：证明：∵AD垂直平分BE，∴AB＝AE．∵EF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴AB＝CE．…任务：（1）材料中的依据是指．（2）材料中问题1中的“▲”处应填写．（3）补全问题2的证明过程中的剩余部分．5．阅读与思考下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质．研究方法：观察（测量、操作）﹣猜想﹣推理研究内容：一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD为“筝形”．特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下：定义：如图2，筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，若∠B＝∠D＝90°，则称四边形ABCD为直角筝形．性质：根据定义，探索图2中直角筝形ABCD的性质，得到如下结论：关于内角：直角筝形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补．理由如下：连接对角线AC．∵△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，…关于对角线：…任务：（1）补全材料中关于直角筝形ABCD内角性质的说理过程；（2）小颖在图2的基础上连接对角线BD，交AC于点O，得到图3，发现如下结论：①AC平分∠BAD与∠BCD；②AC垂直平分BD．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由；（3）在图3中，以CD为对角线构造直角筝形CEDF，使它的顶点E在射线CB上．若∠BCD＝70°，则∠CED的度数为°．6．阅读与思考下面是小敏同学撰写的一则数学小论文，请你认真阅读并完成下列任务．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．代数推理侧重于数与式、方程与不等式、函数等相关内容的运算、变形、证明，抽象程度较高，并且不同的代数推理中涵盖不同的推理思想．其中，方程与不等式的推理是初中代数推理的重要组成部分，我们运用代数推理技巧，对方程或不等式进行变形和化简，以便找到解或解集，也可用来比较代数式的大小．下面是我的推理过程：我利用不等式的基本性质推理如下：例（1）已知a＞b，试比较﹣2025a+1与﹣2025b+1的大小．解：∵a＞b，﹣2025＜0，∴﹣2025a＜﹣2025b．（依据1）∴﹣2025a+1＜﹣2025b+1．（依据2）（2）已知a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．解：∵a＞b，∴a+c＞b+c．又∵c＞d，∴b+c＞b+d．∴a+c＞b+d．任务：（1）上面小论文中的“依据1”是，“依据2”是；（2）已知a，b，c，d都是正数，且a＜b，c＜d，请类比材料中（2）的推理方法，比较ac与bd的大小．7．阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．×年×月×日星期五晴我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程．例（1）已知a＞b，试比较﹣2025a+1与﹣2025b+1的大小．解：∵a＞b，﹣2025＜0，﹣2025a＜﹣2025b．（依据1）∴﹣2025a+1＜﹣2025b+1．（依据2）例（2）已知a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．解：∵a＞b，∴a+c＞b+c．①∵c＞d，∴b+c＞b+d．②由不等式①②，得a+c＞b+d．任务：（1）小敏日记中的“依据1”是，“依据2”是．（2）已知a，b，c，d都是正数，且a＜b，c＜d，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较ac与bd的大小关系．8．阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．整体思想解二元一次方程组解方程组：2x解：2x13×(①+②)得x+y＝▇，①﹣②得x﹣则x+y=▇评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“x+y”和“x﹣y”的值，再求解x和y的值．练习：解方程组：2023x任务：（1）直接写出研究报告中“▇”处空缺的内容为，“▲”处空缺的内容为．（2）应用整体思想完成练习中题目的解答．（3）已知关于x，y的二元一次方程组4x+y=k+1x9．阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．整体思想整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想．例：把（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1因式分解．解：把“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2．任务：（1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为．（2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题①将多项式（x2+6x+2）（x2+6x+16）+49因式分解；②已知m+n＝5，mn＝1，求（m2+1）（n2+1）的值．10．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．大数值式子大小的比较问题有些大数值式子大小的比较问题可以通过用字母代替数转化成整式或分式的简化运算，再用作差法比较大小．例1：若x＝6788×6787，y＝6789×6786，试比较x，y的大小．解：设6788＝a，则x＝a（a﹣1）＝a2﹣a，y＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2．∵x﹣y＝（a2﹣a）﹣（a2﹣a﹣2）＝2＞0，∴x＞y．例2：若x=20266789，y=2025解：设6789＝a，则x=2026a∵x−任务：（1）请将例2的解题过程补充完整．（2）若x=−20252026×2027，y=−202611．阅读与思考请认真阅读，并完成相应任务．