6.3 三角形的中位线-教学设计 初中数学北师大版（新教材）八年级下册

第六章平行四边形北师大版(2024)6.3三角形的中位线一、教学目标1.通过动手操作、观察猜想，理解三角形中位线的概念，明确中位线与中线的区别，探索并掌握三角形中位线定理的内容.2.经历利用平行四边形的性质与判定证明三角形中位线定理的过程，体会转化思想，提升逻辑推理能力.3.能运用三角形中位线定理，解决与线段长度、位置关系相关的计算和证明问题，提升几何问题的分析与解决能力.二、教学重点及难点重点：三角形中位线的定义；通过构造平行四边形证明三角形中位线定理.难点：灵活运用中位线定理解决综合性几何问题.三、教学过程【知识回顾】教师提问：我们已经学习了平行四边形的判定方法，请大家回忆：有哪些方法可以判定一个四边形是平行四边形？【学生活动】独立思考，举手回答，互相补充完善.教师板书梳理判定方法：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形.教师追问：这些判定方法，对我们接下来学习三角形的中位线有什么帮助？【学生活动】思考交流，明确：可以通过构造平行四边形来解决三角形中的问题.设计意图：系统复习平行四边形的判定方法，为后续用平行四边形证明三角形中位线定理做好知识铺垫，搭建“三角形问题转化为平行四边形问题”的桥梁，让学生提前感知转化思想，降低新知学习的难度.【探究新知】探究：三角形的中位线.教师提问：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？小明的做法是：如左图，在△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形.如右图，将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置，这样就得到了一个与△ABC面积相等的▱DBCF.【学生活动】观察“小明的做法”，动手模拟剪拼过程.教师讲解：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.两层含义：①如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的中位线；②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的中点.【课堂互动】教师提问1：一个三角形有几条中位线？请在图中画出△ABC的所有中位线.学生：动手画图，得出：一个三角形有3条中位线，分别连接三组对边的中点.教师提问2：若连接AF，则AF是△ABC的___________.学生：中线.教师提问3：三角形的中位线和我们之前学过的三角形中线有什么区别和联系？请结合图形说明.【师生活动】小组讨论，对比分析，教师引导并归纳：相同之处：都是和边的中点有关的线段；不同之处：中位线是两个中点的连线；中线是一个顶点和对边中点的连线.设计意图：通过层层递进的提问，帮助学生准确理解三角形中位线的定义；通过与中线的对比辨析，突破易混点，加深对概念的理解；通过画图操作，强化几何直观，为后续探究中位线定理奠定基础.【探究新知】探究：三角形中位线定理.教师提问：从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系吗？与同伴进行交流.【学生活动】学生观察图形，结合剪拼过程，提出猜想：DE和边BC的关系：位置关系：平行；数量关系：DE是BC的一半.教师：这个猜想对任意三角形都成立吗？我们需要用严谨的几何证明来验证.已知：如图，DE是△ABC的中位线.求证：DE∥BC，.教师提问：为证明一条线段等于另一条线段的一半，可否把问题先转化为证明与之有关的某两条线段相等？怎样获得与目标线段相等的线段？前面小明的做法对你有哪些启发？【学生活动】独立思考，小组交流，得出证明思路：延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，构造全等三角形和平行四边形.证明1：如图，延长DE至F，使FE＝DE，连接CF.∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE(SAS).∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB.∵BD＝AD，∴CF＝BD.∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC，且．教师提问：除了上述方法，还有其他证明方法吗？【学生活动】尝试其他方法，如：过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形证明2：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F.∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，又∵AE＝EC，∠1＝∠2，∴△ADE≌△CFE(ASA)，∴AD＝FC，DE＝FE，又∵DB＝AD，∴DB＝FC，∴四边形BCFD是平行四边形．∴DE∥BC且．教师拓展：证明3：如图，延长DE至F，使EF＝DE，连接CD、AF、CF，∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形．∴AD＝FC，AD∥FC.又∵AD＝BD，∴DB＝FC，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DE∥BC且．教师讲解：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.利用三角形的中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等.用符号语言表示：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，.教师点拨：三角形中位线定理的应用(1)位置关系：证明两直线平行；(2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系.【典型例题】例.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AB的中点，∠ADB＝90°，AC＝6，OE＝1.求AD和BD的长度.解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝OC，DO＝OB(平行四边形的对角线互相平分).∵E为AB的中点，∴OE是△ADB的中位线(三角形的中位线定义).∴AD＝2OE＝2(三角形中位线定理).∵AC＝6，AO＝OC，∴.在Rt△ADO中，由勾股定理可得.∴.设计意图：通过典型例题，将三角形中位线定理与平行四边形、勾股定理等知识综合应用，训练学生分析问题、解决问题的能力；强化定理的应用意识，规范解题步骤