广西钦州市2024-2025学年高二下学期期末考试 数学

钦州市2025年春季学期高二年级期末教学质量监测

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作

答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第四章～第七章，选择性必修第二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.下表是离散型随机变量X的概率分布列，则常数a的值是（）

X3456

111

Pa

636

1111

A.B.C.D.

63412

【答案】B

【详解】因为离散型随机变量X的概率之和为1，

1111

所以a1，解得a.

6363

故选：B

1

2.已知随机变量XBn,，若EX2，则DX（）

2

1

A.B.1C.1D.2

42

【答案】C

1

【详解】由二项分布公式可得：EXn2n4

2

11

所以DX411，

22

故选：C.

fx0Δxfx0

3.已知函数fx在xx0处可导，且lim2，则fx0（）

Δx0Δx

3

A3B.2C.D.2

2

【答案】D

fx0Δxfx0

【详解】因为fx0lim2.

Δx0Δx

故选：D

2

4.已知随机变量X服从正态分布N3,，且P0X30.2，则PX6（）

A.0.3B.0.2C.0.4D.0.5

【答案】A

【详解】因为3，所以PX00.5P0X30.3，

所以PX6PX6PX00.3.

故选：A.

5.有4辆车停放于5个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问不同的停放方法有（）

A.40种B.48种C.56种D.64种

【答案】B

【详解】从5个并排车位中选出2并排的车位，共有4种情况，

2

则甲乙辆车的不同排法有A248种，

再将剩余的辆车停放在剩余的个车位，则不同的排法有2，

23A36

所以总共有8648.

故选：B.

6.等比数列an的前n项和为Sn，且a1a4a74，a2a5a818，则S9（）

A.100B.102C.103D.105

【答案】C

【详解】等比数列an的前n项和为Sn，且a1a4a74，a2a5a818，

aaaqaqaqaqaaa189

所以公比为：q147147258，

a1a4a7a1a4a7a1a4a742

9

所以aaa1881，

3692

所以S9a1a4a7a2a5a8a3a6a941881103.

故选：C.

13

7.已知函数fxx2lnx在其定义域内的一个子区间a2,a2内不是单调函数，则实数a的

22

取值范围是（）

353755

A,B.,C.2,D.2,

224422

【答案】D

13

【详解】因为函数f(x)x2lnx,(x0)在区间a2,a2上不单调，

22

14x21

所以f(x)2x,(x0)在区间a2,a2上有零点，

2x2x

a20

15

由f(x)0，得x，则1得2a，

2a2a22

2

故选：D．

为奇数

an,n

8.已知数列a满足a1，a22，且a，则a的前51项的和为（）

n1n2为偶数n

an1an,n

A.37B.40C.42D.46

【答案】B

【详解】当n为奇数时，n2也是奇数，因为an2an，所以当n为奇数时，ana11，

a22，令n2，则a4a3a2121，令n4，则a6a5a4112，

令n6，则a8a7a6121，令n8，则a10a9a8112，

以此类推，偶数项为2和1交替，

前51项中有26项奇数项，和为26126，

有25项偶数项，有13个2、12个1，和为13212114，

所以an的前51项的和为261440.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.公比为q的等比数列an的前n项和为Sn，若a1a220，a1a360，则（）

A.a14B.q4C.S4350D.a51024

【答案】ABD

aaq20

【详解】由题意：11.故AB正确；

2a1q4

a1a1q60

n

所以an4.

4

4141020

因为S340，故C错误；

4143

5

因为a541024，故D正确.

故选：ABD

10.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A，“乙正面向上”为事件B，“甲、

乙至少一枚正面向上”为事件C，则下列判断正确的是（）

31

A.A与B相互对立B.A与B相互独立C.PCD.PB|C

42

【答案】BC

【详解】对于A，由题意可知，事件A与事件B有可能同时发生，

例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件A与事件B不是互斥事件，当然也不是对立事件，故A错误；

1111

对于B，依题意PA，PB，PABPAPB，

22224

所以事件A与事件B相互独立，故B正确；

1131

对于C、D，PC1，因为BC，所以PBCPB，

2242

1

P(BC)2

所以PB|C2，故C正确，D错误．

P(C)33

4

故选：BC．

lnx1

11.对于函数fx，下列说法正确的有（）

x

A.fx在x1处取得极大值1

13

B.fx在xe处的切线方程为yx

e2e

C.fx有两个零点

1

D.若fxk在0,上恒成立，则ke

x

【答案】ABD

1lnx1lnx

【详解】由题得fx，

x2x2

所以当x0,1时，fx0，则fx在x0,1上单调递增，

当x1,时，fx0，则fx在x1,上单调递减，

ln11

又因为f11，所以fx在x1处取得极大值1，故A正确；

1

lne1lne12

由于fe，fe，

e2e2ee

2111

所以fx在xe处的切线方程为yxex，

ee2e2e

13

整理得：yx，故B正确；

e2e

lnx11

由fx0x，所以fx只有一个零点，故C错误；

xe

12lnx2lnx12lnx1lnx

由fxk，可得k，构造gx，求导得gx，

xxxx2x2

11

当x0,时，gx0，则gx在x0,上单调递增，

ee

11

当x,时，gx0，则gx在x,上单调递减，

ee

1

2+ln

1e1

又因为ge，所以gx在x处取得最大值e，所以ke，故D正确；

e1e

e

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如下是一个22列联表，则s________.

y

y1y2总计

x

x1a3545

x25bn

总计m70s

【答案】85

【详解】由题意可得a3545，则a10，可得ma515，所以sm7085.

故答案为：85.

