安徽省芜湖市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监控 数学试卷

2024-2025学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控

高一年级数学试题卷

注意事项：

1.本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.

3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.

4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

ii2

1.i为虚数单位，则（）

A.0B.1C.2D.2

【答案】C

2

【详解】ii21i，所以ii21i1122，

故选：C.

2.数据7,8,12,5,6,7,6,10,12,8的第75百分位数为（）

A.7B.8C.10D.12

【答案】C

【详解】首先将数据从小到大排序：5,6,6,7,7,8,8,10,12,12

由题意可知：1075%7.5，则从小到大第8个数为10.

故选：C

ππ

3.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且A,B,a26，则b（）

34

A.4B.23C.22D.2

【答案】A

2

26

asinB

【详解】b24.

sinA3

2

故选：A.

4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是AB,BC的中点，则下列结论正确的是（）

A.A1ED1FB.EF//A1C1

C.BD平面A1C1FED.BB1//平面A1C1FE

【答案】B

【详解】对于A，如图所示，取DC中点G，

由题意DG//AE,DGAE，所以四边形ADGE是平行四边形，

=

所以AD//EG,AD=EG，又因为AD//A1D1,ADA1D1，

所以A1D1//EG,A1D1EG，所以四边形A1D1GE是平行四边形，

故A1E,D1F所成角即为GD1F，不妨设正方体棱长为2，

则，

D1G145,GF112,DF145,D1F453

π

所以DG2DF2GF2，故GDF，即AEDF不成立，故A错误；

111211

对于B，如图所示，

因为AA1//CC1,AA1CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，

所以A1C1//AC，

因为E,F为AB,BC的中点，所以EF//AC，

所以EF//A1C1，故B正确；

对于C，如图所示，

由可知，，而，

AD1G5B1D14422,GB415,GB1543

222

所以GD1B1D1GB1，即D1B1与D1G不垂直，

而D1G//A1E，所以D1B1与A1E不垂直，

因为BB1//DD1,BB1DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，

所以BD//B1D1，

所以DB与A1E不垂直，而A1E平面A1C1FE，

所以BD平面A1C1FE不可能成立，故C错误；

对于D，如图所示，

因为BB1//AA1，AA1平面A1EFC1A1，所以BB1与平面A1EFC1也相交，故D错误.

故选：B.

5.已知a2,0,b1,1，若aab，则（）

A.1B.1C.2D.2

【答案】D

【详解】ab2,01,12,，

因为aab，

所以220，解得2.

故选：D.

6.有八张卡片，分别标记数字1,2,,8，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件A，

记“数字大于4”为事件B，记“数字为1,3,5,8”为事件C，则下列说法正确的是（）

A.事件A与事件C为互斥事件

B.PABPAPB

C.事件B与事件C不是独立事件

D.PABCPAPBPC

【答案】D

【详解】事件A2,4,6,8，事件B5,6,7,8，事件C1,3,5,8，

因为AC8，所以事件A与事件C不是互斥事件，A错误；

11

AB6,8，所以PAB，又因为PAPB，所以PABPAPB，B错误；

42

111

B1,2,3,4,BC1,3，所以PB,PC,PBC，

224

所以PBCPBPC，事件B与事件C是独立事件，C错误；

11

ABC8，所以PABC,PAPBPC，所以PABCPAPBPC，D正

82

确；

故选：D.

7.如图所示，四棱锥SABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，棱SC底面ABCD，且

SCBC,M,N分别是AD，SC1的中点，P是线段AB上的动点，则MPN（）

A.一定为锐角B.一定为直角

C.一定为钝角D.锐角､直角､钝角均有可能

【答案】A

【详解】因为底面ABCD是正方形，所以CBCD，又因为SC底面ABCD，所以CB,CD,CS两两

垂直，

所以，以C为原点，分别以CD,CB,CS为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则N0,0,2,M4,2,0，因为P在线段AB上，所以Pa,4,00a4，

所以PM4a,2,0,PNa,4,2，

2

则PMPN4aa2402a24a8a240，

PMPN

所以cosPM,PN0，

PMPN

所以MPNPM,PN一定是锐角，

故选：A.

12

8.已知x,x,x,x,x,x,x，均为正整数，这七个数的平均数为3，方差为，若从这7个数中随机抽

12345677

取一个数，则该数为奇数的概率为（）

2345

A.B.C.D.

7777

【答案】B

1

【详解】根据题意，七个数的平均数为xxxxxxx3，

71234567

所以x1x2x3x4x5x6x721，

77

12122

且方差为，所以，

xi3xi312

7i17i1

因为均为正整数，所以2为自然数，

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7xi3

分析2的可能取值为，

xi30,1,4,9

7

2

若有个或个以上，则不满足；

229xi312

i1

若有1个9，则有3个1，3个0，结合x1x2x3x4x5x6x721，

则x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的可能组合为2,2,2,3,3,3,6，

若有2个4，则有4个1，1个0，结合x1x2x3x4x5x6x721，

则x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的可能组合为1,1,3,4,4,4,4或1,2,2,3,4,4,5或2,2,2,2,3,5,5，

不管是哪种组合，7个数中都有3个奇数，

3

所以从这7个数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为.