通过小学的学习，我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．例如：83我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如x−1x+1类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）．如：x−1再如：x2任务：（1）分式3x+1是（2）将假分式x2（3）已知2x+3x12．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：下面是我在课堂上化简分式4x解：原式=4=4=4=4−=6−【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．任务：（1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是；A．函数思想B．数形结合思想C．转化思想D．统计思想（2）以上化简过程中，第步是分式的通分，通分的依据是；（3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第步开始出现错误，化简的正确结果应该是．13．阅读与思考下面是小颖同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．x月x日星期三晴用数学知识解释生活现象数学李老师常说：“我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”．为此，我尝试着用数学知识解释了下面的生活现象．发现问题：生活经验告诉我们，往一杯糖水中再加入一点糖，水就变更甜了．用数学的知识如何解释其中的道理呢？分析问题：将上述生活现象转化为数学问题：将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量（含糖量=糖的质量糖水的质量）可以记为ab（b＞a＞0），再往杯中加入c解决问题：①根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到不等式；②验证该不等式的正确性：…回顾反思：在验证不等式的正确性时我遇到了困难，同桌小果给我分享了“用求差法比较大小”的方法，帮助我顺利解决了问题．用求差法比较大小我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．当m﹣n＞0时，一定有m＞n；当m﹣n＝0时，一定有m＝n；当m﹣n＜0时，一定有m＜n．任务：（1）小颖根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到的不等式为；A.aB.aC.a（2）请你利用求差法验证（1）中所选不等式的正确性．14．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务．关于“设参法求分式的值”的研究报告勤学小组研究对象：设参法求分式的值研究思路：设参数为k，把含参数k的式子代入原式进行化简求值【问题提出】已知x2=y【思路分析】根据题意可设已知条件中的连等式x2=y3=z4=k，因而有x＝2k解：设x2=y3=z4=k，则x＝2k∴原式=2k任务：（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：．（2）已知x，y，z满足等式x+y415．阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形研究思路：类比四边形，按照“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究．概念：两组邻边分别相等的四边形，称为筝形．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则四边形ABCD是筝形．判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形（定义）．②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．…任务：（1）根据上述材料，请你写出一个符合筝形定义的特殊平行四边形．（2）将（1）中你写出的特殊平行四边形与筝形进行对比，分别写出一条相同点和不同点．（3）请你在如图2所示的正方形网格中画出一个筝形ABCD，使得AB≠BC，且筝形ABCD的顶点都在格点上．16．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在▱ABCD中，AB2+BC2+CD2+AD2＝AC2+BD2．小明在老师的提示下，对该性质进行了证明．证明：如图1，过点A，D作BC的垂线，分别与BC交于点E，与BC的延长线交于点F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD（依据），AD∥BC，AD＝BC．设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，BE＝c，则CE＝b﹣c．∴AB2+BC2+CD2+AD2＝2a2+2b2．在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AE2＝a2﹣c2．在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2＝a2﹣c2+（b﹣c）2＝a2+b2﹣2bc．…任务：（1）证明过程中的“依据”是指：．（2）请你补全小明的证明过程．（3）如图2，在▱ABCD中，AB=43BC，AC＝12，BD＝16，则▱