13.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的

欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产

500件、300件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为2%，4%，4%.现从这批瓷器中任取一件，

取到次品的概率是________.

3

【答案】##0.03

100

【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件A1、来自乙厂为事件A2、来自丙厂为事件A3，则A1,A2,A3彼此

互斥，且A1A2A3Ω，

500130032001

PA,PA,PA,

1500300200225003002001035003002005

设任取一件产品，取到的是次品为事件B，则

P(B)PA1BPA2BPA3B

∣∣∣

PA1PBA1PA2PBA2PA3PBA3

131

2%4%4%

2105

131

100250125

3

100

3

故答案为：.

100

14.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，已知不全为黑球的概率为

9

，若记取出3个球中黑球的个数为X，则DX________.

10

9

【答案】

25

【详解】设袋中黑球个数为x，则白球个数为5x，

C39

则x，故，

13x3

C510

则X的可能取值为1,2,3，

C1C23C2C13C31

32，32，3，

PX13PX23PX33

C510C55C510

3319

故EX123，

105105

222

9393919

DX123

5105551025

9

故答案为：

25

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

n

2*

15.已知xnN的展开式中第5项为常数项.

x

（1）求n的值；

（2）求展开式中所有的无理项.

【答案】（1）n6；

933

（2）时，无理项为；时，无理项为；时，无理项为.

r1192x2r3160x2r=512x2

【小问1详解】

nnr

r

根据二项式定理，2*的展开式的通项为r2，

xnNTr1Cnx

xx

3

rn

化简得rnr2，

Tr1Cn2x

因为展开式中第5项为常数项，即r4，x的指数为零，

3

所以4n0，解得n6；

2

【小问2详解】

66r3

22rr6

由（1）得，当时的展开式的通项为rr6r2，

n6xTr1C6xC62x

xx

要求展开式中的无理项，即x的指数不为整数时，

3

即r6不为整数，则r取奇数时满足条件，

2

399

6

对应的无理项为：r1时，16121522；

T2C62xC62x192x

333

36

r3时，36323322；

T4C62xC62x160x

333

56

r=5时，5652522.

T6C62xC62x12x

16.已知数列an为等差数列，bn为正项等比数列，a1b11，a2b25，a3b312.

（1）求数列an和bn的通项公式；

1n

（2）设c，证明：.

nck1

anan1k1

n1

【答案】（1）ann，bn3.

（2）证明见解析

【小问1详解】

设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

1dq5q3

由题设有，因，故解得，

2q0

12dq12d1

n1n1

故an1n11n，bn133.

【小问2详解】

111

c,

nnn1nn1

n1111111111

故

ck

k1122334n1nnn1

1

11.

n1

17.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：

研发投入x（亿元）12345

产品收益y（亿元）268910

（1）计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若

0.3r0.75，则线性相关程度一般；若r0.75，则线性相关程度较高）

（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测若想收益不少于14.6（亿元），则需研发投入至少多少亿元？

（结果保留一位小数）

参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为

nn

xxyy

xixyiyii

ˆi1，ˆ，ri1.

bnaˆybxnn

222

xixxixyiy

i1i1i1

【答案】（1）r0.95；是

（2）yˆ1.9x1.3；7

【小问1详解】

12345268910

由表格中的数据可得x3，y7，

55

5

，

xixyiy251101122319

i1

55

22

，，

xix4101410yiy25114940

i1i1

5

xixyiy

1919

所以ri10.95，

55

22104020

xixyiy

i1i1

由r0.950.75，则可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度.

【小问2详解】

5

2

由（1）可得，

xix4101410

i1

5

，

xixyiy251101122319

i1

5

xxyy

ii19

所以ˆi1，由ˆ，则.

b51.9aˆybxaˆ71.931.3

210

xix

i1

所以回归直线方程为yˆ1.9x1.3，令yˆ14.6，则1.9x1.314.6，解得x7，

所以需研发投入至少7亿元.

18.甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制（三轮两胜制是指在一场比赛中，参赛者进行

三轮比赛，其赢得两轮比赛即为获胜）.在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为

p0p1，回答错误的概率为1p，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其

他轮次结果的影响.

2

（1）当p时，求甲最终获胜的概率；

3

（2）为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得4分，失败者得3分；

方案二：最终获胜者得2分，失败者得1分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.

20

【答案】（1）

27

（2）答案见解析

【小问1详解】

记“甲最终以2:1获胜”为事件A，记“甲最终以2:0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C，

于是CAB，A与B为互斥事件，

84

由于PAC1pp1p，PBp2，

2279

20

则PCPAPB3p22p3，

27

20

即甲最终获胜的概率为．

27

【小问2详解】

由（1）可知，PCPAPB3p22p3，

若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取4,3，

PX4PC3p22p3,PX313p22p3，

则X的分布列为：

X43

p3p22p313p22p3

则EX12p28p339p26p32p33p23，

若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取2,1，

PY2PC3p22p3,PY113p22p3，

则Y的分布列为：

Y21

P3p22p313p22p3

则EY23p22p313p22p32p33p21，

所以EXEY20，所以应该选第一种方案．

19.已知函数fxx1ex，gxxalnx1.

（1）求yfx的极值；

（2）讨论gx的单调性；

（3）若a1且x0,时，求证gxfxex.

1

【答案】（1）极小值为，无极大值

e2

（2）当a0时，gx在(0,)上单调递增，当a0时，gx在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调

递增

（3）证明见解析

【小问1详解】

fxx1ex，

fxx1ex+(ex)(x1)exex(x1)ex(x2)，

令fx0，解得x2，

x

当x2时，ex0，x20，得fx