7

故选：B.

二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；

若只有3个正确选项，每选对一个得2分.

9.某学生一日时间分配饼形图，如图，下列说法正确的有（）

A.该饼形图为某一位中学生的一日时间分配情况

B.该饼形图为中学生这个群体的平均一日时间分配情况

C.该图表明中学生一日睡眠时间约为7小时

D.该图表明中学生一天花费在课外活动的时间与自由活动､通勤时间总和相当

【答案】BCD

【详解】根据题意，上图为中学生一日时间分配饼形图，

不能确定是某一位中学生的具体一日时间分配，故A错误；

该饼形图为中学生这个群体的平均一日时间分配情况，B正确；

该图表明中学生一日睡眠时间约为240.296.96小时，从而估计中学生一日睡眠时间约为7小时，C正

确；

该图表明中学生一天花费在课外活动的时间为240.081.92小时，

自由活动､通勤时间总和为240.040.041.92小时，

故中学生一天花费在课外活动的时间与自由活动､通勤时间总和相当，D正确.

故选：BCD

10.已知ABC,AB2,AC3,BAC60,D为边BC上一点，满足BDDC,ADxAByAC，

则下列选项正确的有（）

112

A.当时，x,y

233

B.无论取何值，均有xy1

19

C.当1时，AD

2

2

D.当AD过三角形ABC内心时，=

5

【答案】BC

【详解】

根据题意，BDDCBC，

1

1

所以ADABBDABBCABACABABAC，

1111

121

当时，则ADABAC，

233

21

所以x,y，A错误；

33

1

无论取何值，1，即xy1，B正确；

11

11

当1时，ADABAC，

22

112122

则ADABACABACAB2ABACAC

222

119

4223cos609，C正确；

22

当AD过三角形ABC内心时，即AD为角BAC的角平均分线，

ABBD22

则，即，D错误.

ACDC33

故选：BC

11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC,ABACAA13，点M是线段B1C1上一点，则下

列说法正确的是（）

A.当M为B1C1的中点时，A1M平面MBC

3336

B.A1MBM的最小值为

2

C.当M为三等分点（靠近B1）时，平面MAC截该几何体的截面面积为213

D.四面体MABC的外接球表面积最大值为27π

【答案】ACD

【详解】对于A，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面A1B1C1，A1M平面A1B1C1，所以BB1A1M，

因为ABAC，M为B1C1中点，所以A1MB1C1，

又BB1B1C1B1,BB1,B1C1平面B1BCC1，

所以A1MB1BCC1，即A1M平面MBC，故A正确；

对于B，将△A1B1C1翻折到与矩形B1BCC1共面，如图所示，

连接A1B与B1C1相交于点M，此时A1MBM取得最小值A1B，

3π

在△ABB中，BB3,AB3，ABB，

11111114

3π99AB2

由余弦定理可得cos1AB322，故B错误；

42331

对于C，如图所示，过点M作，MN//A1C1交A1B1于点N，

因为A1C1//AC，所以MN//AC，所以M,N,A,C四点共面，

故平面MAC截该几何体的截面为梯形MNAC，

因为AA1平面ABC，AC平面ABC，

所以AA1AC，又ABAC，AA1ABA,AA1,AB平面ABB1A1，

所以AC平面ABB1A1，

又AN平面ABB1A1，

所以ACAN，

因为ABACAA13，M为三等分点（靠近B1），

所以，

MN1,A1N2,AN9413

1

所以梯形MNAC的面积为1313213，故C正确；

2

对于D，如图所示，取BC,B1C1的中点P,Q，

因为三角形ABC是直角三角形所以点P为三角形ABC的外心，

13

三角形ABC的外接圆半径为rPAPBPCBC2，

22

而B1Q//BP,B1QBP，所以四边形BPQB1为平行四边形，

所以PQ//BB1，因为BB1平面ABC，所以PQ平面ABC，

四面体MABC的外接球球心在直线PQ上，不妨设为点O，

记四面体MABC的外接球半径为R，OQh,OP3h,QMx，

132

显然首先有0h3,0xBC，

2112

29

其次由R2OM2OB2可得，R2x2h23h，

2

27939

所以0x26hh，

2224

392927

所以当h,x2时，R2h3取得最大值，

2224

227

即点M与点B1或C1重合时，R取得最大值，

4

27

所以四面体MABC的外接球表面积最大值为4π27π，故D正确.

4

故选：ACD.

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.数据x1,x2,xn的平均数为1，则数据5x11,5x21,,5xn1的平均数为__________.

【答案】6

【详解】数据x1,x2,xn的平均数为1，则数据5x11,5x21,,5xn1的平均数为5116.