参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例，故答案为：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例；（2）如图，点D即为所求（答案不唯一）．（3）如图，过点C作CE∥AD，交BA于点E．∴∠AEC＝∠PAD，∠ACE＝∠DAC，BAAE∵AD平分∠PAC，∴∠DAC＝∠PAD，∴∠ACE＝∠AEC，∴AE＝AC，∴ABAC2．【解答】解：（1）由勾股定理得：CE=故答案为：17；（2）①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，如图4即为所求；②由勾股定理得：AE=（3）借助网格解几何题的局限性在于，它只能解决可以用网格画出的格点线段的相关问题，对于一些无法在网格中准确表示或计算的线段长度等问题，这种方法就无法使用，限制了解题的普适性．3．【解答】解：任务一：依据一：同位角相等，两直线平行，依据二：两直线平行，内错角相等．故答案为：同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等；任务二：证明方法一中主要体现的数学思想是转化的思想．故答案为：C；任务三：证明：分别过点B，C作BM∥AG，CN∥AG．∵BM∥AG，∴∠BAG＝∠MBA，∵CN∥AG，∴∠CAG＝∠ACN，∵BM∥AG，CN∥AG，∴BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB＝180°，∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝∠BAG+∠GAC+∠ABC+∠ACB＝∠MBA+∠ABC+∠ACB+∠ACN＝∠MBC+∠NCB＝180°．4．【解答】（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，此时依据是：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，故答案为：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等；（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC=∴BD＝BC﹣CD＝4﹣CD，∵AD平分∠CAB，∴由材料中角形角平分线的性质可得AB•CD＝BD•AC，∴5CD＝3（4﹣CD），解得CD=∴材料中问题1中的“▲”处应填写32故答案为：32（3）证明：∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE，BE＝2DE，AE＝CE，（线段垂直平分线的性质），∴AB＝CE（等量代换）．∵AE平分∠BAC，∴由材料中角形角平分线的性质可得AB•CE＝BE•AC，∴CE•CE＝2DE•AC，即CE2＝2DE•AC．5．【解答】解：（1）理由如下：连接对角线AC．∵△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°∵在△ADC中，∠D＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠BAC+∠BCA+∠DAC+∠DCA＝180°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，即∠BAD与∠BCD互补；（2）在△ABC和△ADC中，AB=∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∴AC平分∠BAD与∠BCD；在△ABO和△ADO中，AB=∴△ABO≌△ADO（SAS），∴OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，∵∠AOB+∠AOD＝180°，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴AC垂直平分BD；（3）如图所示，当点E在CB延长线上时，连接EF交CD于T，∵四边形CEDF是直角筝形，∴EC＝ED，FC＝FD，∠ACF＝∠ADF＝90°，同理可证明△CET≌△DET，∠ETC＝90°，∴∠DET＝∠CET＝180°﹣∠ETC﹣∠ECT＝20°，∴∠CED＝∠DET+∠CET＝40°，如图所示，当点E在CB上时，∵以CD为对角线，顶点E在CB上，根据直角筝形的定义，其中一个直角顶点就是E（另一个直角顶点为F），即∠CED本身就是这个直角，则∠CED＝90°，综上所述，∠CED＝40°或∠CED＝90°．故答案为：∠CED＝40°或∠CED＝90°．6．【解答】解：（1）依据1：不等式的基本性质3[或如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc，ac依据2：不等式的基本性质1[或如果a＞b，那么a+c＞b+c，a﹣c＞b﹣c或不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变]；故答案为：不等式的基本性质3，不等式的基本性质1；（2）∵c＞0，a＜b，∴ac＜bc．∵c＜d，b＞0，∴bc＜bd．∴ac＜bd．7．【解答】解：（1）由题干中的解题过程可得小敏日记中的“依据1”是不等式的性质3：不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，“依据2”是不等式的性质1：不等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变，故答案为：不等式的性质3：不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的性质1：不等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；（2）已知a，b，c，d都是正数，∵a＜b，∴ac＜bc，∵c＜d，∴bc＜bd，∴ac＜bd．8．【解答】解：（1）5，﹣1，理由如下：2x13×(①+②)得x+y＝5，①﹣②得x﹣故答案为：5，﹣1；（2）2023x14048×(①+②)得x+12×(②−①)得x﹣则x+两式相加得x=两式相减得y=−∴原方程组的解为x=（3）k＜1，理由如下：4x①+②得x+由条件得k+45＜19．【解答】解：（1）把“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4．故答案为：（x﹣1）4；（2）①把“x2+6x”看成一个整体，令x2+6x＝y．原式＝（y+2）（y+16）+49＝y2+18y+32+49＝y2+18y+81＝（y+9）2＝（x2+6x+9）2＝[（x+3）2]2＝（x+3）4；②由条件可知（mn）2＝1，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2＝23，则（m2+1）（n2+1）＝（mn）2+m2+n2+1＝12+23+1＝25．10．【解答】解：（1）设6789＝a，则x=2026a∵x−∴x﹣y＜0，∴x＜y；（2）设2027＝a，则x=−a−2∵x=−(=−=−又∵﹣a+3＜0，a（a+1）（a﹣1）＞0，∴x﹣y