故答案为：6.

2π

13.已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______.

3

【答案】6

【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，

2π

则2π2l，解得l6.

3

故答案为：6.

14.长度分别为4和42的线段AC、BD交于点O，并且满足BOC45，BCAD，记

CAD,CBD,5sin2cos5，则OC__________.

41

【答案】##1

33

【详解】设BCADm，

则在△OBC、△OAD中分别利用正弦定理得，

mOCOBmODOA

，，

sin45sinsin45sin45sinsin45

则OC2msin，OD2msin，OB2msin45，OA2msin45，

因AC4,BD42，则2msin452msin4，

2msin452msin42，

2msin452msinsincos2sin1

两式相除得，，

2msin452msinsincos2sin2

化简得coscos45，

因,0,135，则450,180，则45，

则5sin2cos5sin290cos5cos2cos5，

25

即25cos2cos250，得cos或cos（舍），

52

11123

则sin，sinsin45，

525510

33

代入2msin452msin42中有2m2m42，

1010

210

得m，

3

21014

故OC2msin2.

353

4

故答案为：

3

四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出过程或演算步骤.

1

15.如图，在矩形ABCD中，点E是线段CD的中点，BFFA，若AB2,AD4，记ABa,ADb.

2

（1）试用a,b表示EF；

（2）求EFAC的值.

1

【答案】（1）EFab

6

46

（2）

3

【小问1详解】

121

由题意EFEDDAAFABADABab；

236

【小问2详解】

ACABADab，

11225246

所以EFACabababab160.

66633

16.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：

40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100.

（1）求图中x的值以及估算成绩的众数；

（2）从成绩不低于80分的学生中，利用分层抽样抽取4人，再从这4人中随机选取2人座谈，求该2人

中成绩均在80分至90分之间（含80分不含90分）的概率.

【答案】（1）x0.018；75

1

（2）

2

【小问1详解】

由0.00630.010.054x101，解得x0.018，

由图可知众数为75.

【小问2详解】

0.18

抽取的4人中成绩在80分至90分之间的有：43人，

0.180.06

成绩在90分至100分之间的有1人.

记成绩在80分至90分之间的为a,b,c，成绩在90分至100分之间的为A，

4人中随机选取2人的情况有：ab,ac,aA,bc,bA,cA，共6种，

成绩均在80分至90分之间的有：ab,ac,bc，共3种，

31

所以2人中成绩均在80分至90分之间的概率为P.

62

17.如图，等腰直角三角形ABC,ABAC2,D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点，将△AFB沿着AF

折起，使得B点不在平面ACF内，形成三棱锥BACF.

（1）证明：DE∥平面BFC；

（2）求三棱锥BACF体积的最大值.

【答案】（1）证明见解析

2

（2）

3

【小问1详解】

因为D,E分别为AB,AC的中点，

所以DE//BC，

又因为DE平面BFC，BC平面BFC，

所以DE//平面BFC.

【小问2详解】

当BF为三棱锥BACF的高时，三棱锥BACF的体积最大，

即当BFCF时，三棱锥BACF的体积最大，

由题意得BFAF，

又CFAFF，CF,AF平面AFC，

所以BF平面AFC，

由题意得AFAC,AFCFBF2，

112

所以V222.

BACF323

2

所以三棱锥BACF体积的最大值为.

3

3

18.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,maccosB,,nbsinC,1，且m//n.

3

（1）求角C的大小；

（2）若c3，求ABC的面积的最大值；

（3）若a1,ab,ABC的角C的外角平分线交直线AB于点D，且CD2AC，求CD长.

2π

【答案】（1）

3

3

（2）

4

（3）23

【小问1详解】

33

由m∥n，得accosB1bsinC0，即accosBbsinC0

33

利用正弦定理a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC，代入化简：

3

sinAsinCcosBsinBsinC0

3

又sinAsinBCsinBcosCcosBsinC，代入后得：

3

sinBcosCsinBsinC0

3

3

因sinB0，两边除以sinB，得cosCsinC0，即tanC3

3

2π

又C0,π，故C

3

【小问2详解】

2π

由余弦定理c2a2b22abcosC，代入c3,C得：

3

3a2b2ab

由均值不等式a2b22ab，得33ab，即ab1

1333

面积SabsinCab，故最大值为

2444

【小问3详解】

π5π

由题意，ACD,BCD,SSS，

66BCDACDABC

15π1π12π113

所以a·2bsinb·2bsina·bsin，即bb2b，

262623224

3

所以b1，

2

因此，CD2b23.

19.如图，在多面体ABCDE中，平面ACD平面ABC,BE平面ABC,△ABC和ACD均为正三角形，

3

AC2,BE.

3

（1）求证：ACDE；

（2）求多面体ABCDE的体积；

（3）求平面CDE与平面ABC所成二面角的正弦值.

【答案】（1）证明过程见解析

4

（2）

3

310

（3）

20

【小问1详解】